借助信息技术让“隐形轨迹”有迹可循

王远帆

【摘要】动点问题是一类常见的综合性问题，它能全面地考查學生的实践操作能力、空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.将动态几何问题与最值问题相结合更是近几年中考试题的亮点，教师在讲解时若结合信息技术，将隐形轨迹可视化，可帮助学生建立“轨迹意识”，提升数学思维能力.

【关键词】中考数学;数学能力;信息技术

动点问题探索性更强、综合性更高，对提高学生的思维品质和各种能力有更大的促进作用.

GeoGebra的名称是由几何（Geometry）与代数（Algebra）两个英文单词组合而成的，它是 2002 年由美国的 Markus Hohenwarter 教授针对学校数学教育所研发的一套免费和跨平台的动态数学软件，包含了几何、代数、表格、图形、统计和微积分等，一般的中学数学课程相关的图形均能轻易画出.

随着信息化技术的发展，“智慧课堂”如雨后春笋般在很多学校得到推广，而数学课堂也从传统的教学模式慢慢转变，GeoGebra绘图的基本选项有点、线段、切线、中垂线、多边形、半圆、圆锥曲线和函数等，提供了方便的动态演示，显示和探索轨迹的生成过程，以“动态”为特色，展示代数、几何图形内在关系的环境，使原本抽象、枯燥的内容变得具体、生动、形象.

本文从一道利用“隐性圆”求最值的题目出发，利用GeoGebra让隐形的动点轨迹可视化，帮助学生建立“轨迹意识”，提升数学思维能力.

一、问题背景

如图1，△ABC中，AC=3，BC=42，∠ACB=45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，求AD的最小值.

解答过程如下：

如图2，作△BCD的外接圆⊙O，连接BO，CO，AD，AO，DO.

∵△ADO中，有AO-DO

∴当A，D，O共线时，AD最短.

∵AM∥BC，

∴∠PBC=∠APB=∠ACD.

∵∠ACD+∠DCB=45°，

∴∠PBC+∠DCB=45°，

∴∠BDC=135°，

∴∠E=45°，∴∠BOC=90°.

在等腰直角三角形BOC中，∵BC=42，

∴BO=CO=4.

∵∠ACB=∠BCO=45°，

∴∠ACO=90°.

在Rt△ACO中，CO=4，AC=3，

∴AO= AC2+CO2=5.

∴ADmin=AO-DO=5-4=1.

讲解过程中，有学生提出困惑：我怎样知道点D是在经过B，D，C三点的外接圆上？如果不知道点D是在过B，D，C三点的圆上，这题就没办法解下去了.

学生提出这样的问题，说明学生的“轨迹意识”还没有完善，这类复杂的动点问题对学生的几何想象能力要求比较高.由于课堂画图的局限性，这类比较复杂的动点问题在传统教学中只能靠教师口述与学生想象来完成，借助GeoGebra可让学生感受点P在移动过程中对点D的影响，通过寻找点D的运动规律，让点D的运动轨迹直观显现在眼前.

二、优化策略

对于此题目的讲解，我们可以做以下调整：

第一步——感性认知

初步认识图形的几何结构，发现其中的基本图形，在点P运动的过程中，图中哪些部分变化，哪些部分是不变的，发现当点P运动时，A，P，D三点构成的圆也随之发生改变，带动点D运动，AD的长度也因此发生变化.

第二步——观察数据

利用GeoGebra“测量线段”的功能，让学生有一个初步认知：线段AD的长度会发生变化.当点P从点A出发，远离点A的过程中，AD的长度是由长变短，再由短变长的，可以发现，在移动到某个特殊的位置时，AD的长达到最小值.

第三步——发现轨迹

要找到使AD最短的特殊位置，必须先知道点D的运动轨迹，很明显，点D不是在直线上运动的，利用“追踪”功能对点D的运动轨迹进行跟踪，发现点D 的运动轨迹是过点B，D，C的圆上的一段弧，因此问题转化为在圆弧上寻找一点，使AD最小.

第四步——问题转化

找到D的运动轨迹后，如何利用轨迹寻求AD的最小值？因为在点P的运动过程中，OD的长度不变，圆心O的位置不变，因此AO的长度不变，所以可以借助三角形ADO的三边关系AO-DO

三、变式训练

1.如图9，以AB为直径的半⊙O，C为弧AB的中点，P为弧BC上任意一点，CD⊥CP交AP于点D，连接BD，若AB=6，求BD的最小值.

解题思路：发现点D轨迹→构造△BDO→当B，D，O三点共线时，BD最短→求BO，DO的长.

2.（2019·广州中考）如图11，等边三角形ABC中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE.设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值;若不存在，请说明理由.

解题思路：要使S最大，则使S2最小→使△ABF中AB边上的高MF最短→发现点F轨迹→当D，F，M共线时，MF最短.

四、教学反思

初中数学中与“动”有关的问题一般都是教学中的难点，而这类问题对培养学生的思维品质和各种能力都有很大的促进作用.由于传统教学手段的局限，培养学生“轨迹意识”成为课堂教学的一个难点，当点的运动轨迹是一条直线时，问题还是比较好想象的，可是当点的运动是由另一个点带动，并且运动轨迹不是直线的时候，对于学生的思维能力与想象能力将是一个很大的挑战，对于此类“联动点问题”，在平时的教学中，应突出“轨迹思想”“轨迹意识”的培养与训练，以提升学生解决问题的能力.教师在教学中如果能让学生看到点的运动过程，那么对题目的理解会更加容易，对点的运动过程会更清晰.借助信息技术可将在传统教学中只能依靠想象的“隐形轨迹”可视化，让“隐性”转为“显性”，发展学生的构图能力、想象能力，从而寻求此类问题的突破口.

【参考文献】

[1]福州教育学院.优秀教师教学改革的实践与研究[M].北京：海洋出版社，2012.

[2]刘培杰.新编中学数学解题方法全书[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008.

[3]贺福凯.过程引领方向 直观主导思想[J].中学数学教学参考，2019（26）.

[4]刘护灵，罗晓斌.画图与分析能力并重：广州市2019年数学中考压轴题第24题的探索[J].中学数学教学，2019（6）.

[5]王少华.再探利用隐圆，破解最值问题[J].中学数学杂志，2016（3）.

[6]李玲玲.对于“定线+定角”类隐圆问题的思考[J].数理化学习（初中版），2019（6）.