高中数学发散性思维教学的思考与实践*
——读《中国的孩子玩不起数学》一文有感

2021-04-17 15:40:07梁永年

中学数学月刊 2021年11期

梁永年

(江苏省滨海中等专业学校 224500)

1 原文概述

最近，偶读我国著名教育学博士上官子木的一篇文章《中国的孩子玩不起数学》[1]，让人感触良多．作者首先谈到竞赛能力不是创造能力，我国只是竞赛获奖的大国，而美国是创造获奖的大国，美国获得数学最高奖“菲尔茨奖”的人数在世界上遥遥领先，而中国竟然没有！如此现象，原文作者认为影响因素是多方面的，并强调基础教育存在很多致命的缺陷．

原文作者先是论述学生的数学兴趣问题，进而论述学生玩数学的问题，指出我们培养了一大批厌倦甚至仇视数学的数学高材生，是只重视竞赛获奖，而不重视学科兴趣培养的必然代价；指出我国教学的刻板要求、强化训练是兴趣的大敌；指出数学承载升学就业负担，学生玩不起；指出学生对我国数学教学只能仰视，他们不觉得好玩；指出我国数学教学缺乏层次，一方面对普通学生的要求太高，另一方面又不能为有兴趣的学生提供适宜的教学环境；还指出我国基础教育在过度求精深之外的另一个缺陷是求全．

文章最后强调了让学生玩得起数学的几个关键要点：要对现行数学教学方法和方式进行改进、要使校外的数学奥数与升学脱钩等等．

2 兴趣之失

不可否认，学生是有差异的，有些学生天生对数学感兴趣，也有些学生对数学感觉一般，若遇到优秀教师的合理引导，也可能会对数学产生兴趣．可如今，我们的教学不仅没有调动那些本不喜欢数学的学生的兴趣，还扼杀了那些本来对数学有兴趣的学生的兴趣．正如原文作者所讲，有些数学高材生也厌倦甚至仇视数学．那么，学生的兴趣是如何丢失的呢？

(1)大量作业扼杀了学生的兴趣

现在，不少教师似乎都明白一个“道理”：多压一点作业，学生的成绩能好一点．这些教师也知道，若学生能认真完成适量的作业，效果应该更好．但他们又担心学生的时间被其他学科抢走，不敢减少作业量．加之计算机网络和印刷技术的高度发达，教师布置作业更加容易，使得学生总有做不完的作业．小学生的作业要到晚上9点才能完成，初中生的作业要到晚上10点甚至更晚才能完成，而高中生的作业在晚上11点之前能完成的很少．还有些学生要罚抄作业，那就更惨了!寒暑假本应该是学生自主发展特长的重要时间，也都被大量的作业占据．今年笔者亲闻某高一学生的作业有180张讲义(正反面印)和一本上百页的习题册，而且暑假还补课近30天．如此之多的作业，学生只能疲于应付，哪有时间玩数学？何谈兴趣？即使数学好的学生，兴趣也被扼杀了！笔者女儿上初二时，一次周末作业遇到一个格点面积问题，指导她得到答案后，与她商定作业完成后，再探讨一下格点多边形的面积公式，遗憾的是一直未有机会．笔者一直任教高中数学，发现一个现象：近年来，粗心的学生越来越多．通常我们认为男生比较容易粗心，女生相对细心，但现在好像不分男女生．不知道是不是因为作业多，学生忙于应付，长期以往养成了不良的作业习惯所致？

再看看我们布置的作业，大量的重复训练，同一类型的问题反复做．这样的熟化训练确实能打好学生的基础，让学生一见到常规问题立即就有解题方法，尤其是对那些数学本来不好的学生有很大的促进作用．但对数学优生是伤害，他们的发散思维得不到发展、创造想象力受到遏制，本来玩数学的时间变成机械重复训练，数学的兴趣被逐步磨灭．所以这样的作业是一种“扯平”教育，数学中下等生向前近了一步，数学优生向后退了一步，不能人尽其才．记得20世纪80年代上小学，作业很少，那时候没有打印练习，有时教师在黑板上抄几道题让我们回去完成，几乎不需要花时间，偶尔教师也出一两道难题，让我们回去钻研，班上大部分学生不做，但总有五、六个学生花大量时间去思考钻研，并且第二天这几个学生还围在一起讨论．可惜的是，现在这些现象已不多见．

