化简步步为营 求值洞察类型

谢燕

分式的化简求值题是中考中的常见题型之一，是同学们需要掌握的重点内容。同学们只要熟练掌握因式分解、通分、约分，注意符号和正确的运算顺序，就能顺利地进行化简;只要仔细观察题目给出的求值条件，按照正确的方法代入运算，就能轻松得到准确的结果。

今天，老师就带同学们一起来复习分式化简的一般步骤，看看分式化简求值的几种常见类型。

一、稳扎稳打，步步为营

例1 （2020·江苏南通）计算：[x-yx]÷（x+[y2-2xyx]）。

解：原式=[x-yx]÷（[x2x]+[y2-2xyx]）

=[x-yx]÷[x2-2xy+y2x]

=[x-yx]?[x（x-y）2]

=[1x-y]。

【点评】这是一道分式化简题，化简过程按照先乘除后加减，有括号的先算括号内的运算顺序。本题先进行括号内的加减运算。括号内是整式与分式的加减，应先将整式通分成与分式同分母的分式形式，这是分式化简中常见的类型，然后进行同分母分式加减;接着进行乘除运算，本题是除法，所以要倒除为乘，然后进行分式乘法运算，本质是约分，把最后的结果化到最简。这样按照解题步骤，一步一步，稳扎稳打，就能得到正确的结果。

二、直接代入，简单求值

例2 （2020·江苏宿迁）先化简，再求值：[x-2x]÷（x[-4x]），其中x=[2]-2。

解：原式=[x-2x]÷（[x2x][-4x]）

=[x-2x]÷[（x+2）（x-2）x]

=[x-2x]?[x（x+2）（x-2）]

=[1x+2]。

当x=[2]-2时，

原式=[12-2+2]=[12]=[22]。

【点评】本题按照题目要求，先化简，再求值。在得到最简结果之后，将x的值直接代入求值就能得到正确答案。本题给出的值含有根式，需要进行分母有理化，保证最后算出的值是最简根式。

三、整体代入，巧妙求值

例3 （2020·山东菏泽）先化简，再求值：（2a-[12aa+2]）÷[a-4a2+4a+4]，其中a满足a2+2a-3=0。

解：原式=（[2a2+4aa+2][-12aa+2]）÷[a-4（a+2）2]

=[2a2-8aa+2]·[（a+2）2a-4]

=[2a（a-4）a+2]·[（a+2）2a-4]

=2a（a+2）

=2a2+4a。

∵a2+2a-3=0，

∴a2+2a=3，

∴原式=2（a2+2a）=2×3=6。

【点评】在化简得到结果之后，根据题目给出的a2+2a-3=0条件，同学们会想，该怎么求值呢？或许有的同学想通过解方程求出a的值，然后代入求值;或许有的同学通过仔细观察发现了什么。看到题目后，你脑子里闪现的任何一个念头都是好的，都可以进行尝试。想解方程的同学可以求出a的值为-3或1，然后分别代入，得到的结果都是6;仔细观察的同学或许会发现只要将方程适当变形便能得到a2+2a这个整体的值是3，整体代入便能化繁为简。问题解决了，我们再回头看一看，如果以后再遇到这类问题，怎么处理更好呢？老师相信同学们心里已经有了正确的答案。

四、谨慎取值，正确求值

例4 （2020·四川遂宁）先化简：（[x2+4x+4x2-4]-x-2）÷[x+2x-2]，然后从-2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值。

解：原式=[[（x+2）2（x+2）（x-2）]-（x+2）]·[x-2x+2]

=（[x+2x-2]-[x2-4x-2]）·[x-2x+2]

=[-x2+x+6x-2]·[x-2x+2]

=[-（x+2）（x-3）x-2]·[x-2x+2]

=-（x-3）

=-x+3。

∵x≠±2，∴可取x=1，

∴原式=-1+3=2。

【点评】本题的分式化简要注意第一步中将-x-2化成分式形式之前有个添括号，第三步中同分母分式相加减时分数线具有括号功能。将分式化简到最简后，同学们会面临一个选值问题，其本质是考查原分式及运算过程中出现的那些分母取值不能为0，这样就很容易确定规定范围内的正确取值，从而得到正确的结果。

在分式的化简求值时，只要我们按照步骤，步步为营，注意观察，掌握方法，就一定能顺利地求得正确的结果。

（作者单位：江苏省常熟市第一中学）