基于非参数贝叶斯谐波阻抗估计的谐波责任区分

江友华，刘子瑜，张 煜，杨兴武，吴卫民

（1.上海电力大学，上海 200120；2.国网山东省电力公司枣庄供电公司，山东 枣庄 277000；3.上海海事大学，上海 200120）

0 引言

随着智能电网、主动配电网等概念的提出和逐步实现，我国电网架构和运行方式都较以往发生了巨大变化，大量新能源和电力电子设备的接入，使电网的电能质量问题，尤其是谐波污染问题日益严重[1-4]。针对谐波污染的奖惩机制建立问题，国内外已经进行了广泛而深刻的探讨，而奖惩机制建立的前提是谐波责任的合理区分[5]。

谐波责任区分的关键问题是谐波阻抗的有效估计。目前，谐波阻抗的估计大多基于线性回归法[6-10]。一般的线性回归法在背景谐波电压变化的情况下，有较大误差。针对这一问题已进行了很多探讨：文献[11]利用聚类的方法，筛选背景谐波电压稳定的有效数据段，以期降低背景谐波电压波动的影响，但系统中存在未知谐波源时，聚类效果变差；文献[12]将传统线性回归模型回归常数项修改为一个关于时间的函数，利用泰勒公式近似后，采用核估计的方法找到其表达式，据此估计谐波阻抗，该方法仅在背景谐波电压波动不大的情况下有较理想的效果；文献[13]采用波形匹配的方法筛选背景谐波电压相对稳定的数据，对谐波监测数据进行分类处理，分别进行回归分析。

由以上分析可知：现有的研究往往需要对数据做人为处理或假设，可能引入误差；对谐波监测数据分类标准不同，方法各异，实际应用时常有局限性，普适性并不理想。针对以上问题，提出一种普适性谐波阻抗估计方法。考虑背景谐波电压难以直接测量的特点，在一般线性模型的基础上将背景谐波电压视为隐变量，用GMM（高斯混合模型）建模，并指出GMM 参数在实际工程背景下的意义。将GMM 参数、线性模型参数建模为DPM（狄利克雷过程混合模型），推导基于谐波监测数据的各参数的后验分布，利用MCMC（马尔科夫链-蒙特卡洛）采样方法从各后验分布中抽取样本，进行贝叶斯估计，求解谐波阻抗和背景谐波电压工况数，并评估谐波责任。

1 含隐变量的多谐波源系统模型

1.1 含未知谐波源的多谐波源系统

近年来随着光伏、风力机等新能源的并网，电力电子装置的大量应用，系统中单一谐波源的谐波发射水平可能并不显著，但大量此类谐波源的共同作用不能忽略。显然，要逐一监测这些谐波源是不现实的，多谐波源系统中存在未知谐波源。本文将多谐波源系统中的谐波源划分为关注谐波源和背景谐波源，背景谐波源进一步划分为可监测谐波源和未知谐波源，其关系如图1 所示。

这种含有未知谐波源的多谐波源系统的等效电路如图2 所示，其中，电流和阻抗Z 的下标表示相应的谐波源，c1—ck为关注谐波源，ck+1—cq为可监测谐波源，cq+1—cn为未知谐波源。

图1 谐波源的分类

图2 含未知谐波源的多谐波源系统

对于某次谐波，PCC（公共耦合点）处的谐波电压可表示为：

式中：R 为谐波责任；I 为谐波电流幅值；Upcc为PCC 处谐波电压幅值；为谐波阻抗的模值；θ为谐波源在PCC 处产生的谐波电压与的夹角。本文假定系统中各谐波源不存在耦合或已经过解耦处理，将各馈线电流视为谐波源的发出电流。按以下原则评估谐波责任，若R 为正，则对应谐波源发出谐波，应按比例承担相应责任；若R 为负，则对应滤波源吸收谐波，不应受到惩罚或应得奖励。

