针对机动目标的最优滑模制导律设计

张哲铭，马清华，陈 韵，许 琛，王帅为

(西安现代控制技术研究所，西安 710065)

0 引言

随着现代武器的发展，在精确打击目标的设计中，除了命中精度的基本要求外，还要求以特定的落角来打击目标。例如，对于坦克来说，落角约束能使导弹以期望的角度攻击坦克的薄弱部位，实现更有效的毁伤。而且，随着现代战争的需求，目标的机动性越来越强，这就对制导律提出了一定的要求，因此，有必要研究以机动目标为对象的制导律。

近年来，具有落角约束的终端制导律引起了越来越多的关注，国内外的学者进行了许多相关的研究。文献[1]针对直升机载空地导弹配装多种战斗部时不同落角的需求，利用最优控制理论研究了带有落角控制的制导律；文献[2]研究了多约束条件下距离加权最优滑模制导律；文献[3]研究了多约束条件下反演滑模制导律的设计，能有效实现期望落角和中靶精度；文献[4]针对空地武器三维空间内的制导模型，运用二次型最优推导出一种最优制导律，在实现落角控制的基础上，攻角、侧滑角变化平稳；文献[5]将目标机动加速度看作未知有界的不确定性，基于非奇异终端滑模和自适应滑模干扰观测器设计了终端角度约束的制导律；文献[6]针对导弹拦截机动目标时要求限制终端攻击角度的问题，提出了一种基于扩张干扰观测器(EDO) 的有限时间收敛制导律。

基于对大机动目标跟踪的需求，文中在最优控制理论的基础上推导出了一种针对机动目标的多约束制导律。仿真结果表明，该制导律对机动目标的跟踪特性良好。

1 导弹和目标的相对运动方程

建立二维纵向平面的导弹与目标的数学模型进行制导律的分析，同理可将该分析方法应用于侧向平面。

将导弹和目标视为两个质点，分析导弹和目标在纵向平面内的相对运动关系。弹目运动关系图如图1所示。

图1 弹目运动关系图

由图1可以得到以下弹目运动方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中:wR，uR分别为目标和导弹加速度在视线方向上的分量；wq，uq分别为目标和导弹加速度垂直于视线方向上的分量。

(5)

式中，aT和aM分别为目标和导弹加速度在视线法向上的分量，针对式(5)建立状态方程：

(6)

2 最优滑模制导律

2.1 带有落角约束的最优制导律

对于各状态变量，起始时刻有：

终端条件为：

x1(tf)=0x2(tf)=0

假设aT=0，选择脱靶量和能量控制最小函数作为最优性能指标[8]。

(7)

这是一个典型的二次型性能指标的最优控制问题，由最优控制理论可知，最优控制的解为：

u*=R-1BTPX*

(8)

选取R=1，u*=aM,式(8)变为：

aM=-BTPX*

(9)

P为满足以下逆黎卡提微分方程的解:

(10)

令：

则式(10)可以表示为：

(11)

(12)

由式(12)中第三式可得：

(13)

(14)

将式(14)代入式(12)中第二式可得：

(15)

由式(15)可得：

(16)

其中dt=-dTg[8],故式(16)可解为：

(17)

将式(17)代入式(12)中第一式可得：

(18)

由上述推导过程可求得逆矩阵P-1的解：

(19)

从而可得到P的解：

(20)

将式(20)代入式(8)可以得到最优控制：

(21)

令x1=q+θf，其中θf为期望落角，给定θf>0，因为终端条件x1(tf)=0，最终落角为负值。式(21)可变为：

(22)

式(22)即为带有落角约束的最优制导律，式中第二项为传统比例导引，第一项为角度约束项，保证命中点的落角满足期望值。

2.2 最优滑模制导律

对于变结构制导律而言，首先设计滑模超平面，使得系统的滑动模态趋于稳定，并满足最优制导律的性能指标要求，首先定义滑模面：

(23)

(24)

