消元法在条件最值问题中的应用

【摘 要】条件最值问题由于变量多、综合性强、形式灵活多变、变量关系相互制约而颇具挑战性，学生掌握起来有一定的难度。本文以消元法为例，着重介绍如何利用数学的转化与化归思想来解题。

【关键词】高中数学;化归思想;消元法;条件最值问题

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）34-0111-02

条件最值问题是高中数学的重要内容之一，一直以来是高考重点考查的内容，这类问题由于变量多、综合性强、形式灵活多变、变量关系相互制约而颇具挑战性，学生掌握起来比较困难。

笔者结合自己的教学实践，以消元法为例，着重介绍如何利用基本数学思想来解条件最值问题。消元法属于化归思想的范畴，是实施化归思想的重要方法和手段。引导学生学习和掌握消元法，不仅能够帮助其巩固知识、提高解题能力，而且可以加深其對数学思想方法的理解[1]。

1   立足统一原则，代入消元

在高中数学中，学生常遵循化归思想的统一原则，将条件和结论中的变量结合起来，采用直接代入消元的方法，使其表达形式简单化、规范化、单一化，从而达到解题的目的[2]。

点评：本题是基本不等式求最值中的典型题，难度不大。但此处主要是从消元的角度来求解，可以看到，代入消元后，本题可转化为函数的最值问题，解题思路和方法一下变得丰富起来，除用以上方法解函数的最值以外，还可采用以下方法求得函数的最值。

点评：本题的方法二是运用函数思想，较为常规，学生易掌握;方法三是运用方程思想，学生不易想到，但对锻炼学生的思维有较大帮助。

2   根据结构特点，代换消元

对于某些数学问题，学生若按常规寻求解题思路，往往非常棘手。如果调整思路，根据条件自身结构特点，选择恰当代换法，往往能茅塞顿开，化难为易。

点评：条件中已知两个非负数的和为1的最值问题可以用三角换元法，最后转化为三角函数问题求解。

点评：方法二使用目标代换法，其本质是“执果索因”，假设目标已经存在，从目标出发，通过消元，得到一个含参的一元二次方程，利用方程的思想解决问题。

3   遵循化归思想，逐步消元

化归思想是高中数学中最核心的数学思想方法，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系、相互制约的观点看待问题，对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。

点评：多元变量最值问题的难点很多时候在于变量的个数，如果研究条件等式，会发现很多情况下需要消元来化简式子，三元变两元，两元变一元，转化为熟悉的问题[3]。

以上例题中，消元法将化归思想体现得淋漓尽致。化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式，能化生疏为熟悉，化复杂为简单，化抽象为直观，它的魅力不仅体现在数学学习中，也体现在生活中。

【参考文献】

[1]栾启海.用消元法求最值[J].福建中学数学，2010（8）.

[2]李志远.分析高中数学变量代换解题方法[J].神州·上旬，2019（4）.

[3]林森.浅谈几种常见的代换方法[J].数学教学研究，1998（1）.

【作者简介】

冯晓梅（1976～），女，土家族，重庆石柱人，本科，中学一级教师。研究方向：数学教育。