实际工程中，谐波电压和谐波电流的相角通常难以准确测量，参考文献[13]的方法，以为基准，将其旋转至正实轴，其余相量旋转同样的角度，此时取式（1）的实部则有：

1.2 背景谐波电压GMM 及其参数的意义

背景谐波电压常常包含未知谐波源，因此难以直接测量背景谐波电压数据，故将背景谐波电压视为隐变量。用线性回归法估计谐波阻抗时，式（4）可写作式（5）：

式中：Upcc，i为PCC 处谐波电压，即回归模型的响应变量（i 表示第i 个数据，下同）；Ii为谐波源的谐波电流；Uo，i为背景谐波电压，是隐变量；εi为随机误差，εi～N（0，σε2），服从均值为0、方差为σε2的高斯分布，满足协方差Cor（εi，εj）=0，i≠j，均值E（εiIi）=0，E（εiUo，i）=0。

背景谐波电压的分布往往为非标准高斯分布，呈现峰值偏移、多峰、长尾等特征[15]，仅采用核估计法难以准确建模背景谐波电压分布。高斯混合分布常用于近似表示复杂的非标准分布，故将背景谐波电压建模为GMM，即Uo，i～N（μi，σi2），且εi～N（0，σε2），由于高斯分布的线性性质，Uo，i+εi服从高斯混合分布，则Upcc，i-ZIi服从高斯混合分布，即：

式中：f（g）为高斯分布的密度函数，其参数为Θc；πc为权重参数，表示数据来自第c 个高斯分布的概率；混合模型有K 个不同的高斯分布，K≤N，N 为数据容量。对于每个数据i，其对应参数Θc，i由μc，i和组成。则有：

式（7）即为背景谐波电压的GMM。

在实际的工程背景下，背景谐波电压GMM参数K，c，πc和Θc都具有实际意义：参数K 在GMM 中代表模型中混合的单个高斯分布的个数，在实际背景中代表背景谐波电压工况的个数，若谐波监测数据属于同一种背景谐波电压工况，则其背景谐波电压服从同一个高斯分布，在一定范围内保持稳定；参数c 在GMM 中表示数据来自第c 个高斯分布，在实际中表示谐波监测数据属于第c 个背景谐波电压工况；参数πc在GMM 中代表数据来自第c 个高斯分布的概率，在实际中表示谐波监测数据属于第c 个背景谐波电压工况的概率；参数Θc在GMM 中是第c 个高斯分布的参数，在实际中是第c 个背景谐波电压工况对应分布的参数。

1.3 基于狄利克雷过程混合模型的参数建模

在含未知谐波源的背景谐波电压GMM 中，混合分布的元素个数K 难以直接确定。基于不指定背景谐波电压服从分布类型的前提，即在“更弱、更一般”的情况下，对参数Θ 引入一个先验G，G 是一个狄利克雷过程混合分布。Θ 的共轭先验，即G 的基分布G0如下：

完整的DPM 可以表示为：

式（10）—（14）中：Discrete（g）为离散分布；INVGamma（g）为逆Gamma 分布，a，b 为其参数；Dir（g）为狄利克雷分布，α 为其参数。

基于DPM，可通过从分布中抽样，用参数估计的方式确定K 及其他参数的值。对DPM 抽样需要已知参数的后验分布由贝叶斯定理，各参数的后验分布可统一表示为：

2 基于MCMC 采样的谐波责任区分

2.1 模型参数的后验分布

谐波阻抗的计算和谐波责任区分应建立在对前文模型进行非参数贝叶斯估计的基础上，需要估计的参数由狄利克雷过程参数{c，Θ，α}和线性模型参数{Z，Uo}两部分组成。

在贝叶斯理论中，参数估计需要基于参数的后验分布进行。目前DPM 的后验分布已有成熟的研究成果[16]，由于其推导较为复杂繁琐，本文将根据各参数的先验分布，在已知谐波监测数据的前提下直接给出各参数的后验分布。

