如何利用零点情况求解参数值或取值范围

庄静

【摘要】零点现象是高中数学中独树一帜的情况，“根据函数零点的情况，讨论参数的范围”是当代高考对考生的考查重点之一.零点同时联系了不等式、函数、方程等不同模块的知识内容，灵活运用这些知识往往容易成为解答零点问题的关键.通过对一定数量例题的分析总结我们不难发现，零点现象常常和参数求解问题同时存在.对于如何利用零点情况求解参数的具体值或取值范围，我们不妨从这三种不同角度，即数形结合、方程思想与导数性质出发思考并解题，这不仅可以提升同学们的解题能力，还可以以此培养同学们的综合素养.

【关键词】参数范围;零点情况;数形结合;方程思想;导数

一、解题思路

函数的零点求解中的点，本质上是函数图像与横轴交点的横坐标，但在实际数学应用中，横坐标的这种“跨界性”更具探究意义，因此函数的零点就简化为用横坐标来进行零点的表述.关于函数的零点，常见的问题设计有：连续函数零点存在性的确立;连续函数零点个数的判断;用二分法求函数零点的近似值等.由于函数零点与方程根的关系，问题的解决途径也可以转化为方程形式.近两年高考试题中函数零点的相关问题展现出数学中的划归思想、数形结合思想，以及导数解题思想，我们可以从中感受到数学思想方法的魅力.

二、数形结合求解

数形结合与“零点”的结合，可谓是“锦上添花”的组合，主要过程是将已知方程一分为二转化为y=g（x）和y=h（x），以这两个函数所对应图像的交点来体现方程根的情况，进而结合图像求解题干中未知参数的具体值.对问题中的方程“一分为二”时，要注意等号两边应是容易画出图像的函数解析式，作图时要充分利用函数的单调性、奇偶性等性质，还要在图中标注每个函数图像的最高点、最低点等一些特殊点.

例1 已知函数f（x）=2x，0≤x≤1，

1x，x>1，若关于x的方程f（x）=-14x+a（a∈R）恰好有两个不同的实数解，则a的取值范围为.

思考 利用數形结合求解零点问题时，首先解读问题中的已知条件，把方程恰好有两个实数解转化为y=f（x）和y=-14x+a（a∈R）的函数图像在x的取值范围内有两个交点进行求解，随后在同一个直角坐标系中画出y=f（x）和y=-14x+a分别对应的图像，最后应对y=-14x+a图像进行上下平移和分析，当两个函数图像有两个交点时，确定对应y的取值范围，这样才能求出函数中未知数a的取值范围.由于已知f（x）是分段函数，因此同学们在作图时应注意对应函数区间端点的取值，避免在后面解题的过程中出现错误的判断.

解 由题意可得，关于x的方程f（x）=-14x+a（a∈R）恰好有两个不同的实数解可转化为y=f（x）和y=-14x+a（a∈R）的函数图像有两个不同的交点.

在同一个直角坐标系中分别作出f（x）=2x，0≤x≤1，

1x，x>1和y=-14x+a（a∈R）的函数图像，如图所示.

当一次函数y=-14x+a（a∈R）的图像经过分段函数f（x）=2x，0≤x≤1，

1x，x>1图像中的一个顶点（1，2）时，可以得出a=94;当直线y=-14x+a（a∈R）经过分段函数f（x）=2x，0≤x≤1，

1x，x>1的另一个顶点（1，1）时，可以得出a=54.

由图像易知，当a∈54，94时，分段函数y=f（x）和一次函数y=-14x+a图像有两个不同交点，即方程有两个不同的实数解;

当直线y=-14x+a（a∈R）与反比例函数y=1x，x>1的图像相切时，方程1x=-14x+a只有一个实数解，即ax-14x2-1=0，Δ=a2-1=0，解得a=1或a=-1（舍去），此时方程f（x）=-14x+a有两个不同实数解.其他情况均不满足题意.

综上所述，a的取值范围为54，94∪{1}.

三、方程思想求解

函数中有关零点的求参数取值范围的问题的求解方式，不仅可以从函数图像方面以数形结合的思路考虑，利用函数图像之间的交点来进行分析解答，还可以从方程求解方面找到问题之间的联系进行进一步求解.方程思想的运用，具体是指把求解零点数值的问题转化为求解方程得到实数根的问题，借助方程实数根的解题思路以及相关的知识点列出含有参数的等式或不等式，进而进行分析求得题中所需的具体答案.借助方程实数根的解题思路对零点问题进行求解恰恰与数形结合的解题思路相反，如果说数形结合运用的是“一分为二”的解题方法，那么方程思想这种 “合二为一”的解法也能够有效解答零点参数求值范围的问题.

例2 已知c≠0，函数f（x）=-cx2+cx，g（x）=x3-cx2+cx，如果函数f（x）与函数g（f（x））有相同的零点，则c的取值范围是.

