一类基于k-体分划的多体态的量子关联测度

刘天文，王银珠

(太原科技大学 应用科学学院，太原 030024)

纠缠是量子信息理论中的突出特征之一，它在量子信息处理中起着极其重要的作用，纠缠已经作为一种必要的资源应用于量子信息和量子计算的各个方面[1-6]，在光量子信息中的应用尤其突出[7-8]。众所周知，量子态是迹为1的半正定算子,记H，表示与量子系统相结合的可分复Hilbert空间，S(H)则表示H中的全体量子态。ρ∈S(H)，如果Tr(ρ2)=1，则ρ称之为纯态；若Tr(ρ2)<1，则ρ称之为混合态。对于纯态来说，判断其是否可分是比较容易的，然而对于混合态，探测其是否可分是一个NP-hard 问题[9]。

在相当长的时间里，人们一直以为量子关联只存在于纠缠态中，但事实并非如此。研究表明可分态也存在某种量子关联性。量子关联在量子信息处理中有重要意义，目前已有诸多量子关联定义，包括量子无序性(Quantum Discord)、测度诱导的非局部性(Measurement Induced Non-locality)、量子亏损(Quantum Deficit)以及可分性鲁棒(Separabil-ity Robustness)和纠缠鲁棒(Entanglement Robus -tness)等[22-26]。 所有这些量子关联都可作为重要的资源应用于量子计算的各个方面[27]，如何深入量化给定量子态的关联是其中最主要的问题之一，2001年，Oliver和Zurek及Henderson和Vedral分别独立提出量子失协关联度[22-23]，2008年，Akira SaiToh等第一次引进了度量量子态与两积特征基态之间的关联测量[28]，2011年，Luo和Fu给出了另一种量子关联度量称为测量导出的非定域性[24]，2014年，Andre L.Fonseca de Oliveira等给出了多体量子态的累积关联测度[29]。

本文给出了一类基于k-体分划的多体量子态的量子关联测度，并证明了其满足量子关联度的一些性质。

1 基本定义与主要结果

本文主要讨论多体复合量子系统,设H=H1⊗H2⊗…⊗Hm，dimH<+∞,记S(H)表示H中全体量子态组成的集合，为给出主要结果,首先引出如下定义。

定义1[21]设H=H1⊗H2⊗…⊗Hm，其中Hi是与第i个子系统相结合的Hilbert空间，称{A1,A2,…,Ak}或A1|A2|…|Ak为H的一个k-体分划,如果其满足：

(i)Ai∩Aj=,(i,j∈{1,2,…,k},i≠j)且∪Ai={1,2,…,m}；

定义2[19-21]设H=H1⊗…⊗Hm,dimH<+∞,|〉∈H,称|〉为k-可分的,如果存在k-体分划A1|A2|…|Ak,使得其中是HAi上的纯态。一个m体混合态ρ∈S(H)称为k-可分的，如果这里|φs〉可能在不同的k-体分划下是k-可分的，ps≥0，∑ps=1.

当k=m时，称ρ为完全乘积特征态.易见SK-P(H)⊂SK-S(H)⊂S(H)，其中SK-S(H)表示H上全体k-可分态组成的集合。

定义5设ρ∈S(H)，则ρ相对于k-体分划的量子关联度(简记为k-QCM)，定义为：

下面证明上述定义的k-体分划的量子关联度满足下面的性质。

性质1设ρ∈S(H)，则Qk(ρ)≥0且Qk(ρ)=0当且仅当ρ∈SK-P(H).

证明：由k-QCM定义，Qk(ρ)的非负性显然.另外，若Qk(ρ)=0，则存在σ∈SK-P(H)，使得Tr|ρ-σ|=0，从而ρ=σ，故ρ∈SK-P(H).反之，若ρ∈SK-P(H)，显然有Qk(ρ)=0.

性质2设U=U1⊗U2⊗…⊗Um，Ui∈Hi为Hi上的酉算子，则Qk(UρU+)=Qk(ρ).

证明：根据文献[1]，酉变换保持量子态之间的迹距离，即D(UρU+,UσU+)=D(ρ,σ).故Qk(UρU+)=Qk(ρ).

性质3设ε为一个保迹量子运算，则Qk(ε(ρ))≤Qk(ρ).

为了证明性质3，需要下面引理。

Tr(Q)-Tr(S)=Tr(ρ)-Tr(σ)=0，

所以

Tr(Q)=Tr(S)，

从而有

Tr(ε(Q))=Tr(ε(S)).

所以

Qk(ε(ρ)).

性质4k-QCM是输入态的凸函数，即:

证明：应用引理1，存在一个投影算子P使成立：

证明：由定义容易得出:

→Qk(ρ).(n→∞)

即

性质6系统添加局部非相干辅助子系统时，关联测度不变，即：设H′是局部非相干辅助子系统，α∈S(H′),ρ∈S(H)，则有Qk(ρ⊗α)=Qk(ρ). 证明 由迹距离的性质D(ρ⊗α,σ⊗α)=D(ρ,σ)，容易得出:

2 结语

文章定义了一个新的关联测度——基于k-体分划的多体量子态的关联度(k-QCM).该测度可以探测给定量子态是否为k-积态。它与迹距离相关，但也具有自己的优点。同时证明了该量子关联度具有酉不变性、凸性、单调性、连续性，另外，当系统添加局部非相干辅助子系统时，关联测度不变。