具有性能预设的多机编队目标跟踪控制

张 毅, 方国伟, 杨秀霞

(1.海军航空大学航空作战勤务学院, 山东 烟台 264001; 2.海军航空大学岸防兵学院, 山东 烟台 264001)

0 引 言

当前,无人机(unmanned aerial vehicle, UAV)编队控制[1-3]是学者们研究的热点问题之一。

UAV编队常被应用在执行类似人员搜救、对地面和海面目标侦查探测等一些特殊的任务,目标跟踪就是其中一项重要的任务[4-6]。因此,一些学者将目标跟踪与编队控制问题结合起来进行研究[7-9]。文献[7,9]分别基于Leader-Follower结构和虚拟结构编队,设计了Leader无人机趋近目标的制导律和Follower无人机跟踪Leader无人机的制导律,实现UAV编队对目标的Standoff跟踪。文献[10]中呈现了基于卡尔曼滤波器的多UAV目标编队控制,利用Laplacian矩阵刻画UAV间的通信连接,并应用卡尔曼滤波器实现了多UAV编队对目标轨迹的跟踪。

随着对控制要求的提高,对于编队控制性能也有了更高的要求,不仅对系统的稳态性能有所要求,对瞬态性能也有一定的要求,并且很多情况下还对系统收敛的时间,即编队形成时间也有一定的要求[11-13]。在这种背景下,希腊学者Bechlioulis等[14]首次提出预设性能控制(prescribed performance control, PPC)的概念,作为一种能够预先描述系统稳态与瞬态性能的方法,其核心的控制思想就是在确保目标跟踪的误差能够收敛到预设的任意小的区域的同时,还能够保证对超调量以及收敛速度的要求[15]。许多学者在此基础上又进行了研究,并将其应用在一些实际的场景下[16-18]。文献[16]将预设控制应用到二阶的多智能体Leader-Follower编队结构的控制中,并在一致性控制的基础上,通过单独对Leader智能体设计性能控制律,实现编队整体的性能控制。文献[17]将该理论应用到无人车编队的性能控制上,结合自适应控制实现了编队队形控制,既避免了碰撞,又确保了编队的性能。文献[19]基于预设性能控制研究了多导弹编队控制问题,通过设计预设性能编队控制器保证了编队的精度,并提出了具有性能预设的主动避碰策略,避免了导弹间的碰撞。

随着该理论的发展,部分学者提出了有限时间性能控制(finite-time performance control, FTPC)的概念[20-22]。文献[20]针对严格反馈的非线性系统,在反步法的基础上定义了有限时间性能函数,实现了在有限时间间隔内收敛到预设的区域中。文献[21]针对模型参数未知的欧拉-拉格朗日系统提出了鲁棒预设性能控制,同时保证了有限时间的稳定性和瞬态与稳态性能。文献[22]针对多机器人系统,通过将有限时间与性能预设的概念融入到滑模控制器的设计中,实现了分布式性能约束控制。文献[23]提出一种预设时间的多智能系统控制方法,不同于传统的两种有限时间控制,它在保证所有智能体的状态能够趋于一致的前提下,实现了对收敛时间的提前预设。

结合当前对预设性能控制和UAV编队目标跟踪的研究现状,可以得出具有性能预设的UAV编队目标跟踪控制存在的研究难点主要在于:① 在确保UAV间相位能够预设的前提下,提出一种满足UAV编队目标跟踪与队形描述的方法;② 如何将编队队形描述方法融入到具有性能预设的编队控制方法和控制律设计中;③ 针对不同性能需求,如何设计满足要求的性能函数,并基于同一编队控制律实现对不同编队性能的控制。

本文在基于3种运动方式的编队队形描述方法的基础上,提出一种满足预设性能的UAV编队目标跟踪算法。首先基于编队队形描述与目标跟踪策略,构建UAV编队误差模型,利用一致性控制思想将编队误差控制转换为编队邻接误差控制,同时通过误差转换函数将受性能约束状态下的误差转换为无约束状态的误差,并基于此给出一致性性能预设编队控制律。其次针对不同性能需求,分别给出两种不同类型的性能函数,以结合控制律实现对编队性能的预设控制,并进行了相应的稳定性证明。最后，通过仿真证实了本文所设计的预设性能控制律能够在两种不同类型的性能函数约束下,实现对编队性能的控制,达到目标跟踪性能可控的目的。

1 问题描述和预备知识

1.1 问题描述

1.1.1 模型建立

本文主要研究的是多UAV编队目标跟踪问题,主要考虑UAV在定高状态下,通过追踪目标,并在目标上空周围均匀分布跟踪或进行360°盘旋跟踪。针对问题背景,可将三维空间问题转换为二维平面上进行问题讨论,因此本文考虑采用如下模型作为UAV系统的研究模型:

