试论初中数学教学中数学思想和方法的渗透

陈颖强

【摘要】数学思想是对数学事实与理论经概括后产生的本质认识。数学方法是指利用数学语言描述与解释事物状态、关系及过程，并加以推导、演算从而形成判断、预测及解决的方法。数学思想是映射在数学头脑中的空间与数量意识，而数学方法则是数学思想的外在表现。初中数学教学中渗透数学思想和方法，将使学生由对数学知识的表象认知转化为理性、客观且直达本质的认知。基于此，文章结合实际教学经验、围绕具体教学案例，从多维度探究初中数学教学中数学思想和方法的渗透策略。

【关键词】初中  数学教学  数学思想  数学方法

【中图分类号】G633.6   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）40-0085-02

一、渗透数学方法，帮助学生了解数学思想

初中生虽然积累了一定的数学知识，但抽象思维能力、对比分析及逻辑推理能力较为薄弱，单纯从数学思想和方法出发指导学生自主总结解决数学问题的基本程序、空间及数量关系规律等难度较大。这就需要教师以数学知识为载体，在教学中切忌直接揭示数学概念、运算法则、数学定理等，而是要开展数学知识的形成过程，让学生经历于生活及社会实际中发现问题，借助数学知识及技巧分析与解释问题，依靠自身生活及学习经验解决问题的过程，并通过过程及学习结果回溯掌握多种多样的数学方法，初步了解数学思想的内涵及其在数学学习中的应用价值[1]。

以“三角形全等的判定（SAS ）”教學为例，教师以实践为导入，请学生作一个角∠A1O1B1等于已知角∠AOB，连接绘图中形成的点CD、C1D1，形成△COD与△C1O1D1，引导学生回忆作图过程，分析两个三角形中相等的条件。学生讨论与交流后会发现OD=O1D1，OC=O1C1，∠COD=C1O1D1，△COD≌△C1O1D1。接下来请学生总结该三角形全等判定规律。

当学生经历知识发生、发展过程，得到“SAS”三角形全等判定定理后，教师出示例题，请学生仔细审题后以口头语言描述利用“SAS”证明两三角形全等的步骤。教师根据学生表述进行板书，清晰列出2～3道例题的基本解题程序。当学生经历数学知识的语言表征后，教师请学生观察例题的基本解题程序，思考可否用数学语言，如符号、公式等进一步简化三角形全等证明题流程。该阶段由小组合作完成，各小组讨论结束后进行展示，其余小组进行补充与完善等，由此形成指明范围—摆齐条件—写出结论的解题规范形式，且在“摆齐条件”下学生以“AB=A′B′;∠A=∠A′;AC=A′C′”数学语言清晰列出证明三角形全等的条件。

上述教学案例中主要渗透的数学思想为数形结合与多元表征思想，所涉及的数学方法主要为归纳法、数学建模方法，由学生自主经历数学问题的结果过程，建构证明三角形全等的基本程序并用数学语言加以描述，可以在渗透多元数学方法的同时帮助学生初步了解数学思想。

二、训练数学方法，深化学生对数学思想的理解

数学思想内容丰富，如数形结合思想、化归思想、函数方程思想、类比思想等，与之相对应的数学方法也多种多样，包括综合法、反证法、归纳法、代入法、消元法等。初中数学教师在日常教学中应深入挖掘数学知识、数学习题内隐含的数学思想和方法，依靠学生内心体验及自主学习意识将数学思想和方法巧妙渗透至学生知识学习及解题过程中，循序渐进地深化学生对数学思想的理解程度、对数学方法的掌握程度，并提升学生思维灵活性与敏锐性，进而为学生学习数学、应用数学知识解决实际问题奠定坚实有力的基础[2]。

以“解二元一次方程组”教学为例，学生此前已经学习并理解一元一次方程概念及其解法、二元一次方程定义等知识，本节课的教学重点在于使学生掌握运用消元法解决二元一次方程的技巧。消元法这一数学方法中隐含着数学化归思想，即将复杂问题简单化、抽象问题具体化。在教授本节课知识时，部分教师通常结合示例演示代入消元法求解二元一次方程组的步骤，违背了数学思想和方法的形成规律。为改善此种教学现状，教师可以鸡兔同笼问题为导入，请学生思考在未学习方程前如何解决鸡兔同笼问题？即将“14个头”全部视作鸡，共有28个脚，则差10条腿，将每只鸡补齐两条腿，则有5只兔子，4只鸡。其中便隐含着二元一次方程组的解法，教师请学生列出该鸡兔同笼问题的方程式，思考“38-2×14”这一结果由两个式子怎样变化得来，变化后式子中是否还有两个未知数？通过实践及问题引导学生发现解二元一次方程组的要点在于消去一个未知数，教师再次引导：怎样消去一个未知数？——求未知项前常数的最小公倍数——求完后？——两式子相减——求解一元一次方程——另一个未知数怎么求？——代入原式。

