标准算子代数上完全保Jordan-η*-零积

吴美芳,黄 丽

(太原科技大学 应用科学学院，太原 030024)

设Φ：A→B是一个映射,若AB+ηBA*=0⟺Φ(A)Φ(B)+ηΦ(B)Φ(A)*=0则称Φ双边保Jordan-η*-零积。最近几年,保Jordan*积受到了越来越多的学者的关注。当η=0时,侯晋川和高明杵在文献[1]中刻画了Banach算子代数上双边保零积的可加映射是自同构或共轭自同构的常数倍;之后,白朝芳和侯晋川在文献[2]中刻画了标准算子代数上保零积的映射是同构或共轭同构的倍数;当η=1时,李长京和陆芳言等人在文献[3]中刻画了复Hilbert空间上的因子Von Neumann代数上的保Jordan 1-*零积的非线性映射是*环同构的;当η=-1时,齐霄霏和侯晋川等人在文献[4]中刻画了复Hilbert空间中保斜Lie零积的可加满射的具体结构形式,进而证明了这样的映射是同构或共轭同构的非零常数倍;当η≠0，±1时,代立青和陆芳言在文献[5-6]中刻画了因子Von Neumann代数上保Jordan-η*-积的非线性映射是*同构或者是*同构与共轭*同构的和。

完全保持问题最先是由侯晋川在2008年提出的,这就为其它的学者在该方面的研究开拓了新的方向以及带来了新的思路。目前,完全保持问题的研究发展逐渐趋于成熟(参见文献[7-12]),但仍需要不断创新以便更深入的研究。本文在*标准算子代数上以Jordan-η*-零积作为不变量,刻画出完全保持该不变量的一般映射的具体结构形式,即对于每个正整数n,定义映射Φn:B(H)⊗Mn(F)→B(K)⊗Mn(F)为Φn((Sij)n×n)=(Φ(Sij))n×n.若Φn保持Jordan-η*-零积,则称Φ是n-保Jordan-η*-零积。若对每个正整数n,Φ都是n-保Jordan-η*-零积的,则称Φ是完全保Jordan-η*-零积的。

H、K分别是复数域C上的无限维Hilbert空间,A，B分别是H和K上的*标准算子代数。P(H)表示A上所有的幂等自伴算子集合。对任意的P,Q∈P(H),若PQ=QP=0,则称P与Q正交。对于∀x,f∈H,x⊗f表示由y→(y,f)x定义的一秩算子。

1 主要结果及定理证明

为证明主要结果,需要给出下面的引理,它是文献[13]中的主要定理。

引理设H是dimH>2的复Hilbert空间,Φ:P(H)→P(H)是双边保投影正交性的双射,则存在酉算子或者共轭酉算子U:H→H使得：

Φ(P)=UPU*,∀P∈P(H).

定理H、K是复数域C上的无限维Hilbert空间,A，B分别是H和K上的*-标准算子代数。Φ：A→B是一个满射且Φ(I)=I,则下列描述等价：

(i)Φ是双边完全保Jordan-η*-零积;

(ii)Φ双边2-保Jordan-η*-零积;

(iii)存在非零数c∈R及酉算子或者共轭酉U:H→K使得Φ(T)=cUTU*,∀T∈A.

证明满足(iii)的映射是双边完全保Jordan-η*-零积的,从而(iii)⟹(i)⟹(ii) 是显然成立的。下面只需要证明(ii)⟹(iii)成立即可。

下面假设Φ是双边2-保Jordan-η*-零积的。

断言1Φ(0)=0.

对于∀T∈A,存在:

将Φ2作用于上述等式,可得:

这时有:

Φ(T)Φ(0)=Φ(0)2.

(1)

由Φ的满射性可知:∃T1∈A,使得Φ(T1)=I;∃T0∈A,使得Φ(T0)=0,将其代入式(1)中得出Φ(0)=Φ(0)2，

Φ(0)2=0，从而可得Φ(0)=0.

断言2Φ是单射.

∀T,S∈A，如果Φ(T)=Φ(S),有:

将Φ2作用于上述等式,可得:

将Φ(T)用Φ(S)替代可得:

又Φ双边2-保Jordan-η*-零积的，故:

此蕴含T=S,因此Φ是单射，从而Φ是双射。

断言3Φ(-T)=Φ(T).

对于∀T∈A,存在:

将Φ2作用于上述等式,可得:

则有:

(1+η)[Φ(T)+Φ(-T)]=0(η≠-1)

可得:

Φ(-T)=-Φ(T)

断言4Φ保*运算,即Φ(T*)=Φ(T)*.

对于∀T∈A,存在

将Φ2作用于上述等式,可得:

则有η(Φ(T*)-Φ(T)*)=0，又η≠0故

Φ(T*)=Φ(T)*

断言5Φ是可乘的.

∀T,S∈A，有:

将Φ2作用于上述等式,可得:

化简可得:

Φ(TS)-Φ(T)Φ(S)=0

所以Φ(TS)=Φ(T)Φ(S).

