几何直观：小学数学课堂教学的助力器

陈瑛 傅佳俊

【摘要】《义务教育数学课程标准（2011版）》将“几何直观”作为新增的四个核心概念之一.学生正确理解几何直观的意义与价值，有利于教师在教学中运用几何直观，有利于学生从几何直观角度探究数学知识和解决数学问题.几何直观运用在“数与代数”领域的教学策略有：以形释数，抽象概念直观表征策略;以形探理，理解算理直观再现策略;以形辅数，解决问题直观促思策略; 润数于形，梳理知识直观构建策略.

【关键词】几何直观;小学数学;运用策略

教师在小学数学教学中运用“几何直观”开展教学，符合小学生直观思维发达、抽象思维较弱的特点，借助几何直观的运用策略，可以降低学生学习难度，使学生积极主动地投入到数学抽象知识的学习.在“数与代数”领域中运用几何直观，

充分发挥了几何直观对小学数学教学的助推作用

，使学生对数学知识的理解更全面、深刻，有助于促进学生抽象思维能力的发展.

一、几何直观的意义与价值

什么是几何直观？几何直观是把抽象的数学知识转化成图形的一种学习方式，在几何直观辅助下，学生可以借助图形高效学习数学知识，加深对数学概念、数学公式的理解.基于几何直观对小学数学教学的作用，教师在开展“数与代数”领域的教学时，要把抽象的数学语言和几何图形结合起来，让学生在直观图形的引导下理解知识的重点和难点，顺利完成学习内容.因此，几何直观是创新教学中的一种重要教学方式和学生自主学习运用的重要思想方法

，不管是对教师的教学，还是对学生的学习活动都有极为重要的推动作用.

二、“几何直观”在“数与代数”领域教学运用策略

“几何直观”是新课标中新增的核心概念之一.

在教学过程中，

运用“几何直观”可以让学生把抽象的数学知识和图形结合起来，学习数形结合的思想.

在学习过程中，教师要注重培养学生运用“几何直观”的能力，使他们在学习过程中能运用几何直观思想来分析所学的知识，促进他们数学思维的发展.几何直观在小学数学的各个领域均有不同程度地渗透，本文重点阐述其在“数与代数”领域中的运用，明确“几何直观”在教学活动中的促进作用.笔者结合自己的教学实践，作了如下尝试.

（一）以形释数——抽象概念直观表征策略

小学生在学习数学知识时，经常采用直观思维来理解教材内容.在学习过程中，他们抽象思维较弱，很难理解抽象的数学知识.针对小学生的思维发展情况，在开展教学时，教师借助图形来引导学生的思维，可以获得较好的学习效果，使他们在图形的辅助作用下理解抽象的数学语言和数学公式，降低他们在学习过程中的挫败感，从而在图形与数学知识结合的过程中掌握所学知识，并能灵活运用.

【案例1】 “最大公因数”教学片段

在传统的教学模式中，教师普遍采用的是在黑板上书写两个自然数，然后让学生找出这两个自然数各自的因数，引导学生发现这两个数公有的因数，从而揭示公因数与最大公因数的概念.这样的教学方式中学生是被动学习，只是浅尝辄止，并未真正建构知识体系，对如何求最大公因数一知半解，随机变换自然数后就会遇到问题.把“几何直观”运用到小学数学教学中，教师在将教学内容重新整合后，利用数与形之间的联系，引导学生从知识产生的角度分析，从而掌握公因数和最大公因数的关系和求法.

教师出示问题：长方形纸片长18厘米，宽12厘米.要把这个纸片分割成同样大小的正方形，并且没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？

师：请同学们根据题目大胆地猜测，想一想正方形的边长可以是多少厘米？你能通过操作来验证猜测结果吗？

生：我猜测正方形的边长可以是1厘米.

师：你怎样来验证？

生：用边长1厘米的正方形来摆一摆.长18厘米可以摆18个，宽12厘米可以摆12个.

教师根据学生的说法进行课件演示：边长是1厘米的正方形可以把这个长方形摆满，并且没有剩余.

师：边长为1厘米正方形完全符合条件，还有没有其他分割的方法呢？

在教师的引导下，学生尝试用边长为2厘米、3厘米、4厘米的正方形来进行分割，并验证，同时相互交流铺摆的情况.

师：不计算，你是不是可以推断出能否摆满？

课件分别呈现用边长2、3、4厘米的铺摆的情况和思考过程.

师：你能尝试用边长为5厘米、6厘米、7厘米的正方形进行分割，并铺摆在要分割的这个长方形上吗？请同学们根据铺摆情况进行判断……

小结归纳：通过同学们的实际操作和教师的课件演示，得出用边长为1厘米、2厘米、3厘米和6厘米的正方形可以将长方形完全分割，并且没有剩余，而用边长是4厘米、5厘米或7厘米的正方形分割，就有剩余了.

师：1、2、3、6与18、12有什么关系呢？

生：这些数都18的因数，也是12的因数.只要是18和12都有的因数就一定可以摆满，而且没有剩余.

学生说得太棒了，教师在学生的回答的基础上用韦恩图揭示公因数和最大公因数的意义.

这样的教学方式不同于传统“最大公因数”的教学.在只讲解抽象的数概念的情况下，学生学习公因数与最大公因数都是只限于表层意义的理解;而结合“几何直观”进行学习，教师能够充分调动学生的主动性，引导他们在分析问题时先大胆猜测，然后借助操作活动进行验证，在直观操作过程中获得最大公因数的深刻认知.学生的抽象思维得到了发展，并进一步理解了最大公因数的意义和求法.在几何直观的作用下，学生初步具备了数形结合的思想，产生了运用几何直观分析数学知识的意识，提升了运用几何直观的能力.