思考 利用方程思想进行零点参数取值范围的解题时，首先对问题中的函数f（x）进行分析整理，易知函数f（x）的零点为x1=1，x2=0，根据问题中对函数有零点的要求，先令g（f（x））=0可得到f（x）=0或f2（x）-cf（x）+c=0，但x1=1，x2=0明显不是方程f2（x）-cf（x）+c=0的解，在这个条件下函数f（x）与函数g（f（x））有相同的零点的设想是无法成立的，因此函数f（x）与函数g（f（x））有相同的零点这个结论成立的充要条件是方程f2（x）-cf（x）+c=0无实数根，随后对方程f2（x）-cf（x）+c=0进行综合分析，便能求得参数c的取值范围.

解 令f（x）=0，解得x1=1，x2=0.

令-x2+x=t，t∈-∞，14，将题干中的函数进行换元以及代入.

∴f（x）=ct，g（f（x））=c3t3-c3t2+c2t.

解方程g（f（x））=c3t3-c3t2+c2t=0，可得t=0或ct2-ct+1=0.

当t=0时，求得x=1或x=0;

当ct2-ct+1=0时，∵c≠0，∴t2-t+1c=0，∵t=0不是该方程的解，∴t2-t+1c=0在t∈-∞，14内无解，即t=14时t2-t+1c>0，可求得0

综上所述，c的取值范围是0，163.

四、导数性质求解

零点情况与导数往往有着密切的联系，在导数中零点和函数的极值更能画上等号，利用导数中的零点情况求解参数具体值或取值范围，也是同学们经常能见到的一种解题思路.运用导数性质进行解题，实际是通过对函数解析式进行求导，凭借导数讨论并分析已知区间内函数的单调性，判断求导函数与x轴是否有交点，以此求得参数的具体值或取值范围.解题时可能会对函数多次求导，同学们还需要注意区分每一次求导的解析式和意义，避免出现混淆导致答案错误.

例3 已知函数f（x）=aln x+2x-ex-1x2（a∈R，a为常数）在（0，2）内有两个极值点x1和x2，且x1

思考 先对题中所求的问题进行分析解读与整理，可以把函数f（x）在（0，2）内有两个极值点转化成f′（x）在（0，2）内有两个零点的问题进行求解，其次还需要对f′（x）进行求导得到f″（x），对a的值进行分类讨论，求得对应的f″（x）值和f′（x）的单调性，综合判断求出f（x）满足（0，2）内有两个极值点条件的参数取值范围即可.

解 对f（x）求导可得，f′（x）=a1x-2x2-ex-1（x-2）x3=（ex-1-ax）（2-x）x3，x>0，

記ex-1-ax=h（x），x>0，由题意可得，h（x）在（0，2）上存在2个零点.

∵h′（x）=ex-1-a，∴当a≤1e时，h′（x）>0，h（x）在（0，2）上单调递增，至多有1个零点，不符合题意，

当a>1e时，令h′（x）=0，得x=1+ln a.

①当1+ln a<2且h（2）>0，即1e

当1e

当10，且当x靠近0时，h（x）趋近于1e>0.从而h（x）在（0，1+ln a）和（1+ln a，2）上各有一个零点，

∴h（x）在0，2上存在2个零点.

②当1+ln a<2且h（2）≤0，即e2≤a

③当1+ln a≥2，即a≥e时，h（x）在（0，2）上单调递减，h（x）至多有1个零点，不符合题意.

综上所述，实数a的取值范围是1，e2.

总之，零点情况在不同知识模块中有着不同的表达意义，利用不同情况下的零点意义可以高效解答参数相关问题：在函数图像中可以用两个函数图像交点表示;在方程中针对实数根进行等价转换;在导数中也可以是极值意义.这些零点情况的表达方式，恰恰证明了零点现象的重要性，也在提醒同学们应该重视零点现象的灵活运用，以此提高思维能力和解题效率.对于函数零点题目求解而言，解题思路随着题型的不同运用的解题技巧也是有所差别的，不同类型的零点问题，其方法也不尽相同，甚至会不仅仅运用其中一种方法进行求解，也有时不一定有解.在具体的解题过程中，应根据题干所给出的条件，对解题方法进行科学的选取，以保证解题结果的正确性，这对学生在解题中的思维灵活性以及数学知识的掌握程度都有一定要求.

总 结

高中阶段对函数零点的考查主要集中在这两个方面：一是结合函数零点的存在性，运用函数定理以及函数图像，对函数是否存在零点以及零点的个数进行判断，进而判断零点所在的区间，即零点的取值范围;二是利用零点（方程实根）的存在求相关参数的值以及取值范围.函数与导数相结合是数形结合、方程思想、导数求值这三种解题思路中较难的.学生应理解函数的零点、方程的根、函数图像与直角坐标系中x轴有交点的等价性质，掌握零点的存在性定理.教师要注重培养学生函数与方程思想、数形结合思想以及等价转换思想的应用意识，使其在零点问题的解题过程中能够灵活运用.

【参考文献】

[1]桑园.利用函数零点求参数的取值范围[J].河北理科教学研究，2019（02）：31-32.

[2]肖骑兵.函数零点中参数取值的求解[J].中学教学参考，2010（04）：81.