培养解题反思能力 促进思维有效发展

邹淑华

（福清市教师进修学校，福建 福清 350300）

反思概念在教育领域中的明确运用始于杜威，他用“反省思维”（reflective thinking）指称反思，认为“这种思维乃是对某个问题进行反复的、严肃的、持续不断的深思”“就是有意识地努力去发现我们所做的事和所造成的结果之间的特定的联接，使两者连接起来”。［1］

教学中，学生常常出现思维不清、考虑不周，审题不严、思考无序，表述不畅、交流欠缺，不求甚解、浅尝辄止等问题和现象，教师应有意识地加以指导，以形成解题反思能力，促进他们数学思维有效发展。文章结合笔者的教学实践，谈谈引领学生解题反思的几点作法。

一、引领互动，促发反思

学生的学习是在学生与学生、学生与教师的交流与碰撞中进行的，学生之间的思维碰撞又岂是教师能预设的，预设不了是正常的。

随着学生知识经验的积累，解决同一个问题调取的经验也会各不相同。不同的思维方式相互碰撞，他人的思考正是促进他们重新面对同一问题反复思考、深入思考的“引线”。

教师应及时将这一“引线”引燃，使个别学生的思想火花点燃全体学生的思维。

已知图1 中圆内最大正方形的边长是10cm，求这个圆的面积。

学生们有许多不同的算法，于是笔者引领他们一起探讨归结，得到如下3 种算法。

生1：外圆内方中正方形和圆的面积比是2:π，10×10=100，100÷2×3.14＝157；

生2：10×10＝100，100×2＝200，200×1/2×1/2＝50，3.14×50＝157；

生3：外圆内方中圆和正方形的比是1.57:1，也就是圆的面积是正方形面积的1.57 倍，直接用10×10×1.57＝157。

基于此，笔者把握时机引领他们从割补的角度思考，一句“你能从分割和互补的角度思考求圆的面积吗？”激发了他们激烈的交流与互动，于是又产出了如下两种绝好的解法。

生4：我们知道外圆内方的阴影面积是1.14r2，那么圆的面积减去阴影面积就是正方形的面积:3.14r2－1.14r2＝10×10，计算得出r2＝50，πr2＝3.14×50＝157；

生5：外圆内方正方形可以分成两个三角形，底是2r。高是r，那么2r2＝100，r2＝50，也就求出πr2＝3.14×50＝157。

至此，学生异常活跃，他们时而发出赞叹，时而点头认可，时而自发鼓掌。笔者趁热打铁，提出这样一个问题促发他们反思：“我们用这么多不同的方法解决了这个问题，这些方法有共同之处吗？”

学生们都自觉地把目光聚焦于刚才的解法上，进行探索、反思。

生6：他们都是通过圆和方之间的关系来解题的，有的是找圆和方的比，有的是找圆的半径与正方形面积的关系r2＝50，有的是通过阴影部分面积找到圆与方面积的关系。

师：为什么别人的方法你没有想到呢？

生：“我比较熟悉阴影部分面积”“因为我不太记得圆与方的面积比”“在上外圆内方的那节课虽然也得出阴影部分面积，但对正方形面积就是2r2的推理过程还是不熟悉，所以没想到用这种方法，今天清晰多了”“如果这些知识点我能记得比较清楚，我的方法就会很多”“听了大家的讲解，现在我会用好几种方法解这道题了”“是的，外圆内方中两个图形（圆和方）的关系有着许多不同的表现方式，我们熟知的方式越多解题的方法自然就越多”。

评析：引燃“引线”，适时引导，点燃全体学生的思维，激发他们参与讨论，拓展他们的探究空间，既有提高教学质量的近期效果，又有提高学生学习能力的长期效应。

在互动交流中，学生或表达或回想自己学习相关知识的经历，欣赏学习他人的同时分析和发现自己的不足:或想得不清晰，或想得不全面……可以感受到学生们在此过程中不仅清晰多种解题思路，积累了解决问题的经验，同时不断反思和修正自己的思考。

二、引导对比，助力反思

比较是最常用的学习方法之一，通过比较事物的相同点与不同点可以突显事物的某个特征。我们在教学中使用比较的方法能够帮助学生有针对性地展开观察、分析等思维活动，对知识的重点处或关键点进行更清晰、更深入的反思，最终达到把握知识本质的教学目的。

在教学百分率这一课时，为了引导学生自觉提炼求百分率的方法，笔者在练习中编排了这一题组：

（1）六二班应出勤人数51 人，今天实际出勤50人，求六二班今天的出勤率；

（2）六三班应出勤人数48 人，今天有3 人生病没来，求六三班今天的出勤率；

（3）六一班今天出勤人数45 人，有5 人生病没来，求六一班今天的出勤率。

笔者先逐题出示，独立分析解答，把算式板书在黑板上（如图2），每一题汇报时都请学生说数量关系。三题都解答交流结束后，笔者引导学生比较反思：“认真观察三个算式，都是求出勤率，列出来的式子有什么相同和不同的地方？”