2.1.1 参数c

参数c 和参数Θ 存在一一对应的关系，即ci对应Θi，若ci=cj，则Θi=Θj。首先定义：

其中#（g）为满足条件的元素个数。由狄利克雷过程定义，ci的先验为：

定义F（Upcc，i，Θc）为似然函数，b 为归一化参数，则ci的后验为：

2.1.2 参数Θ

背景谐波电压工况对应分布的参数Θ 由μ和σ2组成。其先验已经在前文给出，如式（8）、式（9）所示。

参数Θ 的后验分布为：

2.1.3 参数Z

线性模型参数Z，即谐波阻抗的先验分布可以通过一般的线性回归分析进行粗估，将粗估结果设为谐波阻抗的先验分布：

在获得谐波监测数据后，可以得到谐波阻抗的后验分布：

2.1.4 参数Uo

Uo的后验分布为：

2.1.5 参数α

参数α 为狄利克雷过程的集中参数，在实际模型中是背景谐波电压工况的个数的初始值。由式（14）和式（15）可推导α 的后验分布为：

式中：Γ（g）为Gamma 函数；α′为α 所有可能的取值。

式（26）即为参数α 的后验分布。

2.2 MCMC 采样和谐波责任区分

在推导出各模型参数的后验分布后，即可使用MCMC 采样方法对模型各参数进行抽样。在各模型参数抽样完毕后，依据线性模型参数Z，即谐波阻抗的抽样结果，计算其均值作为谐波阻抗的估计值。进而将谐波阻抗Z，即cosθ 带入谐波责任定义式（2）中，可求出关注谐波源在PCC 处的谐波责任。MCMC 采样及谐波责任评估流程如图3 所示。

图3 MCMC 采样及谐波责任评估流程

3 案例分析

为验证文章方法的有效性，利用Simulink 平台，对IEEE 14 节点测试系统和实际案例中测得的谐波发射水平数据进行测试。IEEE 14 节点测试系统网络结构如图4 所示。

图4 IEEE 14 节点系统

将节点4 视为PCC，在节点2、节点9、节点12 处分别接入谐波源HS1，HS2，HS3，作为关注谐波源，谐波源谐波发射水平分别参照文献[17]中案例22、案例23、案例25 中5 次谐波电流数据设置；在节点10 处接入HS4 作为滤波源，按案例29[17]的滤波设备数据设置。为模拟图2 中含有未知谐波源的多谐波源系统，在节点11 接入谐波源HSB，作为背景谐波源。为模拟背景谐波电压的不同工况，将案例21[17]中5 次谐波发射水平的100%，80%，50%，30%视为4 种不同工况，并加上方差为0.5 的高斯随机波动，将4 种工况的背景谐波电压数据等数量混合作为背景谐波电压。采集3 600 个数据点，包括谐波源HS1，HS2，HS3，HS4 的谐波电流和PCC 处的谐波电压，组成谐波测量数据集。

根据采集到的谐波数据，使用MCMC 采样方法对模型参数进行抽样，依据抽样结果估计谐波阻抗。进行MCMC 抽样前，需要设置模型参数的初值，目前还没有一般性的初值设置方法。对于谐波阻抗初值，先采用一般线性回归法进行粗估，将粗估结果作为MCMC 采样的初值，其他参数给出表1 所示的初值参考。

表1 参数初值参考值

文献[18]指出，一条MCMC 采样链需要经过多次迭代后才能趋于稳定，其抽样结果才具有用于贝叶斯推断的意义。因此，对于不同的MCMC采样链，需设置不同的burn-in 值来剔除MCMC采样稳定前的数据，burn-in 值需要通过具体测试才能确定。通过测试，1 500 次迭代后，MCMC采样链会趋于稳定，因此将burn-in 值设定为1 500，共迭代2 000 次，取最后500 次作为推断依据数据。