(1)

式中,Θ={1,2,…,N};pi=[xi,yi]T和vi=[vix,viy]T分别为UAVi的位置与速度;ui=[uix,uiy]T为控制输入。

本文将采用一种基于3种运动方式的编队队形描述策略,这其中需要引入两架虚拟UAV,记为UAVl与UAVb,定义二者的动态模型分别为

(2)

(3)

式中,pl、vl和ul分别表示UAVl的位置、速度和控制输入;pb、vb和ub分别表示UAVb的基准向量、基准变化量和基准控制量,需要注意的是此处的pb并非实际位置,仅表示相对位置。

1.1.2 图论相关定义

本文以有向图来表示UAV间以及UAV与虚拟UAV间的通信拓扑关系。定义有向图G1=(V1,ε1),其中V1表示UAV的集合;ε1表示UAV间的通信关系集合,当(UAVi,UAVj)∈ε1时,表示UAVi可获取来自UAVj的信息,并称二者是邻接的。定义邻接矩阵A=[ai j]∈RN×N,ai j为(UAVi,UAVj)的权值,并满足:

(4)

定义有向图G2=(V2,ε2),其中V2表示UAVk与UAVi的集合,k∈{l,b};ε2表示UAVi与UAVk间的通信关系集合,当(UAVi,UAVk)∈ε2时,称UAVi可获取来自UAVk的信息,并定义矩阵A2=[aik]∈RN×2,aik表示(UAVi,UAVk)的权值,且

(5)

同时从式(5)中也可注意到,aki不存在,即UAVk不具备接收来自UAVi信息的能力。需要注意的是,当不考虑UAV间通信质量时,ai j与aik取值为0或1。

定义G1的Laplacian矩阵L∈RN×N为

L=[li j]=D-A

(6)

1.1.3 目标跟踪与编队队形描述方法

在对方法介绍之前,首先给出一个针对UAV间信息传输的假设。

假设 1对于多UAV系统式(1)～式(3),UAVl与UAVb至少存在一条能够到达所有UAVi的有向信息通路,且满足所有UAVi接收到UAVl与UAVb的信息相同。

本文基于平移运动、旋转运动以及缩放运动,给出一种队形描述的方法,将3种基本运动作为描述队形的基本变量,并定义编队队形参数组为

S(N)=[pl(t),pb(t),C1(t),…,CN(t)]

(7)

为实现编队目标跟踪期间的队形保持,考虑pb=[cos(θ(t)),sin(θ(t))]T,且θ(t)=ω(t-t0),其中ω为旋转角速度,表示目标跟踪期间编队盘旋运动的角速度,t0为编队跟踪上目标的时刻,即UAVl追踪上目标的时间。

定义 1对任意给定的UAV初始状态,若

(8)

则称通过控制编队参数组S(N),实现了对UAV编队的控制。

基于式(7)的编队队形描述方法是各UAVi以UAVb为基准,分别进行缩放与旋转运动,以形成期望的几何编队队形,其中ri决定了跟踪期间UAV与目标间的间距,Ri决定了UAV与UAVl间的相位间距,确保相位的提前预设。同时UAV编队保持与UAVl的相对位置,以保证跟踪期间的编队队形,当UAVl追踪上目标时,此时各UAV可保持预先设定的相位值分布在目标周围,实现对目标的跟踪。轨迹导引无人机UAVl追踪目标轨迹如图1所示。

图1 UAVl跟踪目标轨迹

定义UAVl跟踪目标轨迹的运动规则如下。

步骤 3重复步骤2,直至UAVl追踪上目标,且运动轨迹与目标轨迹重合。

结合上述目标跟踪模型及编队队形描述方法,考虑本文的控制目标为针对多UAV系统式(1)～式(3),在编队队形参数组式(8)的控制下,通过设计一致性预设性能编队控制律,并给出具备稳态与瞬态性能约束的性能函数,以确保编队误差能够被约束在所设计的性能函数边界内,实现性能预设的控制目的。

1.2 预备知识

引理1[24]在假设1存在的前提下,考虑一个非奇异M-矩阵W∈RN×N,W-1存在且非负,同时存在一个对角正定矩阵P=diag{p1,p2,…,pN},使得PW+WTP是对角且正定的,其中P=(diag(q))-1,q=[q1,q2,…,qN]T=W-11N。

考虑初值问题[25-26]:

(9)