将aT视为干扰项f(t)，把式(5)、式(21)代入式(24)中可得：

(25)

忽略干扰项，构造最优趋近律为:

(26)

结合式(5)，可以解得:

(27)

(28)

可以证明，对于运动目标，当‖F(t)‖有界时，制导律(如式(28))可以保证制导过程中的稳定性[11]。

考虑到干扰项F(t)难以直接测量，这里采用观测器来补偿该干扰项。

3 基于观测器补偿的制导律设计

考虑如下单输入单输出系统:

(29)

(30)

观测器如下：

(31)

由此，式(28)可以表示为：

(32)

最终得到的观测器补偿的最优滑模制导律共有4项，第一项为k=4的比例导引，第二项为角度约束项，第三项为变结构修正项，第四项为干扰项，即目标的机动加速度。

4 仿真验证

对最优制导律式(22)及最优滑模制导律式(32)进行仿真对比分析。由推导过程可知aM为导弹加速度在视线法向上的分量，而实际制导指令是针对导弹的法向过载给出的，因此对式(22)和式(32)进行转换可得：

(33)

(34)

其中，aM1为最优制导律推导得出的导弹法向加速度，aM2是最优滑模制导律推导得出的导弹法向加速度，式(33)和式(34)分别是仿真过程中采用的最优制导律和最优滑模制导律。

仿真条件一：导弹初始位置(0 m，5 000 m)，速度900 m/s；目标初始位置(15 000 m，1 000 m)，速度为-720 m/s；加速度aT=0 m/s。初始弹目视线角q=-arctan(4 000/15 000)，重力加速度g=9.81 m/s2，ε=0.01，δ=0.01。期望落角设置为θf=20°，观测器常数L=5 000,λ0=2L1/3,λ1=1.5L1/2,λ2=1.1L。

导弹与目标运动轨迹、导弹落角、导弹加速度曲线及目标机动加速度和观测器观测值如图2～图6所示。

图2 导弹与目标运动轨迹

图3 导弹落角

图4 视线角速度

图5 导弹法向加速度

图6 目标机动加速度和观测器观测值

仿真结果表明：针对静止目标，最优制导律与最优滑模制导律的运动轨迹基本一致，但是最优滑模制导律的落角变化更加平滑，视线角速度能平稳的收敛到0°/s附近，导弹的法向加速度的变化也十分平稳，视线角速度与导弹法向加速度均未像最优制导律那样出现末段跳变现象。说明针对非机动目标，该制导律也要优于最优制导律。

导弹与目标运动轨迹、导弹落角、导弹加速度及目标机动加速度和观测器观测值曲线见图7～图11所示。

图7 导弹与目标运动轨迹

图8 导弹落角

图9 视线角速度

图10 导弹法向加速度

图11 目标机动加速度和观测器观测值

仿真结果表明：系统在大的时变干扰下，只要观测器的增益选的足够大，最优滑模制导律可以保证观测器观测值有限时间收敛。与最优制导律相比，该制导律的运动轨迹变化幅度要更加平滑，落角的收敛速度快且变化较平缓。视线角速度能够平稳的收敛到0°/s，且未发生大的跳变。最优滑模制导律的导弹法向加速度初始会产生一个比较大的变化(该变化为观测器收敛到期望观测值的过程中产生的震荡)，之后平稳变化直至末端收敛到50 m/s2左右(目标机动加速度)。最优滑模制导律的导弹法向加速度对于干扰(目标机动加速度)的跟踪更好，跟踪能力明显优于最优制导律。

5 结论

在最优控制理论基础上结合滑膜变控制理论设计了最优滑模制导律，设计有限时间扰动观测器对目标机动进行补偿。仿真结果表明设计的最优滑模制导律对机动目标的跟踪状况优于最优制导律，视线角速度、落角的变化平滑，能有效跟踪大机动目标，保证精确命中的情况下各曲线保持平滑。该最优滑模制导律可以满足多约束对机动目标的跟踪，满足现代战争的需求。