B-矩阵线性互补问题的误差界估计*

董瑛雪，莫宏敏

(吉首大学数学与统计学院，湖南吉首 416000)

线性互补问题LCP(M，q)在数学规划、市场均衡、双矩阵对策等领域都具有广泛的应用[1-3].其数学模型为：求一向量x∈Rn，满足

x≥0，Mx+q≥0，(Mx+q)Tx=0,

其中M=(mij)∈Rn×n为给定的实矩阵(Rn×n表示所有n阶实矩阵构成的集合)，q∈Rn为给定的实向量.2006年，陈小君等[4]将P-矩阵线性互补问题的误差界计算问题转换成P-矩阵线性区间系统问题，并给出了当矩阵M是P-矩阵时线性互补问题的误差界估计式：

其中：x*是LCP(M，q)的解；r(x)=min{x,Mx+q}；D=diag(d1,…,dn)(0≤di≤1).近年来，有学者得到矩阵M为某些特殊矩阵类时的误差界估计式[5-7].笔者拟给出P-矩阵的子类B-矩阵线性互补问题的新的误差界估计式.

1 预备知识

为了叙述方便，引入如下符号：

fj=max{uj,1+uj(s(j)-lj)} .

定义2[8]设A=(aij)∈Rn×n，若对于∀i,j∈N+，且j≠i，有

则称A为B-矩阵.

引理1[8]若A=(aij)∈Rn×n是B-矩阵，则A是P-矩阵.

引理2[9]若A=(aij)∈Rn×n是B-矩阵，则A是弱链对角占优B-矩阵.

引理3[9]若A=(aij)∈Rn×n是弱链对角占优B-矩阵，则A是P-矩阵.

2009年，García-Esnaola等[10]首次得到B-矩阵线性互补问题的误差界估计式：设M=(mij)∈Rn×n是B-矩阵，令M=B++C，其中

(1)

(2)

2016年，李朝迁等[11]对(2)式进行改进，得到B-矩阵线性互补问题的一个新的误差界估计式：设M=(mij)∈Rn×n是B-矩阵，令M=B++C，其中B+=(bij)形如(1)式，则

(3)

其中：

(4)

2016年，李朝迁等[9]证明了B-矩阵是弱链对角占优B-矩阵，并首次给出了弱链对角占优B-矩阵线性互补问题的误差界估计式：设M=(mij)∈Rn×n是B-矩阵，令M=B++C，B+=(bij)形如(1)式，则

(5)

其中：

(6)

引理5[10]若H∶=(h1,h2,…,hn)Te,e=(1,1,…,1),h1,h2,…,hn≥0,‖(I-H)-1‖∞≤n-1.

引理6[11]设γ>0和μ≥0，则对于∀x∈[0,1]，有

引理7[12]设A=(aij)∈Rn×n是严格对角占优M-矩阵，则有

2 主要结论

定理1设M=(mij)∈Rn×n是B-矩阵，令M=B++C，B+=(bij)形如(1)式，则有

(7)

证明令MD=I-D+DM，则

(8)

由引理7可得

(9)

由引理6可得

利用引理4和引理6对(9)式进行不等式的放缩，可得

从而，

(10)

由(8)，(10)式可知(7)式成立.证毕.

定理2设M=(mij)∈Rn×n是B-矩阵，令M=B++C，B+=(bij)形如(1)式，则有

(11)

证明由于B+是具有正对角元素的严格对角占优矩阵，因此

0≤uj(B+)<1,0≤lj(B+)<1,0≤fj(B+)≤1,

(12)

(13)

(14)

由(12)～(14)式可知(11)式成立.证毕.

对P-矩阵M，有如下结果[1]：

其中：D=diag(di)，0≤di≤1(∀i∈N+)；‖·‖p(p≥1)是向量诱导的矩阵范数.类似于文献[10]中的定理2.4，运用定理1可得如下结论：

推论1设M=(mij)∈Rn×n是B-矩阵，令M=B++C，B+=(bij)形如(1)式，则有

3 数值算例

例1考虑B-矩阵

令M=B++C，其中

由(3)式可得

由(5)式可得

由(7)式可得

由此可知， (7)式优于(3)，(5)式.

例2考虑B-矩阵

由(2)式可得

当t→+∞时，30(t+1)→+∞，因此该数值结果会趋于正无穷.

由(3)式可得

当t=1时，

当t=2时，

当t=10 000时，

当t=1 070时，

由(5)式可得，对于∀t∈N+，有

由(7)式可得

当t=1时，

当t=2时，

当t=10 000时，

当t=1 070时，

由此可知，(7)式优于(2)，(3)，(5)式.

由数值算例的结果可知，定理1中的误差界估计式改进了文献[9-11]中的结果.