四种常用数学方法求解物理极值问题

安徽

在处理求极值的物理问题时，往往需要一些数学知识，比如二次函数、基本不等式、半角公式、辅助角公式等，根据它们的规律，找到物理量的极值。

1.解题思路

根据物理情境，发现物理规律，从基本问题出发，写出所求物理量的表达式，这是关键一步。然后根据表达式的形式选择所需要的数学知识求得极值。

2.数学知识

3.典例透析

【例1】(二次函数求极值)如图所示，光滑绝缘的正方形水平桌面边长为d=0.48 m，离地高度h=1.25 m。桌面上存在一水平向左的匀强电场(除此之外其余位置均无电场)，电场强度E=1×104N/C。在水平桌面上某一位置P处有一质量m=0.01 kg、电荷量q=1×10-6C的带正电小球以初速度v0=1 m/s向右运动。空气阻力忽略不计，重力加速度g取10 m/s2。求：

(1)小球在桌面上运动时加速度的大小和方向；

(2)P处距右端桌面多远时，小球从开始运动到最终落地的水平距离最大？并求出该最大水平距离。

【解析】(1)对小球受力分析，小球受到重力、支持力和电场力作用，其中重力和支持力平衡，根据牛顿第二定律，有qE=ma

解得a=1.0 m/s2

方向水平向左

设小球到桌面右边的距离为x1，小球离开桌面后做平抛运动的水平距离为x2，则

x总=x1+x2

代入数据得t=0.5 s

水平方向，有

【例2】(基本不等式求极值)如图所示，在粗糙水平台阶上静止放置一质量m=0.5 kg的小物块，它与水平台阶表面间的动摩擦因数μ=0.5，且与台阶边缘O点的距离s=5 m。在台阶右侧固定了一个以O点为圆心的圆弧形挡板，并以O点为原点建立平面直角坐标系。现用F=5 N的水平恒力拉动小物块，一段时间后撤去拉力，小物块最终水平抛出并击中挡板(g取10 m/s2)。

(1)若小物块恰能击中挡板的上边缘P点，P点的坐标为(1.6 m，0.8 m)，求其离开O点时的速度大小；

(2)为使小物块击中挡板，求拉力F作用的距离范围；

(3)改变拉力F的作用时间，使小物块击中挡板的不同位置，求击中挡板时小物块动能的最小值。(结果可保留根式)

【解析】(1)小物块从O到P做平抛运动，由平抛运动规律有，水平方向x=v0t

解得v0=4 m/s

(2)为使小物块击中挡板，小物块必须能运动到O点，设拉力F作用的最短距离为x1，由动能定理得

Fx1-μmgs=Ek-0=0

解得x1=2.5 m

为使小物块不会飞出挡板，小物块做平抛运动的初速度不能超过4 m/s；设拉力F作用的最长距离为x2，由动能定理得

解得x2=3.3 m

故为使小物块击中挡板，拉力F的作用距离范围为

2.5 m

由动能定理得

又x2+y2=R2

由P点坐标可求得R2=3.2 m2

【例3】(辅助角公式求极值)如图所示，质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止。当将一质量为m的木块放在斜面上时正好匀速下滑，如果用与斜面成α角的力F拉着木块沿斜面匀速上滑。重力加速度为g，下列说法中正确的是

( )

A.当α=2θ时，F有最小值

B.F的最小值为mgsin 2θ

C.在木块匀速上滑过程中，地面对M的静摩擦力方向水平向右

D.在木块匀速上滑过程中，地面对M的静摩擦力方向水平向左

【答案】BD

【点评】在外力F作用下，物体匀速运动时，F最小值的求解，首先根据受力平衡求出其表达式，其数学求解方法基本就是辅助角公式的应用。若采用摩擦角的方法求解过程会更简单(具体求解不再赘述，详见《四力作用下的动态平衡》微专题)。所以在处理物理极值问题时，优先选用物理方法。

甲

乙

(1)带电粒子进入偏转电场时的动能Ek；

(2)磁场上、下边界区域的最小宽度x；

(3)带电粒子打到磁场上边界感光胶片的落点范围的长度。

【解析】(1)带电粒子进入偏转电场时的动能，即为MN间的电场力做的功

Ek=WMN=qU0

(2)设带电粒子以速度v进入磁场，且与磁场边界之间的夹角为α时向下偏移的距离

Δy=R-Rcosα=R(1-cosα)

v1=vsinα

当α=90°时，Δy有最大值(应用半角公式)

即加速后的带电粒子以v1的速度进入竖直极板P、Q之间的电场不发生偏转，沿中心线进入磁场。磁场上、下边界区域的最小宽度即为此时的带电粒子运动轨迹半径

(3)粒子运动轨迹如图所示，若t=0时进入偏转电场，在电场中匀速直线运动进入磁场时R=L，打在感光胶片上距离中心线最近为x=2L

任意电压下出偏转电场时的速度为vn，根据几何关系有

打在感光胶片上的位置和射入磁场位置间的间距始终相等，与偏转电压无关。在感光胶片上的落点宽度等于粒子在电场中的偏转距离，带电粒子在电场中的最大偏转距离

【点评】在本题中，以任意角度入射的粒子进入磁场后表示出向下偏移的距离，可以得出只有垂直入射的粒子向下偏移的距离最大，再由半径公式等即可解答第二问。在第三问中，由于带电粒子先经过电压为U0的加速电场，然后进入水平交变电场进行偏转，最后进入磁场做匀速圆周运动打在胶片上，可以表示出在任意偏转电压作用后做匀速圆周运动的半径表达式(其中速度用进入电场时的速度表示)，再表示出打在感光胶片上的长度。巧合的是打在感光胶片上的位置和射入磁场位置间的间距始终相等，与偏转电场的电压无关，从而求出粒子在感光胶片上落点的范围。

4.跟踪训练

1.(半角正切公式应用)如图所示，质量分别为mA和mB的两小球带有同种电荷，电荷量分别为qA和qB，用绝缘细线悬挂在天花板上。平衡时，两小球恰处于同一水平位置，细线与竖直方向间夹角分别为θ1与θ2(θ1>θ2)。两小球突然失去各自所带电荷后开始摆动。最大速度分别为vA和vB，最大动能分别为EkA和EkB，则

( )

A.mA一定小于mB

B.qA一定大于qB

C.vA一定大于vB

D.EkA一定大于EkB

【答案】ACD

(1)求球1到达B点时对轨道的压力大小；

(2)若球2的质量m2=0.1 kg，求球1与球2碰撞后球2的速度大小；

(3)若球3的质量m3=0.1 kg，为使球3获得最大的动能，球2的质量应为多少？

【解析】(1)对球1从A到B由动能定理有

联立解得v0=4 m/s，FN=12 N

(2)球1、球2的碰撞，根据动量守恒定律有

m1v0=m1v1+m2v2