“方程”备考指南

2021-05-14 13:15崔德
初中生世界·九年级 2021年3期
关键词:甲队判别式列方程

崔德

方程是刻画现实世界数量关系的重要数学模型,在全国各地区中考试题中,考查的内容是比较一致的,即以解法为重要内容,以应用为主要载体,突出考查对方程基础知识的理解、对基本技能的把握,考查建模能力,凸显方程的工具性,强化应用意识。下面通过对近几年各地区中考中有关“方程”的一些典型试题进行分析,以期对同学们的中考复习有所帮助。

一、关注核心概念的考查

例1 (2020·上海)如果关于x的方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根,那么m的值是。

【分析】由一元二次方程根的判别式为0,列出关于m的方程即可得出答案。

解:∵关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根,

∴(-4)2-4?1?m=0,

解得m=4。

【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式,掌握根的判别式的含义是解题的关键。

二、关注思想方法的考查

例2 (2019·四川内江)若x、y、z为实数,且[x+2y-z=4,x-y+2z=1,]则代数式x2-3y2+z2的最大值是。

【分析】利用加减消元法或代入消元法消去一个未知数,找到x与z,y与z之间的关系,则可以将代数式x2-3y2+z2化成只含有一个未知数的二次三项式,最后用配方法求出代数式的最大值。

解:由[x+2y-z=4,①x-y+2z=1,②]

则①-②,得y=1+z,

把y=1+z代入①,得x=2-z,

则x2-3y2+z2

=(2-z)2-3(1+z)2+z2

=-z2-10z+1

=-(z+5)2+26,

当z=-5时,代数式x2-3y2+z2取最大值26。

【点评】此题围绕消元和化归,考查了解方程的本质方法。

三、关注学习过程的考查

例3 (2018·吉林)如图是学习方程应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程。

根据以上信息,解答下列问题。

(1)冰冰同学所列方程中的x表示 ,庆庆同学所列方程中的y表示 ;

(2)在两个方程中任选一个,写出它的等量关系;

(3)解(2)中你所选择的方程,并回答老师提出的问题。

【分析】只有真正明确第(1)问中所设未知数x、y表示的含义,才能正确写出第(2)问中的相等关系,进而得出实际问题中的解。

解:(1)x表示甲队每天修路的长度,y表示甲队修路400米所需时间或乙队修路600米所需时间。

(2)冰冰用的等量关系是:甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间;

庆庆用的等量关系是:乙队每天修路的长度?甲队每天修路的长度=20米。(任选一个即可。)

(3)若选冰冰所列的方程:[400x]=[600x+20],

去分母,得400(x+20)=600x,

解这个方程,得x=40。

经检验,x=40是所列方程的解,且符合实际意义。

答:甲队每天修路的长度为40米。

若选庆庆所列的方程:[600y-400y]

=20,

去分母,得600-400=20y,

解这个方程,得y=10。

经检验,y=10是所列方程的解,且符合实际意义。

∴[400y]=40。

答:甲队每天修路的长度为40米。

【点评】此题模拟课堂的学习情境,重点考查对所设未知量意义的理解,体现了对学习过程的考查。

四、关注数学文化的考查

例4 (2020·江苏扬州)《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架。其中记载着一道“折竹”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去根三尺,问折者高几何?”题意是:一根竹子原高1丈(1丈=10尺),中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面多高?答:折断处离地面尺高。

【分析】此题取材于苏科版数学教材八年级下册第86页例1,运用勾股定理建立方程可以解决。

解:设折断处离地面x尺。

根据勾股定理,得x2+32=(10-x)2,

解这个方程,得x=4.55。

答:折断处离地面4.55尺。

【点评】此题直接呈现《九章算术》中的问题,我们能明显感受到以方程为工具在解决实际问题中的价值,折射出我国数学文明的源远流长。

五、关注建模能力的考查

例5 (2020·山东菏泽)2020年史上最长的寒假结束后,学生复学。某学校为了增强学生体质,鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼,决定让各班购买跳繩和毽子作为活动器材。已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元;购买4根跳绳和3个毽子共需36元。

(1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元;

(2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54,且购买的总费用不能超过260元;若要求购买跳绳的数量多于20根,通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案。

【分析】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用。

解:(1)设购买一根跳绳需要x元,一个毽子需要y元。

根据题意,得[2x+5y=32,4x+3y=36,]

解这个方程组,得[x=6,y=4。]

答:购买一根跳绳需要6元,一个毽子需要4元。

(2)设学校购进跳绳m根,则购进毽子(54-m)个。

根据题意,得6m+4(54-m)≤260,

解这个不等式,得m≤22。

又m>20,且m为整数,

∴m=21或22。

∴共有两种购买跳绳的方案:

方案①:购买跳绳21根;

方案②:购买跳绳22根。

【点评】分析问题中数量之间的相等或不等关系,构建方程或不等式模型是解决实际问题的关键。

(作者单位:江苏省仪征市实验中学东区校)

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