断言6Φ双边保投影。

对于∀T∈A，T=T2=T*,存在:

将Φ2作用于上述等式,可得:

则有:

(1+η)(Φ(T)-Φ(T)Φ(T)*)=0

又η≠-1，有Φ(T)-Φ(T)Φ(T)*=0，

又Φ是可乘的,得到Φ(T)=Φ(T)2=Φ(T)*.类似地,我们可以得到Φ(T)=Φ(T)2=Φ(T)*⟹T=T2=T*.因此,Φ双边保投影算子。

断言7存在酉算子或者共轭酉算子U:H→K使得Φ(P)=cUPU*,∀P∈P(H).

∀P,Q∈P(H),PQ=QP=0,存在:

将Φ2作用于上述等式,可得:

则有:

Φ(P)Φ(Q)+ηΦ(Q)Φ(P)=0.

又Φ是可乘的且Φ(0)=0,故

Φ(PQ)=Φ(P)Φ(Q)=Φ(0)=0;

Φ(QP)=Φ(Q)Φ(P)=Φ(0)=0.

所以PQ=QP=0⟹Φ(P)Φ(Q)=Φ(Q) Φ(P)=0,类似地,我们可以得到Φ(P)Φ(Q)=Φ(Q)Φ(P)=0⟹PQ=QP=0.因此,Φ在P(H)上双边保投影的正交性。

由引理得,存在酉算子或者共轭酉算子U:H→K使得Φ(P)=UPU*,∀P∈P(H).

令ψ：A→U*AU是由ψ(.)=U*Φ(.)U定义的双射,则有ψ(P)=U*Φ(P)U对于每一个P∈P(H)都成立.接下来,我们检查是否Φ2也是双边保Jordan-η*-零积。

取Ti∈A(i=1,2,…,8)使得:

是保Jordan-η*-零积,则

由于Φ2双边保Jordan-η*-零积,所以ψ2也是双边保Jordan-η*-零积的映射.不失一般性,以下假设Φ(P)=P,其中P∈P(H).

断言8Φ(x⊗f)=λx⊗f(x⊗f)对于任意秩一算子x⊗f成立,其中0≠λx⊗f∈C.

对于任意的秩一算子x⊗f,可以找到x,y,h∈H,满足〈y,h〉=1. 则y∈kerf,h∈{x}⊥⟺

将Φ2应用于上述等式，可得y∈ker(Φ(x⊗f))且h∈(ran(Φ(x⊗f)))⊥.

因此可得,

h∈(ran(Φ(x⊗f)))⊥⟺h∈{x}⊥

且

y∈ker(Φ(x⊗f))⟺y∈kerf

所以,对于某个0≠λx⊗f∈C,Φ(x⊗f)=λx⊗f(x⊗f)成立.

断言9存在一个映射h:A→C{0}满足Φ(T)=h(T)T.对于每个∀T∈A都成立。

对于∀T,S∈A,存在:

将Φ2应用于上述等式,可得:

Φ(TS)Φ(T)=Φ(T)Φ(ST).

(2)

对于任意的秩一算子,在(2)式中令S=x⊗f,有:

Φ(TS)Φ(T)=

λTS(TS)Φ(T)=λTST(x⊗f)Φ(T);

Φ(T)Φ(ST)=Φ(T)λST(ST)=

λSTΦ(T)(x⊗f)T.

则可得,

λTSTx⊗Φ(T)*f=λSTΦ(T)x⊗T*f.

显然,对于∀x∈H,Φ(T)x和Tx是线性相关的.因此存在某个非零数λT∈C,使得Φ(T)=λTT.对于每个∀T∈A,可以定义一个泛函h(·):A→C{0},

若T≠0,h(T)=λT;h(0)=1,

从而有Φ(T)=h(T)T,∀T∈A.

断言10对于∀T∈A,都有h(T)=1成立,从而Φ(T)=T.

一方面,由于Φ是单射且Φ(I)=I,所以h(I)=1=h(0);另一方面,Φ(P)=P蕴涵h(P)=1,P∈P(H).

下证对于任意的秩一算子x⊗f,仍然有h(x⊗f)=1.

对于∀T,S∈A,存在:

可得到:

(h(TS))2=h(T)h(STS).

(3)

对于∀x,f∈H,必存在y∈H使得y与x线性无关且〈y,f〉=1,从而存在非零元g1,g2∈H使得〈x,g1〉=1,〈y,g1〉=0,〈x,g2〉=0,〈y,g2〉=1.令g=g1+g2，则有〈x,g〉=1,〈y,g〉=1在等式(3)中令T=x⊗f,S=y⊗g.于是,

(h((x⊗f)(y⊗g)))2=

h(x⊗f)h((y⊗g)(x⊗f)(y⊗g)).

那么,

故h(x⊗f)=1,对于任意的秩一算子x⊗f都成立。

下面将证明对于∀T∈A{0},存在∀x,f∈H使得〈Tx,f〉≠0.再一次利用等式(3),因为T(x⊗f)=Tx⊗f和h(〈x,T*f〉x⊗f)还是一秩算子,所以:

h(T(x⊗f))=h(〈x,T*f〉x⊗f)=1.

于是,

这样就完成了(ii)⟹(iii)的证明。