非局部抛物方程组解的一致爆破及边界层估计*

林志强

(福州理工学院，福建 福州 350506)

1 主要结果

考虑如下具有非局部化反应源项的抛物型方程组初边值问题的正解：

(1)

其中：Ω⊂RN(N≥1)为有界区域，边界∂Ω充分光滑；参数α1≥0,β1≥0,α2>0,β2>0；初值(u0(x),v0(x))是非负非平凡函数，u0(x),v0(x)∈C2+α(Ω)(α∈(0,1))，且满足相容性条件.

有学者[1-5]研究了局部或者非局部的抛物方程组初边值问题解的爆破性质.笔者主要研究爆破解的一致爆破和边界层估计，在文献[1]的基础上得到以下结论：

定理1若以下任一条件成立：α1>1;β2>1;0<α1≤1,0<β2≤1,β1α2>(α1-1)(β2-1).则对于大初值，解(u(x,t),v(x,t))在有限时刻爆破.

证明参见文献[1]中的定理2.

定理2设(u(x,t),v(x,t))是方程组初边值问题(1)的解，若u(x,t)和v(x,t)在有限时刻同时爆破，则参数满足α2≥α1-1,β1≥β2-1，或者α2<α1-1,β1<β2-1.

定理3设(u(x,t),v(x,t))是方程组初边值问题(1)的解，且在有限时刻爆破，若α2≥α1-1,β1≥β2-1，则u(x,t)和v(x,t)同时爆破.

定理4假设定理2的条件成立，则在Ω的任意紧子集上一致成立：

(ⅰ)当α2>α1-1,β1>β2-1,β1α2>(α1-1)(β2-1), 或者α2<α1-1,β1<β2-1时，

(ⅱ)当α2=α1-1,β1>β2-1时，

(ⅲ)当α2>α1-1,β1=β2-1时，

(ⅳ)当α2=α1-1,β1=β2-1时，

定理5假设定理4(ⅰ)的条件成立，则对于所有的C,存在t0∈(0,T),k2≥k1>0,使得

定理6假设定理4(ⅰ)的条件成立，且θ1>1,θ2>1，则存在k3>0,t0∈(0,T),对于∀(x,t)∈Ω×[t0,T)，有

2 一致爆破模式

为了方便，记

定义1设f1(t)和f2(t)是定义在[0，T)的函数，若存在0

引理1[5]假设定理2的条件成立，则

0≤u(x,t)≤k2+F1(t),0≤v(x,t)≤k2+F2(t)；

(ⅲ)在Ω的任意紧子集上一致成立

如果仅假定u在有限时刻T爆破，那么这些结论对u和F1成立；同理，如果仅假定v在有限时刻T爆破，那么这些结论对v和F2成立.

定理2的证明由引理1(ⅲ)可知u(x,t)～F1(t),v(x,t)～F2(t)，因此

(2)

由(2)式可知

(3)

当α2≥α1-1时，假定β1<β2-1.对(3)式两边积分，分2种情况来讨论：当α2=α1-1时，有

当α2>α1-1时，有

类似地，可以证明α2<α1-1,β1<β2-1.

证毕.

定理3的证明假定u在有限时刻爆破，v在Ω×(0,T)非负有界，由引理1(ⅲ)可知u(x,t)～F1(t)，因此

因为v(x,t)非负有界，所以在Ω×(0,T)上，v(x,t)≥k>0,其中k>0.于是存在常数0

(4)

(5)

由(5)式可得

证毕.

为了证明定理4，先引入如下结果：

引理2假设定理2的条件成立，则有：

(ⅰ)当α2>α1-1,β1>β2-1,或者α2<α1-1,β1<β2-1时，

(ⅳ)当α2=α1-1,β1=β2-1时,lnF1(t)～lnF2(t).

证明因为

所以

(6)

(ⅰ)当α2>α1-1,β1>β2-1时，对(6)式两边从t0(>0)到t积分，可得

(ⅱ)当α2=α1-1,β1>β2-1时，

(7)

对(7)式两边从t0(>0)到t积分，可得

(ⅲ)当α2>α1-1,β1=β2-1时，

(8)

对(8)式两边从t0(>0)到t积分，可得

(ⅳ)当α2=α1-1,β1=β2-1时，

(9)

对(9)式两边从t0(>0)到t积分，可得

于是lnF1(t)～lnF2(t).

证毕.

定理4的证明

(10)

(11)

(ⅰ)当α2>α1-1,β1>β2-1,或者α2<α1-1,β1<β2-1时.由(10)式和引理2(ⅰ)，有

于是

即

(12)

由

(13)

从而，在Ω的任意紧子集一致成立

故

同理，在Ω的任意紧子集一致成立

(ⅱ)当α2=α1-1,β1>β2-1时.由引理2(ⅱ)，有

于是

(14)

(15)

根据L′Hospital法则，有

所以

(16)

由(15)，(16)式可得

(17)

由u(x,t)～F1(t)在Ω的紧子集一致成立,令

即

从而

(ⅲ)当α2>α1-1,β1=β2-1时.证明与(ⅱ)类似，可得

(ⅳ)当α2=α1-1,β1=β2-1时.由(10),(11)式可得

(18)

(19)

由(18)，(19)式可得

于是

(20)

由引理2(ⅳ)可知lnF1(t)～lnF2(t)，即

因此在Ω的任意紧子集一致成立

证毕.

3 边界层估计

作为讨论的基础，引用文献[5]中关于单个方程问题

(21)

引理3[5]假设g(t)≥0,w是问题(21)的解，且在有限时刻T爆破.若g(t)是标准的，则对于∀C>0,存在t0∈(0,T),k2≥k1>0,使得

引理4[5]假设g(t)≥0,在[0，T)上连续，在(0,T)上Hölder连续，w是问题(21)的解，在有限时刻T爆破，且w0(Ω)∈C0(Ω).若G1(t)是标准的，则存在k3>0,t0∈(0,T),使得

定理5的证明由定理4(ⅰ)，有

已知f1(t)，f2(t)在[0，T)上连续，在(0,T)上Hölder连续.由θ1>1,θ2>1，可得

(22)

(23)

证毕.

定理6的证明

(24)

(25)

对(24)，(25)式积分，可得

经过计算可得

同理可得

因为-θ1<-1,-θ2<-1,所以F1(t)，F2(t)是标准的.由引理4可得

(26)

(27)

于是由(22)，(23)，(26)，(27)式可得：

证毕.