采用非参数贝叶斯估计法和一般线性回归法分别重复进行20 次谐波阻抗估计试验。以理论计算谐波阻抗为真实值，将非参数贝叶斯估计法和一般线性回归法估计谐波源HS1，HS2，HS3谐波阻抗的相对误差进行对比，结果如图5—7所示。

图5 HS1 谐波阻抗估计误差

图6 HS2 谐波阻抗估计误差

图7 HS3 谐波阻抗估计误差

由图5 可知，对于谐波源HS1 的谐波阻抗估计，非参数贝叶斯估计法的估计误差大部分在5%以内，少数误差较大的结果不超过10%，一般线性回归法的估计误差则在16%～25%。由图6 可知，对于谐波源HS2 的谐波阻抗估计，非参数贝叶斯估计法的估计误差在6%以内，一般线性回归法的估计误差大部分在6%～12%。由图7 可知，对于谐波源HS3 的谐波阻抗估计，非参数贝叶斯估计法的估计误差在6%以内，一般线性回归法的估计误差大部分在6%～13%。可以看出，非参数贝叶斯估计法较一般线性回归法在估计谐波阻抗的精度方面更具优势。

取20 次重复试验计算所得谐波责任的平均值作为最终结果。以理论计算谐波责任为真实值，将非参数贝叶斯估计法和一般线性回归法估计谐波源HS1，HS2，HS3，HS4 的谐波责任进行对比，结果见表2。

由表2 可知，在评估谐波责任方面，非参数贝叶斯估计法比一般线性回归法精度更高。此外，从谐波责任真实值可以看出，谐波源HS1，HS2，HS3，HS4 的谐波责任总和没有达到100%，其余部分由背景谐波电压贡献，非参数贝叶斯估计法的评估结果较一般线性回归法更能反映这一事实。

表2 谐波责任评估数据

传统线性回归法在处理背景谐波电压波动的情形时，需要借助聚类算法分别计算各段背景谐波电压稳定时的谐波责任，然后再进行综合评估，聚类簇数K 的确定常常需要人为指定。非参数贝叶斯估计法在估计谐波阻抗的同时，可以通过迭代给出背景谐波电压工况的个数K，即线性回归法的聚类簇数，而不需要人为指定。重复20次非参数贝叶斯估计法试验，所得的背景谐波电压谐波工况数K 的频数分布如图8 所示。

图8 背景谐波电压工况数频数分布

可以看出，K=4 的频数为10，K=3 和K=5 的频数分别为4 和3，非参数贝叶斯估计法对谐波工况个数的估计较为准确。

4 结语

线性回归法在背景谐波电压波动时，对谐波阻抗的估计常常有较大误差，从而导致谐波责任评估失准；运用聚类-线性回归法估计谐波阻抗时，在聚类簇个数的设定上又存在主观性。本文针对以上两点提出使用非参数贝叶斯估计法估计谐波阻抗，评估谐波责任，较线性回归法有以下优势：

（1）非参数贝叶斯估计法估计谐波阻抗的精度高于一般线性回归法。一般线性回归法在背景谐波电压数值波动较大时，误差较大。实验表明非参数贝叶斯估计法在非单一背景谐波电压工况的情况下，仍能保持较为理想的评估精度。

（2）非参数贝叶斯估计法在“更弱、更一般”的假设前提下，直接利用谐波监测数据估计谐波阻抗，评估谐波责任，无需人为干预，无需人工确定聚类簇数，是一种更具普适性的方法。非参数贝叶斯估计法还可以给出背景谐波电压工况数，为背景谐波电压的分析与研究提供了一种可行的方法。

此外，与传统方法相比，非参数贝叶斯估计法含有多次迭代步骤，在运行速度方面并未表现出明显优势，因此在对运行速度要求较高的场合，非参数贝叶斯估计法仍需改进或结合其他方法使用，以取得理想效果。