球带上LAPLACE算子第一特征值的一些性质*

吕 康，黄振友

(南京理工大学 理学院，南京 210094)

0 引 言

考虑

Δu+λu=0

(1)

u=0,∀x∈∂Ω

(2)

其中,Ω为三维欧氏空间单位球上的球带，Ω={x:ξ≤φ≤η,0≤θ≤2π}。上述问题有可数个单调递增的特征值满足:

0<λ1<λ2≤…≤λn≤…

且λn→∞(n→∞)(称λ1为第一特征值或最小特征值)。由最大-最小原理，对于比较靠前的特征值相对来说更容易处理。尤其是λ1,λ2，它们与粒子在某一场中运动所具有的能级有关[1]。SHEN和SHIEH[2]得到当Ω的面积不变，ξ逐渐增加时式(1)(2)的最小特征值严格增加的结果，且当Ω关于赤道平面对称时达到最大；SHIEH[3]得到当Ω面积在小于等于2π时，第二特征值也在它关于赤道平面对称的时候最大(但是这里并没有得到单调性)；RAMM和SHIVAKUMAR[4]考虑Ω=D1(0)Dr(h),其中 0

考虑

(3)

1 主要结果和证明

假设Ω的面积为S=2πA,考虑当A固定，随着ξ的增加,式(3)的第一特征值λ1的变化趋势是怎样的。对于式(3)中的Robin型边条件，不难得到它实际上等价于

(4)

用分离变量法，令u=f(φ)g(θ),由式(3)及(4)得

g″(θ)+c2g(θ)=0

g(j)(0)=g(j)(2π),j=0,1

(5)

(6)

f′(ξ)-σf(ξ)=f′(η)+σf(η)=0

(7)

式(5)的解显然是清楚的，考虑式(6)(7)。对于经典的Sturm-Liouville方程，特征值可以用Rayleigh商表达出来，因此需要将式(6)作变换，使它呈经典的Sturm-Liouville方程形式。

引理1 对于形如

y″+py′+qy+λy=0,y(0)=y(1)

的方程,若p∈L[0,1],则可以通过适当变换将其变换为经典的Sturm-Liouville方程的形式，即形如DpDy+qy+λy=0,y(0)=y(l)的方程。

证明作变换:

f(0)=f(l)=0

可得证。

根据引理1，可以将式(6)变为想要的形式。作变换：

h(x)=f(φ)

则有

(8)

sinξh′(0)-σh(0)=sinηh′(A)+σh(A)=0

(9)

由Courant节点域定理不难得到当c2=0时，对应的式(6)(7)的最小特征值是式(3)的第一特征值，即

σsinξh2(0)+σsinηh2(A)}

H(ξ)=

因此有λ1≤H(ξ),H(a)=λ1(a)。猜想当Ω关于赤道对称的时候,λ1达到最大值。为了得到这个结果,比较直观的想法是比较H(ξ)和H(a)的关系。于是便有下述定理：

定理1 式(3)中，若Ω面积固定为2πA不变，当Ω关于赤道对称时，λ1最大。

证明只需证明H′(ξ)>0,∀ξ∈(0,a)即可。这样便有

λ1≤H(ξ)

事实上，

而∀ξ∈(0,a),cotξ+cotη>0, 于是

证毕。

引理3 考虑

{p(x;t)y′(x;t)}′+λy(x;t)=0,x∈(0,1)

y′(0;t)-h1(t)y(0;t)=y′(1;t)+h2(t)y(1;t)=0

其中t∈[0,1]为参数,p(x;t),h1(t),h2(t)≥a>0,且p(x;t)一阶偏导都连续，h1(t),h2(t)为光滑函数，则它的特征值关于t连续(如果没有特别说明，求导默认对x求导)。

证明利用最大-最小原理，类似于文献[6]定理6.10可证。

引理4 设u(x;t)满足：

{p(x;t)y′(x;t)}′+λy(x;t)=0,x∈(0,1)

y′(0;t)=h1(t);y(0;t)=1

若引理3中的条件成立，则u(x;t),u′(x;t)连续。

证明利用常数变易法，设

是该问题对应的齐次方程的两个解。

不难得到

(10)

由边条件有

c1(t)=u(0;t)=1

c2(t)=u′(0;t)p(0;t)=h1(t)p(0;t)

(11)