(2)课堂教学不能调动学生的兴趣

我们的数学教学节奏之快，令人瞠目结舌．本来高中三年，两年半的新授课，半年高考复习，变成高三一年复习．10年前，高一、高二每学期期末考试前留一两个星期复习，现在都有一个月的复习时间．如此教学，我们真正的新授课教学还剩多少时间？能真正落实知识生成教学吗？很显然，仍然是填鸭式教学，根本不能让学生体现数学发现之乐．知识生成教学是一个探究发现的学习过程，是在教师适度的引导下，学生打开思路去自主发现的过程，它能够激发学生的想象力、锻炼学生的发散思维能力，但需要教师给出足够时间．短时间的知识生成教学，无疑是教师过度引导所致，问题过多、过碎，指向性过强，是强迫学生的假发现，学生的想象力得不到提升．比如，学习正余弦定理之后，有多少学生想到是否有正切定理而去钻研的？几乎没有．现在的一些公开课、优质课、观摩课确实上得不错，但都是教师在别的班级反复试上，同事帮助反复磨课而成，有多大的现实意义呢？还有，课堂讨论气氛热烈，是不是学生已经做过充分的准备呢？是不是教师的问题过于简单呢？一个数学知识的发现，所有学生都能迅速参与讨论，我们的学生真的那么聪明吗？

夯实基础历来是我国数学教育的强项，教师注重题型归纳教学、注重解题方法的总结教学，使学生面对常规问题能够迅速找到解题思路，加之大量的数学练习，练就了学生扎实的基本功．近年来，变式教学成为不少教师课堂教学的重要一环，变式教学的初衷是触类旁通，拓展学生的思维、拓宽学生的思路．但实际教学中，变式教学被教师演变成相似题目的重复训练，这也变成打好学生数学基础的一个十分有效的教学手段，对目前的考试有奇效．可惜的是，目前的变式教学只是机械变式，没有变出新思想、没有变出新颖性，更不是学生思考后的变式，仍然是固化学生思维的指向性教学，是枯燥的重复训练教学，没有起到激发学生发散思维的作用，没有能够调动学生的兴趣．

教学要求过于统一、过于精益求精，不能因材施教．以考试要求为教学标准，让很多基础差的学生疲于应付，甚至苦不堪言；同时又让基础好的学生吃不饱，他们早已掌握了相关知识方法，还要继续重复训练，只为熟能生巧，考试更快更准．也有些学校为了因材施教，让那些优生得以充分地发展，分出了强化班、竞赛班等，但这些班不是以调动学生的兴趣为目的，而是进一步增加教学难度，学生压力仍然很大，还是玩不起数学．总之，我们是以提高学生解题能力为目的的教学，过于强调学生的熟练程度，过于重视解题技巧，而不能做到以学生探索为目的的发现教学，难以激发学生的好奇心．数学的奥秘，是教学的难题，如果不能做到让学生自己探索发现，那么学生的发散思维将受到极大的限制．

3 发散教学之思

早在之前，我国就提出创新教育，强调要培养学生的创新意识、创新思维、创新精神．所谓创新，就是要能跳出常规思维，能够想开去而有新的发现．因此，创新思维是教学的一个重点!我们都知道，数学教学的一个重要任务就是提升学生的思维能力．通过数学教学，可以提升学生的逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力等，但就我国数学教学而言，数学教学急需培养学生的发散思维能力．我国学生数学基础确实扎实，但缺乏创新思维，很难发现新问题，都是教师提出问题，学生被动解决，学生既无兴趣又后劲不足，故而在数学上难以有重大成就．因此，我们需要解放思想，加强发散思维教学．

