一般匀强电磁场中电荷的相对论性运动

姜志锋

(鄱阳县第一中学 江西 上饶 333100)

黄亦斌

(江西师范大学物理与通信电子学院 江西 南昌 330000)

匀强电场和匀强磁场同时存在时带电粒子的运动一直是大家感兴趣的话题．其讨论可分为两类：非相对论性的和相对论性的．对于前者，最早是文献[1]给出了一种漂亮的处理方式，后来大家从理论、轨迹、数值计算等几方面进行了详尽的讨论[2～6]．在相对论情形，讨论较多的是电场与磁场正交这一有趣的特例[7,8]．此时，只要|B|c≠|E|，就一定可以找到一个惯性系，使得其中只有电场或只有磁场，于是可以在新惯性系中求解问题，再利用洛伦兹变换得到原惯性系中想要的结果．这一思路具有鲜明的物理特色．

本文试对一般的匀强恒定电磁场讨论带电粒子的一般相对论性运动．当然，不能期望此时仍能找到类似的、物理特色鲜明的思路．

1 一般讨论

在自然单位制(c=1)下，相对论粒子的动量p和能量W分别为

(1)

其中m为固有质量，也就是牛顿力学中的质量．动量和能量满足质壳条件

W2-p2=m2

(2)

在电磁场中，带电粒子的动力学方程为

(3)

根据式(1)，这是关于速度v=v(t)的非线性微分方程组，即使在电磁场正交时也不好处理．所幸，我们可以将其改为另一形式．式(3)点乘v，得到

(4)

改用固有时(或原时)τ作为自变量

dt=γdτ

(5)

将式(5)代入式(3)、(4)，并利用式(1)，即得到一组关于四维矢量(W,p)的、协变形式的方程组

(6)

不失一般性，可设电磁场为

B=(0,0,B)E=(0,Ey,Ez)

(7)

且不妨设k,B,Ey,Ez≥0，因为其中任何一个反号都不难额外处理．于是方程组(6)写为

(8)

兹用微分算子法解之，将其写为

(9)

(10)

[Δ4+k2(B2-E2)Δ2-

(11)

其对应特征方程的4个特征根为

λ1=-ikαλ2=ikα

λ3=-kβλ4=kβ

(12)

其中

且它们满足α2-β2=B2-E2．于是px的通解为e-ikατ,eikατ,e-kβτ,ekβτ的线性组合，或为cos(kατ),sin(kατ),cosh(kβτ),sinh(kβτ)的线性组合．于是有

px=Acos(kατ+φ)+Ccosh(kβτ+ψ)

(13)

将式(13)代入式(8)，可以得到其他量

(14)

将式(13)和(14)代入质壳关系式(2)，得到

(15)

Cα(B2+β2)sinh(kβτ+ψ)]+t1

(16)

其中t1为常数，可要求τ=0时t=0而确定．若已知t=0时的初速度(vx0,vy0,vz0)，可由此得到初能量W0和初动量(px0,py0,pz0)．结合式(13)和(14)，可以解出A,φ,C,ψ这4个数．

(17)

其中C1,C2,C3为积分常数，由初始坐标决定．于是，问题得到完全解决．

2 特例分析

我们看一个具体例子：设匀强电磁场[见式(7)]中带电粒子初始时静止于原点，求其运动学方程．此时，把τ=0时px0=py0=pz0=0,W0=m代入式(13)、(14)，即可得积分常数为

于是，式(13)、(14)给出

(18)

而式(16)、(17)给出

(19)

不难看出，式(18)、(19)对k,B,Ey,Ez的一切正负可能性都成立．此外，式(19)可视为参数化形式的运动学方程和轨道方程，只不过现在所取的参数是原时．

3 具体讨论

作为一般解，应该在各种条件下回到相应的特殊结果．以下着重分析粒子的运动学方程．

(20)

(21)

此时，可在式(20)中令α→0，或在式(21)中令β→0，都可得到

(22)

讨论4：Ey=0

此时，电场与磁场平行，且α=|B|,β=|E|，式(19)给出

(23)

结果跟磁场无关．这符合预期，因为此时速度方向与磁场平行，洛伦兹力为零.

讨论5：非相对论情形——短时间近似(kατ,kβτ≪1)

下面考虑非相对论近似．非相对论情形下的严格解为

(24)

在一般情形(如电场较大)，随着时间推移，粒子速度会变大，相对论效应变明显，此时牛顿解只在短时间内才可靠．故考虑相对论解式(19)和牛顿解式(24)的短时间近似，二者应该接近．

将式(19)做小量展开，可得到t,x,y,z关于τ的幂级数．反解出τ用t表示的级数，代入x,y,z的级数中，即得到它们关于坐标时t的级数

(25)

而牛顿解式(24)在近似kBt≪1下的展开式为

(26)

可见，二者在最低两阶的行为相同，但再高时开始有不同预言．

讨论6:非相对论情形——弱电场近似

如果电场足够弱，那么粒子速度缓慢增长，使得牛顿解式(24)在长时间内是足够可靠的．在近似Ey,Ez≪B下，式(19)给出

(27)

其中各式的第一项(将τ换为t)正好给出牛顿解式(24)，而后面的项是最低阶的非零相对论修正．

进一步，当Ez=0时，弱电场条件应该会使得牛顿解永远足够可靠，因为速度一直都不大．而从式(27)容易看出当Ez=0时，y作为τ的函数是有界的，符合预期．当然，此时的结果也可以从式(20)中令E≪B而得到．