在上述教学案例中，从学生熟悉的数学问题入手，使得基本代数知识与方程知识融汇贯通，可以训练学生类比、推导数学方法，引导学生深入感悟化归思想。

三、掌握数学方法，指导学生运用数学思想解题

学生学习数学知识需要经历听讲、复习才能得以巩固。数学思想与方法的形成也是一个循序渐进的过程，因此在初中数学教学中，教师要善于为学生提供反复训练与实践的机会，促使学生不断调整自身的数学认知结构，将数学思想和方法同化至认知结构中，当面对不同数学问题时能够快速、灵活地调取储存在认知结构内的数学思想与方法高效率、准确性地解决问题[3]。

以“一元一次不等式”教学为例，此前学生已经学习不等式及一元一次方程的概念，教师可以由旧知识引入，请学生通过类比法、综合法尝试总结一元一次不等式的意义。在指导学生认识不等式解集的概念时，教师请学生在数轴上标记处不等式解的范围，请学生通过集体讨论与自主探究说出不等式的解的特点，认识到不等式的解为一个集合，即在集合内的所有数都可以使不等式成立。为深化学生对不等式解集的理解，教师可以请学生选取集合外的数字代入到不等式中自主检验其是否满足不等式成立的条件。此教学案例涉及数形结合及逆向思想，渗透了类比推理、总结归纳、反证等数学方法，可以增强学生思维活力，使学生从不同角度思考问题、学习数学知识。

再如讲解“反比例函数k的几何意义”时，教师引导学生回顾反比例函数解析式，说一说k的符号作用。接下来呈现题目：设点P（-3，4）是反比例函数y=图像上的一点，过P点做向x轴，y轴引垂线，垂足分别为A、B，求矩形PAOB的面积。学生应用数形结合思想，借助所学的反比例函数知识求解。接下来，教师呈现变式1：将P点坐标改为（-3，y），反比例函数解析式为y=-;变式2：将P点坐标改为（x，y），解析式为y=。学生以小组为单位通过合作交流解决变式1、2，各小组描述自己总结的规律。教师借助几何画板随机改变P点在图像上的位置，使学生逐渐得出“S= |k|”这一结论。

一题多变可以为学生提供运用数学思想和方法解决实际问题的充足机会，从而帮助学生在学习与解题中逐渐掌握数学方法，更加合理高效地运用数学思想。

四、提炼数学方法，完善学生数学思想认知结构

因数学思想和方法分散在各个学段及数学知识模块中，学生很难形成较为系统与完善的数学思想体系，在学习与解题中倾向于运用常规方式分析题目或汲取知识，导致数学思想和方法在初中数学教学效果中的渗透大打折扣。为解决上述问题，教师要善于提炼数学方法、总结数学思想，以单元为基础进行整体设计，当学习完单元知识指导学生复习单元内容时，教师可以借助思维导图这一科学高效的思维工具帮助学生总结提炼并累积数学思想方法。

以《二次根式》单元为例，本单元涉及分类讨论思想方法、数形结合思想、整体思想、转化思想等，教师以“二次根式蕴含的数学思想方法”为中心，将各类思想方法为分支引导学生绘制思维导图，针对各类思想方法设计习题并进行专项训练。

如分类讨论思想方法：已知a为实数，化简：。因式子中（a+2）及（a-1）的符号不能确定，需要学生根据二次根式的定义及性质等将其符号划分为三种类型，并分类化简上式。

再如整体思想：-=2，求的值。在解决该问题时，需要学生将已知條件两边平方得出x+的值，再以x+表示x2+，以此求解得数，体现出整体思想。

教师所选择的题目需要具有代表性，学生完成习题后请其在思维导图的各个分支下以自己的语言描述可能出现的情形与题目，运用该思想方法解决问题的思路等，以此形成学生头脑中个性化的数学思想和方法体系，显著提升学生数学学习及解题能力。

五、结束语

数学思想是指对空间及数量关系的理性认知，数学方法则是解决数学问题的基本程序，数学方法以数学思想为基础，数学思想以数学方法为集中体现，串联起全部的数学知识与关键技能。在初中数学教学中，教师要以具体的数学知识为载体渗透数学思想和方法，将知识学习的主动权归还给学生，引领学生在建构知识体系的过程中自然而然地接受、了解、训练与掌握数学思想和方法，从而在学生头脑中形成个性化的数学思想和方法体系。

参考文献：

[1]林霞.转化思想在初中数学解题教学中的运用[J].数理化解题研究，2020.

[2]马建成.浅谈初中数学教学中数学思想和数学方法的渗透[J].读书文摘，2017.

[3]赵辉.在初中数学教学中如何渗透数学思想方法[J].青海教育，2019.