(1)低起点，发散要求

起点高，学生难以参与思考，只能被动接受，久而久之容易丧失兴趣而玩不起数学．起点低，则学生都能参与而不排斥数学，不会使本来有兴趣的学生丧失兴趣．当然，低起点不等于低要求，如果总是让学生完成低难度问题，也不能调动学生的兴趣，特别是数学优生的兴趣，学生的数学能力也得不到提升．我们应该通过低起点问题，让学生发散思维．需要提醒的是，这不同于循序渐进、逐步加深，而是要根据低起点问题，提出没有预设方向的发散性问题，引导所有学生联想开去，学生可以推广加深问题、可以类比发现同类问题、可以归纳猜想新问题等．学生提出的问题是否有深度和广度？是否有价值？并不重要．重要的是他们想问题的过程，长此以往，学生提出的问题可能会超出教师的能力范围，这正是我们需要的！这也是学生玩数学的过程，他们怎能没有兴趣？

上文提及的变式教学并没有错，问题是，这个变式问题应该由谁提出？如果是在教师的引导下，由学生提出问题，教师帮助修订而后挑选有价值的问题，再让学生解决，那是最好不过了．事实上，我们现在的变式教学要么是让学生加强练习某种题型，达到熟化的目的，要么是逐步加深问题，达到加强逻辑推理的目的．但总是学生沿着教师的思路被动完成问题，是指向性思维的训练，不能打开学生的发散性思维．

现在的课堂教学强调师生配合、强调学生活动，是有道理的．课堂教学满堂灌，学生被动接受，当然遏制他们的思维．我们现在的课堂教学，教师课堂提问次数多，学生也能积极回答，但仍然没能打开学生的思维，这些零碎的提问往往是教师给一个较难的题目预设某些解题方向，引导学生完成的过程．比如问题“为达成这个目标，我们应该怎么做？”是一种指向性很强的问题，训练的是逻辑思维能力，这也是我国教学的强项．数学教学当然需要这种逻辑思维能力的培养，但不能总是这样，我们需要大幅增加发散性问题的比例，如问题“就这个条件，我们能想到什么呢？”“通过这个问题的解决，大家还能发现什么结论？”等等．发散性问题的教学下，学生想到的内容会很杂，这需要教师整合，需要教师有较强的数学专业素养，而且解决一个问题需要耗费大量的课堂时间，课堂容量会变得很小，与那些大量评讲例题、大量训练的课堂相比，短期内考试成绩可能会有大的落差．因此，我们需要解放思想，以培养学生思维(特别是发散思维)能力为目标，激发学生的兴趣，相信经过一定的时间，学生的考试成绩也一定不会差，甚至会超越那些大容量教学的班级．事实上，我们也注意到，一些施行大容量教学的班级，学生平时考试成绩确实很好，但高考成绩却平平，甚至会被其他班级反超．其原因是平时考试熟题多，这些学生接触的题型多，考试成绩自然好，而高考原创题较多，只有会思考才能取得好成绩．

(2)作业多样化，增加开放题

上文已谈到，目前学生作业太多，严重遏制学生的兴趣，需要减量．还有一个问题，即作业形式过于单一，都是千篇一律的指向性问题，学生要么会做、要么不会做，不是做对就是做错，基础差的学生容易受到伤害，也不能充分调动优生的积极性．因此对于作业问题，首先要减量，把学生从繁重的作业任务中解放出来，让他们做自己愿意做的作业，让他们深入钻研有意义的问题；其次要增加开放题，与教学一样，降低起点问题的难度，让学生愿意做，然后设计开放问题，逐步引导学生深入钻研，答案不一定非对即错，允许学生谈自己的思路和想法、谈自己的发现等等，目的是打开他们的发散性思维．答案有深入与肤浅之分，但教师不给等级之分，只对答案进行点评，让学生都有成就感，能够调动他们的学习兴趣，比大量完成那些机械作业要有意义．

