含参DC复合优化问题值函数的Mordukhovich次微分*

肖程凤,方东辉

(吉首大学数学与统计学院,湖南 吉首 416000)

1 问题的提出

约束优化问题的稳定性分析在力学、经济学和自动控制等领域有重要作用.许多学者研究了经典凸或DC(2个凸函数的差)优化问题的稳定性,得到了可行集算子、最优解算子和最优值函数等的闭性、上/下半连续性、Lipschitz连续性等性质[1-6].

inf {(f∘φ)(x,y)-g(x,y)}s.t.y∈F(x)∩G(x),

(1)

其中几何约束为

F(x)∶={y∈Y:(x,y)∈C},

(2)

不等式约束为

G(x)∶={y∈Y:ft(x,y)≤0,t∈T}.

(3)

注意到,尽管函数f,φ与函数g,ft都具有凸性,但无法保证问题(1)的最优值函数

(4)

是凸函数,且参数的存在使得值函数μ(x)的计算非常复杂,因此导致关于μ(x)的研究比较困难.当φ为单位算子时,方东辉等[5]在函数不一定下半连续、集合不一定是闭集的情况下,引入新的约束规范条件,得到了值函数的Mordukhovich次微分的上估计式.当φ为真K-凸映射时,肖程凤等[7]引入次微分类约束规范条件,得到了问题(1)的值函数的Fréchet次微分上估计式.笔者拟利用函数广义次微分的性质,引入约束规范条件,建立值函数μ(x)的Mordukhovich次微分的上估计式.

2 记号与定义

凸子集D在点z0∈D的法锥定义为

N(z0;D)∶={x*∈X*:x*,z-z0≤0,∀z∈D}.

一般地,f∶=f(x,y)在点(x,y)相应的偏次微分分别表示为∂x(x,y)和∂y(x,y).设(x,y)∈Ω⊆X×Y,则法锥N((x,y);Ω)相应的投影分别为

NX((x,y);Ω)∶={x*∈X*:∃y*∈Y*s.t.(x*,y*)∈N((x,y);Ω)},

NY((x,y);Ω)∶={y*∈Y*:∃x*∈X*s.t.(x*,y*)∈N((x,y);Ω)}.

domF∶={x∈X:F(x)≠Ø},

gphF∶={(x,y)∈X×Y:y∈F(x)}.

φ(tx1+(1-t)x2)≤Ktφ(x1)+(1-t)φ(x2)，

则称函数φ是K-凸函数.设φ:X→R∪{±∞}是实值延拓函数,x0∈domφ且满足|φ(x0)|<+∞.由文献[9],定义φ在点x0的ε次微分为

3 值函数的Mordukhovich次微分估计

设

M(x)∶={y∈F(x)∩G(x):μ(x)=(f∘φ)(x,y)-g(x,y)}.

若无特殊说明,均假设dom (f∘φ-g)∩A与domM非空.用T(x,y)表示点(x,y)∈X×Y的活动指标集,即T(x,y)∶={t∈T:ft(x,y)=0}.定义

任取(x0,y0)∈gphM,y*∈Y*,定义KKT乘子集为

为了研究值函数的Mordukhovich次微分的上估计式,引入以下约束规范条件：

定义1(ⅰ)设点(x0,y0)∈A,若

则称系统{δC;ft:t∈T}在点(x0,y0)满足(BCQ)条件[10].

(ⅱ)设点(x0,y0)∈A∩φ-1(domf),若

则称系统{f,φ,δC;ft:t∈T}在点(x0,y0)满足(CBCQ)条件[8].

引理1[8]假设存在点(x0,y0)∈φ-1(domf)∩intA,使得f在φ(x0,y0)处连续,或存在点(x0,y0)∈φ-1(domf)∩A,使得f在φ(x0,y0)处连续且φ在(x0,y0)处连续.若系统{δC;ft:t∈T}在点(x0,y0)满足(BCQ)条件,则系统{f,φ,δC;ft:t∈T}在该点满足(CBCQ)条件.

(5)

(6)

2εk(‖x-xk‖+‖y-yk‖),

从而对于任意的点(x,y)∈A∩((xk,yk)+ηkB),有

f(φ(xk,yk))+2εk(‖x-xk‖+‖y-yk‖),

因此

又因为f∘φ+δA是X×Y上的凸函数,且系统{f,φ,δC;ft:t∈T}在(x0,y0)满足(CBCQ)条件,所以

于是由KKT乘子集Λ(x0,y0,y*)的定义可知(5)式成立.证毕.

由定理1可得如下推论：

推论1设算子M(·)在点(x0,y0)∈gphM是μ-内半连续的,函数g在点(x0,y0)是内次微分稳定的,且系统{δC;ft:t∈T}在点(x0,y0)满足(BCQ)条件,则当

推论2假设存在点(x0,y0)∈φ-1(domf)∩intA,使得f在φ(x0,y0)处连续.若算子M(·)在点(x0,y0)∈gphM是μ-内半连续的,函数g在点(x0,y0)是内次微分稳定的,且系统{δC;ft:t∈T}在点(x0,y0)满足(BCQ)条件,则对于任意的点

(5)式成立.

推论3假设存在点(x0,y0)∈φ-1(domf)∩A,使得f在φ(x0,y0)处连续且φ在(x0,y0)处连续.若算子M(·)在点(x0,y0)∈gphM是μ-内半连续的,函数g在点(x0,y0)是内次微分稳定的,且系统{δC;ft:t∈T}在点(x0,y0)满足(BCQ)条件,则对于任意的点

(5)式成立.

注1令φ为单位算子,则(4)式可以转化为文献[5]中的值函数,即

此时,本研究中的(CBCQ)条件转化为文献[5]中的(BCQ)f条件,即

由此可知,本研究中的定理1推广了文献[5]中的相关结论.

4 DC复合锥规划值函数的Mordukhovich次微分估计

inf {(f∘φ)(x,y)-g(x,y)}

s.t.y∈F(x)∩G(x),

(7)

其中几何约束为

F(x)∶={y∈Y:(x,y)∈C},

锥约束为

G(x)∶={y∈Y:h(x,y)∈-S}.

此时仍用A表示解集,

A∶={(x,y)∈C:h(x,y)∈-S}={(x,y)∈C:(λh)(x,y)≤0,∀λ∈S⊕}.

用Λ表示关于点(x0,y0)∈gphM和y*∈Y*的KKT乘子集,即

于是由定理1可直接得到以下结论：

定理2若算子M(·)在点(x0,y0)∈gphM是μ-内半连续的,函数g在点(x0,y0)是内次微分稳定的,且系统{f,φ,δC;h}在点(x0,y0)满足(CBCQ)条件,即

由此获得了DC复合锥规划问题(7)的值函数的Mordukhovich次微分上估计式.