峰回路转看变换——平移、折叠、旋转和构造

文 赵 军（特级教师）

专题复习：图形的变化 图形与坐标

领 衔 人：赵 军（特级教师）

组稿团队：江苏省太仓市实验中学（太仓市赵军名师工作室）

解答数学问题，有几大必备策略：一类是图形的变换，包括平移、折叠（对称）和旋转；另一类是构造图形。通过这些方法，我们可以将问题进行转化，以达到化难为易的目的。

一、平移法

例1在如图1所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB

与CD相交于点E，则∠AED的正切值是____。

图1

【思路分析】所求的∠AED不在某一直角三角形中，如何求其正切值？策略1：自力更生，“就地”构造直角三角形；策略2：通过图形的变换，将此角进行转化。策略1：结合已知条件，求tan∠AED虽然可以转化为求tan∠CEB，然后在△CBE中作高，构造直角三角形求解，但点E不在格点上，所以求所构造的直角三角形的边比较麻烦；策略2：试着通过平移线段将∠AED转移到某一直角三角形中求解即可。

图2

如图2，将线段CD向右平移3格，使线段CD平移至BF，连接AF，在Rt△ABF中，所以∠AED的正切值为。

【归纳反思】当求值遇到困难时，应首先想到转化。所谓“山重水复疑无路，平移变换又一村”，借助平行，我们可以将所求的角进行转化，达到化难为易的目的。

二、折叠（对称）法

例2如图3，在平面直角坐标系中，点A（3，，P为x轴上一动点，则OP+AP的最小值为________。

图3

【思路分析】点A（3，的坐标隐藏了OA与x轴正方向的夹角为30°，如果能发现这个30°角，就为转化创造了条件。

如图4，连接OA，过点P作PB⊥OA，垂足为B，则在Rt△OBP中所以AP=PB+PA，问题即转化为求PA+PB的最小值。此时可作点A关于x轴的对称点A′，连接AA′，交x轴于点D，再将PA转化为PA′，最终将问题转化为点A′到OA的距离最短问题。

如图4，求A′C的长有三种思路：一是在连接OA′的基础上，运用等积法（两次计算△OAA′的面积）求解；二是证得△AA′C≌△AOD得到答案；三是运用锐角三角函数，分别在Rt△OAD和Rt△A′AC中，以sin∠OAD=sin∠A′AC解决问题。

图4

【归纳反思】通过对称变换，将求“和最小”的问题进行转化，由某直线同侧的“和最小”转化为该直线异侧的“和最小”。其思路概括为：“和最小，对称找”，从而将问题转化为点到直线的距离问题。

三、旋转法

例3如图5，在平面直角坐标系中，点A（12，0），点B（0，4），点P是直线y=-x-1上一点，且∠ABP=45°，则点P的坐标为 。

图5

【思路分析】点P可视作直线BP和直线y=-x-1的交点，所以求出直线BP的表达式是解题的关键。而直线BP过点B（0，4），因此，只需在该直线上再找一点或者求得该直线的k值即可。剩下的问题就是如何利用好条件∠ABP=45°，这时候我们可以考虑旋转线段。

如图6，将线段AB绕点B逆时针旋转90°至CB，过点C作CD⊥y轴，则容易得到△ABO≌△BCD、∠BAC=45°，所以可以得到C（4，16）、BP∥CA，在求出直线CA的表达式y=-2x+24后，根据“两直线平行，k值相等”，从而得到直线BP的表达式为y=-2x+4，最后列方程组解得点P的坐标为（5，-6）。

图6

图7

【归纳反思】将线段AB绕点B逆时针旋转90°的目的是构造等腰直角三角形，出现新的45°角，为直线的平行创造条件。当然，我们也可以将线段AB绕点B顺时针旋转90°（如图7），则CA与BP的交点E就是CA的中点。在求得点E坐标的基础上，求出直线BE的表达式，最后列方程组求得交点P的坐标。因此，旋转线段的直接效果是出现等腰直角三角形，若题目中有与之相关联的条件，可以尝试运用此法。

四、构造法

例4如图8，四边形ABCD是边长为4的正方形，⊙B的半径为2，点P是⊙B上一动点，则的最小值为________，PD-的最大值为________。

图8

【思路分析】如何找出一条线段代替是解题的关键。仔细读题，我们会发现：⊙B的半径为2，与正方形的边长4的比值是这与我们要找的线段长与PC之比相等，因此，考虑构造一组相似三角形，通过比值不变找出这条线段。

如图9，连接BP，取BE的中点F，连接PF、DF，由∠FBP=∠PBC，得△BFP∽△BPC，所以。问题即转化为求PD+FP的最小值。很显然，当D、P、F共线时，有最小值，最小值为DF的长。可在Rt△CDF中求得DF=5。同样的思路，FP，如图10，有PD-FP≤DF，所以当D、F、P三点共线（F在线段PD上）时，有最大值5。

图9

图10

【归纳反思】构造不是凭空捏造，它是有“根”的。本题的根在系数也是解题的“题眼”所在。因此，通过构造，我们化解了达到了转化的目的。

图形的变换是一种技巧。通过平移、折叠、旋转及构造，我们能有效地将问题化难为易，化陌生为熟悉。什么时候采用哪种变换，要据题目的条件而定，不能一概而论。一般而言，其运用技巧可以归纳为：角度摸不着，平移来帮忙；要求“和最小”，对称少不了；出现四十五，旋转估一估；系数是个比，构造试一试。