变错为宝,从“误”到“悟”

2021-05-14 13:15王小琪
初中生世界·九年级 2021年3期
关键词:错因端点实数

王小琪

方程与不等式是初中数学的重要内容,反映具体问题中的相等关系和不等关系,是刻画客观现实世界数量关系的一种有效模型,也是后续学习函数知识的基础。方程与不等式不仅在平时考试中多次出现,还是中考的重要考查内容。接下来,老师就从中考考题中寻找易错的题型,抓住考查的要点,帮助同学们错中辨析,错中有获,错中有悟。

一、方程的解法

例1 (2020·江苏常州)解方程:[xx-1]+[21-x]=2。

【错解】方程两边同时乘(x-1),得x-2=2,∴x=4。

【错因】等式右边漏乘了(x-1),与原方程不是同解方程;求出的根没有检验,不确定是不是增根,这样得到的根可能导致分母为0,没有意义。

【正解】方程两边同时乘(x-1),得x-2=2(x-1),x-2=2x-2,x=0。

检验:把x=0代入(x-1),得x-1≠0,∴x=0是原方程的根。∴原方程的解为x=0。

【点评】分式方程的解法是转化为一元一次方程,所以我们必然要掌握好解一元一次方程的相关步骤。在转化的过程中,方程两边同乘的式子可能为0,因此求解出来的根一定要检验,舍去增根。

二、一元二次方程概念的理解

例2 (2020·贵州黔西南)已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是()。

A.m<2B.m≤2

C.m<2且m≠1D.m≤2且m≠1

【錯解】A或C。

【错因】选C的同学认为一元二次方程有实数根就是有两个不相等的实数根,从而得到根的判别式b2-4ac>0,错误理解了有实数根的意义。选A的同学还忽视了一元二次方程的二次项系数不为0的前提。

【错解】B。

【错因】对一元二次方程的二次项系数不为0的前提条件掌握不牢。

【正解】∵该方程是一元二次方程,∴m-1≠0;又∵该方程有实数根,∴22-4(m-1)×1≥0。联立解之,得m≤2且m≠1。故选D。

【点评】在求解二次项系数含有字母的一元二次方程题型时,必须深刻理解一元二次方程的前提条件就是二次项系数不为0,这是一元二次方程这个概念中“二次”的本质属性,同学们要深刻理解。

三、不等式组解的情况

例3 (2020·黑龙江鹤岗)若关于x的一元一次不等式组[x-1>0,2x-a<0]有2个整数解,则a的取值范围是。

【错解】解不等式组,得1

【错因】没有考虑到端点值的取舍。实际上,[a2]取值范围的两个端点值3和4,有一个是可以取到的。

【正解】解不等式组,得1

∵原不等式组有2个整数解,如图:

<E:\初中生\9年级语文\bt1.tif>

∴3<[a2]≤4,则6

【点评】本题易错点在于端点值的取舍,容易取错。可以分类考虑:当[a2]=3时,解集为1

四、分式方程解的符号

例4 (2020·黑龙江齐齐哈尔)若关于x的分式方程[3xx-2]=[m2-x]+5的解为正数,则m的取值范围为()。

A.m<-10

B.m≤-10

C.m≥-10且m≠-6

D.m>-10且m≠-6

【错解】A或B或C。

【错因】分式方程求解不正确,不等式求解错误,或者没有关注到分式方程有解的条件。

【正解】解方程,得x=[m+102]。∵方程的解是正数,∴[m+102]>0,∴m>-10。又∵分式方程有解,∴x≠2,即[m+102]≠2,∴m≠-6。综上:m>-10且m≠-6。故选D。

【点评】本题考查了分式方程的解法、列不等式并求解、分式方程有解的条件。同学们在解决分式方程解的符号的问题时,要注意分式方程有解的前提就是分母不能为0。

(作者单位:江苏省仪征市实验中学东区校)

猜你喜欢
错因端点实数
上期《〈实数〉巩固练习》参考答案
例谈求解“端点取等”不等式恒成立问题的方法
数轴在解答实数题中的应用
《实数》巩固练习
反思错因正确解答
不等式求解过程中端点的确定
理清错因,让“幂”运算强起来
一元一次方程解法中的错因分析及解决
电筒的灯光是线段
和差代换在求值中的应用