（二）以形探理——理解算理直观再现策略

理解算理是学生掌握算法、提高计算能力的重要环节.在传统的教学过程中，教师只注重计算方法的教学，而忽略了算理的教学.学生在学习过程中由于思维能力的限制不能通过自主分析掌握算理，只能死记硬背同一类型计算题目的计算方法，以致出现只知解法和不知算理的情况，只要算式稍微进行变化，就会不知所措.因此掌握算理是提高学生计算能力、激发学生计算兴趣的重要前提.在教学这部分内容时，教師可以运用“几何直观”来引导学生的思维，让学生通过直观的方式理解知识，掌握知识的本质.

【案例2】 “分数乘分数”教学片段

师：我们已经学习了分数乘分数，那么像这样的分数乘分数你会计算吗？板书：25×13.

生：会.分子乘分子，分母乘分母.

师：没错分数乘分数你们都已经会了，那你们知道分数乘分数为什么要这样计算吗？

大部分学生都不知道答案.

师：我们学习分数乘分数，不仅要掌握计算方法，还要理解为什么要这样算.这就是我们今天课上探索的重要内容.我们可以通过画图进行理解.

教师让学生自己说一个分数乘分数的算式，先计算出结果，再通过画图进行验证.经过自主思考和画图探究，有学生举手提问.

生：老师，我写的分数乘分数的算式是25×9899，我不知道怎么画图来验证？

师：这两个分数你能用画图表示吗？

生：可以，25用画图表示很简单，而9899就有点麻烦了，需要画的太多了.

师：在验证时，我们可以不画在纸上，而是通过想象来进行验证.首先在脑海中想象出25×9899的图，然后进行验证.对于23×45和21100×910这类式子，我们就可以用这种想象的方法画图和计算.

师：现在，同学们能领悟到分子乘分子，分母乘分母的道理了吗？

生：画图表示乘法ba×dc，（在黑板上边画图边说明）先把长方形平均分成a行，取其中的b行涂上颜色，表示ba，再把涂色部分平均分成c列，取其中的d列涂上颜色，表示dc，这时长方形就被平均分成了a行c列，所以a×c就是结果的分母; 涂色部分是b行d列，所以b×d就是结果的分子.

运用“几何直观”的思想来分析分数乘分数，学生认识到了分数乘分数的算理和意义.当教师追问：“为什么分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母？”时，我们欣喜地看到，学生一次次的尝试画图，先分再取，后又分再取，将抽象的算理逐渐直观化、形象化地体现出来.在学习中运用“几何直观”，学生能够从中提炼算法，把抽象的问题简单化，真正提高自身的运算能力.

（三）润数于形——梳理知识直观构建策略

在课堂小结或单元复习整理时，帮助学生理清知识之间的联系是教师的教学目标之一.在日常的教学中，老师们对新授课的研究较多而对复习课或练习课的关注很少.如果教师赋予复习课一条主线，借助“几何直观”帮助学生梳理知识、构建知识框架可以更好地完成教学目标.通过“几何直观”带领学生进行复习，可以让学生把学过的知识用图形的方式联系起来，从而完善知识体系，实现高效的复习效率.

【案例3】 “运算定律与简便计算单元复习”教学片段

师：课件展示：一个长25厘米，宽12厘米的长方形看到这个长方形，你能想到什么问题？

生：求这个长方形的周长，还能求它的面积.

师：你能计算这个长方形的面积吗？如何列式？

生：12×25，也可以是25×12.

课件呈现：12×25 25×12

师：这两个算式之間有什么联系？

生：12×25=25×12 师跟进：你是怎么想到的？

生：它运用了乘法交换律.

根据学生的回答，老师整理板书：a×b=b×a.

师：（课件展示图片）请同学们认真观察图片，结合图片分析算式20×5×2表示的实际意义是什么？

生：将图上长方形的宽平均分成了2份，每份就是20×5，表示的是一个小长方形的面积.

师：我明白了，原来这个20×5是在计算一个小面积呀，那么这个等式又运用了什么性质呢？

生：乘法结合律.

师：计算长方形的面积时既可以整体考虑，又可以分一分再计算.这样的规律就是乘法结合律，用字母表示为（a×b）×c=a×（b×c）（教师板书）.

在案例中，教师结合课件让学生复习了运算定律，运用数形结合的思想，从长方形的面积出发，引导学生在观察图形的基础上深入理解了乘法交换律、乘法结合律的实际意义，帮助他们建立运算定律知识结构体系.学生经历了由图形到公式，再由公式到图形的双向学习过程，通过观察、思考和分析深刻掌握了所学的运算定律.

其实数学复习课不乏用几何直观图整理知识的案例，像六年级总复习“数的认识”中，教师用数轴呈现数的分布情况，学生就能直观感受到数的分类以及它们之间的联系，看到数想到图这就是几何直观思想.

结 语

在小学数学教学中，学生想要深刻掌握抽象的数学知识，不仅需要具备较高的抽象思维能力，还要学会运用几何直观分析和探究数学知识和解决数学问题.同样的，教师在讲授“数与代数”的知识时要引入“几何直观”，让学生把抽象的知识与几何直观图形结合起来，彰显运用几何直观在数学教学中的意义与价值，架起直观图形与抽象知识的桥梁，让数学变得更简单.