式中,t∈R+;Ωy为非空开集;f:R+×Ωy→Rn。若式(9)的解y(t)的任意的右扩展都不是式(9)的解,则称y(t)是式(9)的最大解。

引理 2[25](定理54) 考虑初值问题式(9),若f(t,y)满足:① 对于∀t∈R+,在y上是局部Lipschitz连续的;② 对每个固定的y∈Ωy在t上是分段连续的;③ 对固定的y∈Ωy在t上是局部可积的,那么在时间区间[0,tmax),tmax>0存在唯一的最大解y(t),使得对于∀t∈[0,tmax),y(t)∈Ωy成立。

2 预设性能控制律设计

由式(8)可得编队的误差为

(10)

定义UAV编队中的邻接误差为

(11)

以矩阵形式表示邻接误差为

(12)

由式(12)可得

(13)

式中,λ(QTQ)表示Q的奇异值,因此可将编队误差控制问题转换为编队邻接误差控制问题,由定义2、式(11)和式(13)可对编队队形的一致性控制进行重新定义如下。

本文考虑具有性能预设的编队控制方法,其控制目的是为了使编队邻接误差始终保持在预设的性能区域Dm i,m∈{p,v}内,即

(14)

图2展示了本文所采用的两种性能函数的示意曲线,曲线中可以看到两种性能函数均由初始值ρ0下降到预设的稳态误差ρ∞内,对于两种性能函数的具体介绍将在下文进行叙述。

图2 两种性能函数示意图

对邻接误差epi和ev i进行关于性能函数ρm的归一化处理,可得

(15)

则此时式(14)所示的预设性能区域Dm i可变换为

(16)

由式(14)和式(16)可发现,误差在对应的性能区域内受到取值范围的约束,而这对于后续设计是十分不便的。因此,为消除加性能约束的误差,采取一种误差转换技术,将受约束的误差转换为不受约束的转换误差[27]。

(17)

即转换后的误差为

(18)

对εm i关于t求导可得

(19)

式中,

αm=diag{ρm 1(t),ρm 2(t),…,ρmN(t)}

因此,由式(19)可得转换误差动态方程为

(20)

基于转换后的邻接误差,本文给出的一致性性能控制律为

ui(t)=-k1iεv i(t)-k2iεpi(t)-k3iev i(t)

(21)

式中,k1i,k2i,k3i>0。

3 稳定性分析

本节针对性能的不同需求,提出两种不同类型的性能函数,并基于性能函数对编队性能的约束,对式(21)在两种性能函数下的稳定性进行分析。

3.1 指数型性能函数

本文选取的指数函数为

(22)

(23)

式中,ki=diag{ki1,ki2,…,kiN},i∈{1,2,3}。定义非空开集Ωη为

(24)

步骤 2由引理1可知,Q为非奇异M-矩阵,又ki(i∈{1,2,3})为对角矩阵,则Qki也为非奇异M-矩阵。又由引理1可知,存在正定对角矩阵Pi=(diag(qi))-1,其中i∈{p,v,3},j∈{1,2,…,N},qi=[qi1,qi2,…,qiN]=(Qki)-11N。

选择Lyapunov函数为

即:

(25)

显然式(25)为二次型形式,因此要令V>0,仅需满足二次型矩阵正定即可,即满足Pp>Pv。易证得,当满足k2>k1时,即k2i>k1i时,V>0。

对V进行求导可得

利用Jv,Pi(i∈{p,v,3})和ki(i∈{1,2,3})的对角性,展开PiQki可得

(26)

(27)

(28)

式中,g0,g1i,g2,g3,g4,g5i,g6为未知正常数。

由引理1可知,Qv=PvQk1+k1QTPv、Q3=P3Qk3+k3QTP3为正定的,则式(27)变换为

(29)

令

则式(29)可表达为

(30)

由于Qi(i∈{p,v,3})是正定的,易证得H是正定的,因此式(30)可表示为

(31)

由式(31)可知εp与εv是有界的,因此当t∈[0,tmax)时,通过对式(17)进行逆运算可得

(32)

则当em i(0)≥0,m∈{p,v}时,

(33)

当em i(0)<0,m∈{p,v}时,

(34)

步骤 3以下利用反证法进行证明。

基于式(33)和式(34),定义Ωη的非空紧集为

(35)

对式(33)和式(34)两边同乘ρm可得到预设的性能区域Dm,即证得性能函数选择为式(22)时,在控制律(21)作用下,实现具有预设性能的无人机编队控制。

证毕

3.2 预设时间型性能函数

以下提出一种预设时间型性能函数,不同于第3.1节所设计的指数型性能函数,该函数能够保证性能边界在特定的时间内到达预设的稳态值,下面对预设时间型性能函数进行定义。

本文给出预设时间型性能函数为

(36)

