“方程”备考指南

崔德

方程是刻画现实世界数量关系的重要数学模型，在全国各地区中考试题中，考查的内容是比较一致的，即以解法为重要内容，以应用为主要载体，突出考查对方程基础知识的理解、对基本技能的把握，考查建模能力，凸显方程的工具性，强化应用意识。下面通过对近几年各地区中考中有关“方程”的一些典型试题进行分析，以期对同学们的中考复习有所帮助。

一、关注核心概念的考查

例1 （2020·上海）如果关于x的方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是。

【分析】由一元二次方程根的判别式为0，列出关于m的方程即可得出答案。

解：∵关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根，

∴（-4）2-4?1?m=0，

解得m=4。

【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键。

二、关注思想方法的考查

例2 （2019·四川内江）若x、y、z为实数，且[x+2y-z=4，x-y+2z=1，]则代数式x2-3y2+z2的最大值是。

【分析】利用加减消元法或代入消元法消去一个未知数，找到x与z，y与z之间的关系，则可以将代数式x2-3y2+z2化成只含有一个未知数的二次三项式，最后用配方法求出代数式的最大值。

解：由[x+2y-z=4，①x-y+2z=1，②]

则①-②，得y=1+z，

把y=1+z代入①，得x=2-z，

则x2-3y2+z2

=（2-z）2-3（1+z）2+z2

=-z2-10z+1

=-（z+5）2+26，

当z=-5时，代数式x2-3y2+z2取最大值26。

【点评】此题围绕消元和化归，考查了解方程的本质方法。

三、关注学习过程的考查

例3 （2018·吉林）如图是学习方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程。

根据以上信息，解答下列问题。

（1）冰冰同学所列方程中的x表示 ，庆庆同学所列方程中的y表示 ;

（2）在两个方程中任选一个，写出它的等量关系;

（3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题。

【分析】只有真正明确第（1）问中所设未知数x、y表示的含义，才能正确写出第（2）问中的相等关系，进而得出实际问题中的解。

解：（1）x表示甲队每天修路的长度，y表示甲队修路400米所需时间或乙队修路600米所需时间。

（2）冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间;

庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度?甲队每天修路的长度=20米。（任选一个即可。）

（3）若选冰冰所列的方程：[400x]=[600x+20]，

去分母，得400（x+20）=600x，

解这个方程，得x=40。

经检验，x=40是所列方程的解，且符合实际意义。

答：甲队每天修路的长度为40米。

若选庆庆所列的方程：[600y-400y]

=20，

去分母，得600-400=20y，

解这个方程，得y=10。

经检验，y=10是所列方程的解，且符合实际意义。

∴[400y]=40。

答：甲队每天修路的长度为40米。

【点评】此题模拟课堂的学习情境，重点考查对所设未知量意义的理解，体现了对学习过程的考查。

四、关注数学文化的考查

例4 （2020·江苏扬州）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架。其中记载着一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面尺高。

【分析】此题取材于苏科版数学教材八年级下册第86页例1，运用勾股定理建立方程可以解决。

解：设折断处离地面x尺。

根据勾股定理，得x2+32=（10-x）2，

解这个方程，得x=4.55。

答：折断处离地面4.55尺。

【点评】此题直接呈现《九章算术》中的问题，我们能明显感受到以方程为工具在解决实际问题中的价值，折射出我国数学文明的源远流长。

五、关注建模能力的考查

例5 （2020·山东菏泽）2020年史上最长的寒假结束后，学生复学。某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳繩和毽子作为活动器材。已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元;购买4根跳绳和3个毽子共需36元。

（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元;

（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元;若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案。

【分析】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用。

解：（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元。

根据题意，得[2x+5y=32，4x+3y=36，]

解这个方程组，得[x=6，y=4。]

答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元。

（2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）个。

根据题意，得6m+4（54-m）≤260，

解这个不等式，得m≤22。

又m>20，且m为整数，

∴m=21或22。

∴共有两种购买跳绳的方案：

方案①：购买跳绳21根;

方案②：购买跳绳22根。

【点评】分析问题中数量之间的相等或不等关系，构建方程或不等式模型是解决实际问题的关键。

（作者单位：江苏省仪征市实验中学东区校）