由引理3和式(10)(11)，逐次迭代可得证。

从而

σ(sin(ξ+Δξ)-sinξ)hξ+Δξ2(0)+

σ(sin(η+Δη)-sinη)hξ+Δξ2(A)≤

λ1(ξ+Δξ)-λ1(ξ)≤

σ(sin(ξ+Δξ)-sinξ)hξ2(0)+

σ(sin(η+Δη)-sinη)hξ2(A)

(12)

由引理4及式(12)，容易得到

则有

(13)

就能得到矛盾。事实上，如果式(13)成立，则有

λ1(a)≤H0(a)

这与定理1矛盾。

cosξcosφξ-sin2ξ=cosξ(cosξ-x)-sin2ξ

cos2ξ-sin2ξ<0,∀ξ∈(ξ0,a)

最后，考虑sinξcotη,有

由引理2，得

证毕。

下面说明式(1)(2)中当Ω为高维(维度n≥3)空间中的球带时，它的第一特征值关于ξ也具有单调性。Rn中球坐标变换:

x1=rcosφ1,…,xn=rsinφ1…sinφn-1

其中0≤φ1,…,φn-2≤π,0≤φn-1≤2π，称φn-2为最后一个天顶角；设Ω={x:0

(1)在球坐标系下的方程为

设u=h1(φ1)…hn-1(φn-1),则有

(14)

…

hn-k(An-k)=hn-k(Bn-k)=0

(15)

…

h1(A1)=h1(B1)=0

(16)

其中λ=sn-2，由Courant节点定理，当式(14)(15)中的每一个sk-1(k=1,2，…,n-2)都取对应方程的最小特征值(记作μk-1,且μ0=0)的时候，代入式(16),求得的最小特征值μn-2即为式(1)(2)的第一特征值λ1。

设Ω的面积为

2πSn-2…S1

由引理1,令

则式(19)变为

gn-k(0)=gn-k(Sn-k)=0,k=2,…,n-1

于是,

(17)

证明由式(17)知道，μk-1(k=2,…,n-1)实际上是ξ的函数，记为μk-1(ξ)，将μ0=0代入式(15)(取k=2),得

hn-2(ξ)=hn-2(η)=0

(18)

(19)

由于μm-1(ξ1)=μm-1(ξ2)及式(17),∀ε>0,∃gε∈Tm，使得

又因为

于是

于是

这与式(19)矛盾。从而得到λ1=μn-2关于ξ严格单调增。证毕。

2 结束语

参考文献(References):

[1] SINGER I M，WONG B，YAU S T，et al.An Estimate of the Gap of the First Two Eigenvalues in the Schroedinger Operator[J].Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa-Classe di Scienze，1985，12(2):319—333

[2] SHEN C L，SHIEH C T.Some Properties of the First Eigenvalue of the Laplace Operator on the Spherical Bands[J].SIAM Journal on Mathematical Analysis，1992，23(5):1305—1308

[3] SHIEH C T.On the Second Eigenvalue of the Laplace Operator on A Spherical Bands[J].Proceedings of the American Mathematical Society，2004，132(1):157—164

[4] RAMM A G，SHIVAKUMAR P N.Inequalities for the Minimal Eigenvalue of the Laplacian in an Annulus[J].Math Inequalities and Appl，1998，1(4):559—563

[5] SHIEH C T.On the Behavior of the First Eigenvalue of the Sphereical Laplacian Operator on a Sphereical Annulus[J].Math Inequalities and Appl，2006,9(1):147—15

[6] COURANT R，HILBERT D.Methods of Mathematical Physics[M].NewYork:John Wiley & Sons，1989

[7] 刘景麟.常微分算子谱论[M].北京：科学出版社，2009

LIU J L.Spectral Theory of Ordinary Differential Operators[M].Beijing:Science Press，2009(in Chinese)

[8] KONG Q，ZETTL A.Dependence of Eigenvalues of Sturm-Liouville Problems on the Boundary[J].Journal of Differential Equations，1996，126(2):389—407

[9] DAUGE M，HELGGER B.Eigenvalues VariationI.Neumann Problem for Sturm-Liouville Operators[J].J Diff Equations，1993,104:243—262

[10] 陈淼，杜厚维，向长林.一类分数阶Laplace算子方程解的正则性[J].长江大学学报(自然科学版),2020,17(6):108—113

CHEN M, DU H W, XIANG C L.Regularity of Solutions for a Class of Fractional Laplace Operator Equations[J].Journal of Yangtze University(Natural Science Edition), 2020,17(6):108—113(in Chinese)