生1：“相同点都是用除法计算。都是用出勤人数除以总人数”；

生2：“不同点是出勤人数和总人数在第一题里是直接告诉我们，就直接除。第二题里要用总人数减去缺勤人数先求出勤人数，第三题里总人数要先用出勤人数加缺勤人数来求。”

教师进一步助力反思：“通过这三题的对比，今后在解决这样的问题时想如何思考，要注意些什么？你有什么想提醒自己的吗？”

至此，学生明白了：“求出勤率只要找到出勤人数和总人数两个量，把出勤人数除以总人数再乘100%就可以了”“审题时要特别注意这两个信息有没有直接告诉，没有的话要仔细分辨，并先计算出这两个量”。

评析：学生在解决问题时常常出现审题不清，思考无序的问题，看似粗心，实际是学生的思维不清晰，对知识的理解不到位、不准确造成的。

教师应在了解学情的基础上，引导方法对比来助力学生反思，通过对比相同点、不同点和易混点，使学生思维清晰，以达到做一类会一片的目的。

三、以形释数，诱导反思

把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。

数形结合的应用大致可分为“以形助数”和“以数助形”两种情形，即借助形的几何直观性来阐述数之间的某种关系，以及借助数的精确性来阐述形的某些属性。

更多的时候需要以形释数，就是以“形”的生动和直观认识“数”，帮助数量关系的建立，此时“形”为手段，“数”为目的。

分数加减法学习之后，笔者让学生用学过的方法计算1/2+1/4+1/8+1/16，学习转化策略。学生大多数用化小数与通分的方法，都转化成熟悉的问题计算出结果，只有少数的学生用拆分分数：

当学生汇报完画图法之后（见图2）：

图2

笔者提出一个问题：“上面哪种方法你也能用画图的方法来说明？”片刻后，学生就纷纷举手：“先凑整后再这种方法也可以在图上看出来。先，就是为了和前面的数凑成1，要想得到正确的结果只要再”；“通分的方法也可以，二分之一就是十六分之八，四分之一就是十六分之四……”（见图3）：

图3

此时，笔者又问：“这么多种方法，你对哪种方法印象深刻？”学生很快回答：“画图！”“为什么？”“因为画图能很清楚地看出转化的方法，能够帮助我们理解前面的几种算法”“老师，从图上可以看出好几种方法都是把这个长长的算式转化成了1-这个简单的算式来计算。”

评析：数学知识的表述决定课堂交流的深度，数形结合的方法使计算的过程更直观，帮助学生更加地清晰表达和解读前面的算法，从而进一步领会每一种算法是怎样转化？为什么这样转化？

这样的数与形的结合，用“形”来解释“数”诱导学生反思，学生从对前面的每种转化方法再思考再认识，到更深入地发现它们的共同之处，再全面地认识转化的方法，思维因此逐步深入，更趋完善。

四、错因探析，倒逼反思

错题是学生解决问题思维出现偏差的体现，也是学生再学习的宝贵资源。利用好这个资源，倒逼学生对自己的错题进行反思，找到错因并加以修正，学生的思维才会更清晰、更深入、更全面、更合理。

例如这样的一道选择题：有一个钟面分针长2 厘米，从2 时到3 时分针针尖走过的距离是（）厘米。A.6.28 B.12.56 C.3.14

考试时学生就多次提出题目是否出错的质疑，有的学生在交卷时还是没能正确解答。面对考卷中的这一错题，笔者像往常一样没有评讲，而是把关键句“从2 时到3 时针尖走过的距离”帮学生点出来，然后逼他们反思这是什么意思，并写出反思总结。

学生通过反思，写出反思总结：“从2 时到3 时分针针尖走过的距离不是从钟面上数字2 走到数字3，而是从2 时这个时刻到3 时这个时刻分钟从数字12开始转动一圈又回到12。分针走过的距离刚好是一个半径2 厘米的圆周长，所以用圆周长计算的公式C=2πr=2×3.14×2=12.56，所以应选B”，以及“下次遇到这样的题目要认真读题，注意题里说的是时刻还是钟面数字，还要注意问的是分针还是时针”等。

评析：学生面对错题时很容易因为知道了正确答案而对解题的正确思路不求甚解，感觉大概是这样。错题虽然订正了，但思考并不清晰。要求写错题分析就倒逼着学生不得不理清解题过程，理清解题思路。长此以往，思维必然不断清晰化、合理化。

在数学解题中，解决问题的经验是在不断反思中分析、理解、感悟、概括后积累起来的，引领学生对解题的过程方法再思考、再认识，能有效地培养起他们思维的深刻性、批判性和广阔性。