过去，教师一般都强调课前预习，要求学生先看看课本，再听讲新课时更容易接受．现在很少有教师提出这样的要求，况且学生也没有时间完成．倘若学生有时间，预习作业还是有必要的，但不能仅仅是预习课本；甚至可以不要求学生看课本，提出相应问题，给出足够时间(如一个星期)让他们探索，之后教师汇总学生的探究成果自然衔接新授课，这样的预习作业更有价值．目前学生在校期间的主要作业是课后作业，特点是量大且形式单一，我们需要解放思想控制作业量，这一点毋庸置疑，另外还需要丰富作业形式，可以设置低起点的探究问题、可以要求学生根据原问题提出新问题、可以不要求学生具体求解而让他们写出解题思路、可以让学生根据一个数学现象谈自己的认识和想法．寒暑假时间较长，要调动学生完成作业的兴趣，更要丰富作业形式，甚至可以一个假期让学生完成一个研究报告，教师需要考虑的是合理选题，既要选学生能够研究的问题，又要是学生感兴趣的问题，还要能够巩固上学期学习内容的问题才好．曾看到一家网络媒体报道，我国一位大学教师的儿子在美国读小学，小学毕业写了一篇二十多页的历史研究论文．该报道如果是真，会让我们很多中小学教师自惭形秽，试想：我们有多少中小学教师有这个能力？而这也一定与美国教育有关，与美国教师的作业要求有关．

(3)合理分层教学

不可否认，学生间存在很大差异，分层教学有一定的合理性．事实上，学生按中考分数线录取到不同高中，就是典型的分层教学．不仅如此，很多高中内部还进行了分层教学，如强化班、竞赛班等．但后者的分层教学有待商榷，它是学生综合能力的分层、是好差之分，对众多学生是一种打击，也易产生教学资源不合理分配而引发不公平．同一所学校，有没有必要进行分层教学？个人认为，国家规定的公共课程不宜分层教学，让所有学生接收同等学习待遇，毕竟同一学校的学生人数有限，整体差距不是很大，没有必要让学生产生心理上的落差．但我们可以设置各学科的兴趣班，利用每天下午3、4两节上课，让所有学生根据自己的兴趣选择班级，发挥自己的强项，让每位学生找到成就感．如数学兴趣班，让学校数学水平高且教学能力强的教师上课，带领那些对数学有兴趣的学生玩好数学，拓展课本知识，探究发现数学未知，指导学生学写数学小论文，逐步培养学生的研究意识，激发他们的研究能力．

4 加强高考导向

高考事关每位学生的切身利益，家长对学校寄予厚望，加之教育主管部门的考核，高考成绩已经成为各所高中学校的生命线．校长对高考不敢懈怠，学校对教师的考核自然更看重成绩，教师教学当然不能不考虑提高学生的成绩．大量训练能对高考起作用，当然不会减少练习量；反复归纳总结解题方法有作用，当然会加强题型、方法的评讲．培养学生的发散思维对考试效果不好，还影响练习时间和例题评讲量，教师当然就不会这样做了．因此，高考命题对教师教学起着关键作用，教师教学定会因高考命题导向改变而改变，高考试题测度重视思维，教师自然会加强思维教学．至于高考命题导向，不敢妄语，提几点想法与读者交流探讨．

(1)高考应分层考试

上双一流大学的考生与上大专院校的考生，同考一份试卷，测试信度不高．试想：两道填空题分值一样，一道容易题、一道难题．如果一位差生做对了容易题而难题没做，但是另一位优生在容易题上粗心做错却做对了难题，他们的能力一样吗？

(2)减少题量

题量过多，表面上是考查学生的思维反应速度．其实刚好相反，这并不能考查学生的思维能力，题量大，常规问题必然多，否则学生肯定来不及，这就导致大量熟化训练起作用、多总结归纳有作用，是学生反馈能力的考查．题量小一点，多出一点原创题，给学生足够时间思考分析，才是对思维能力的考查．

(3)增加发散性问题的考查

目前高考数学试题中极少见到开放性试题，这也是教师教学不解放思想的根本原因．如果高考试题需要学生发散开去想，而且这类试题比重大，对高考起决定性作用，就不怕教师不改变教学理念．

5 辩证关系