式中,Tm为预设收敛的时间值;h>2为一个正实数。

对式(36)求导可得

(37)

以下参照定理1,给出基于性能函数(36)的编队控制定理及其证明。

证明与定理1证明类似,分别考虑t∈[0,Tm)以及t∈[Tm,+∞)的情况。

证毕

本文基于一致性预设性能控制律,仅通过设计两种不同类型的性能函数即可实现对不同性能需求的预先设定,这一点在定理1与定理2得到了充分的说明。

4 仿真验证

为了进一步验证本文所设计的基于两种性能函数下的编队目标跟踪性能预设控制方法的有效性,以下分别针对不同性能函数下的编队控制进行仿真验证。

利用4架UAV(即N=4)对本文所提出的预设控制算法进行验证。为更好地展示算法,仅针对ω=0时的情况,即无盘旋运动进行说明。令4架UAV初始位置pi(0)分别为(-50,0)Tm、(0,60)Tm、(10,-50)Tm和(50,20)Tm;初始速度vi(0)分别为(0,-2)Tm/s、(-2,0)Tm/s、(1,-1)Tm/s和(2,-1)Tm/s;UAVl相关参数为pl(0)=(0,0)T,vl=(1,1)Tm/s;UAVb相关参数为θ(0)=0,即pb(0)=(1,0)T,vb(0)=(0,0)T,ub(0)=(0,0)T;编队旋转因子R中参数θ=(π,π/2,3π/2,0);缩放因子r为(10,10,10,10);目标初始位置为(15,15)Tm,考虑目标做匀速直线运动,速度为(-1,1)Tm/s。本文考虑UAV间通信拓扑关系如图3所示,不考虑UAV间的通信质量权重,即对应的邻接矩阵为

图3 UAV间通信拓扑关系图

4.1 基于指数型性能函数

基于指数型性能函数的编队目标跟踪控制仿真结果如图4所示。

图4 基于指数型性能函数的编队控制仿真结果

从上述仿真结果可得,在预设的指数型性能边界与最大稳态误差的约束下,编队各误差均能按照设定的衰减速率lm达到预设的稳态误差范围内,达到了一定的稳态与瞬态性能,实现了预期的控制目标。

4.2 基于预设时间型性能函数

令Tp=Tv=20 s,h=2.5;其余参数保持不变。基于预设时间型的性能函数的编队目标跟踪控制仿真结果如图5所示。

图5 基于预设时间型性能函数的编队控制仿真结果

从上述的仿真结果可以发现,通过预设时间型性能边界约束,编队各项误差值能够在预设时间内减小到预期的稳态误差范围内,同样实现了预期的控制目标。从两种类型性能函数的仿真结果中也可以得出,指数型性能函数决定了误差的收敛速度,预设时间型函数决定了误差收敛到稳态值的时间,这是二者在预设控制中所发挥作用的最大不同之处。

4.3 编队跟踪机动目标

为了更进一步说明本文所提方法的有效性,以下基于指数型性能函数,通过对机动目标进行跟踪来验证跟踪效果。设目标的加速度为(0.1cos(t/4),0.1sin(t/2))m/s2,其余参数不变。仿真结果如图6所示。

图6 编队跟踪机动目标仿真结果

图6(a)展示了UAV编队跟踪机动目标的飞行轨迹,显然从图中可以观察得到,无人机编队具备对机动目标跟踪的能力;图6(b)展示了编队邻接位置误差曲线,从图中可以观察到当目标机动时,UAV编队依旧能够在预设的性能边界约束下达到期望的性能要求;图6(c)为编队位置误差曲线,从曲线中可以发现,大约在28 s时,曲线出现了小幅抖动,此时编队已跟踪上了目标。

5 结 论

在提出一种参数组控制的时变编队队形描述与目标跟踪方法的基础上,本文针对具有性能预设的UAV编队目标跟踪问题,提出了一种适应不同需求的分布式性能控制方法。该方法解决了UAV编队目标跟踪过程中,对于收敛时间与编队误差不可控的问题。不同于传统方法中对于不同性能需求需要对应不同的控制律,本文仅通过采用不同形式的性能函数即可达到对性能控制的不同,方法适用性强。

同时本文所设计的两种性能函数,分别保证了系统性能收敛速度呈指数形式与收敛时间可预设。所设计的一致性性能控制律,确保了编队目标跟踪误差具有较好的瞬态与稳态性能,仿真结果证实了所设计的控制律的有效性。本文的研究结果还可以用于解决编队队形重构等问题,方法可塑性强,工程价值较大。

本文考虑了在UAV间无时间延迟的情况下的编队预设性能控制,下一步将考虑在时间延迟情况下的UAV编队目标跟踪的性能控制。