基于自然生成的高考复习教学设计的若干原则

【摘要】自然生成的教学设计，能体现出知识形成的一个过程，能体现教学的自然规律，能激发学生思维，展现学生内在学习动力及活力。高三复习过程中，通过自然生成的高考复习教学设计的若干原则，有利于达到教学的优效。

【关键词】高考  教学设计  自然生成

【基金项目】本文为福建教育学院资助的福建省中青年教师教育科研项目（基础教育研究专项）《核心素养视角下“自然生成”數学教学实践研究》的研究成果，编号为：JSZJ20086。

【中图分类号】 G633.6   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）34-0141-02

近日，笔者对一道解三角形试题进行深入探究，从问题中的图形结构特点出发，探究多元化解题策略，取得一定的研究成果。那么我们如何对这道题进行教学呢？特别是高考复习课如何实施自然生成的教学设计？需要遵循哪些原则？数学是过程，数学教学设计要体现过程[1]。下面笔者结合这道解三角形题的教学，来阐述基于自然生成的高考复习教学设计的若干原则，供大家参考。

1.自然生成的教学设计要顺应学生的思维路径

开门见山，笔者抛出一道改编的解三角形试题：

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a+b=5，∠ACB=。若点D为线段AB的中点，∠ACD=，求a，b。

学生进行小组讨论，笔者设计以下几个问题，让学生回答：

问题1 本题解题目标是求a，b的值，就是求两个量，你会怎么做？

生1：可以找出关于a，b的两个等量关系，其中有一个是条件a+b=5，还有一个隐含的条件待我们寻求，直接找出有点困难。

问题2 是不是可以对某些已知的量进行转化？

生1：我知道∠ACB=可转化为边的等量关系c2=a2+b2+ab。

问题3 这样是不是变成找出关于a，b，c的三个等量关系，那是不是还要再找一个等量关系呢？

这时教师顺应学生的思维引入本节课的主题：从不同的角度分析，寻求图形中隐含的等量关系。

2.自然生成的教学设计要符合自然规律

为达到自然生成，教学设计就应符合学生的认识规律，就应符合知识形成的内在规律[2]。本题解题目标为寻求等量关系，可利用算两次原理搭建。

问题4 为搭建关于a，b，c的另一个等量关系，我是不是可以从某个三角形元素出发建立等量关系？

生2（解法一）：是的， 我是通过角B的余弦值分别在△BCD与△ABC中算两次寻求等量关系的。

由条件知，c2=a2+b2+ab，∠C=，又∠ACD=，则∠BCD=。在Rt△BCD中，cosB=。在△ABC中，cosB=。即=，整理得c2-3a2-b2=0。

这时结合a+b=5，关于a，b，c的三个不同等量关系找到，因此求出a=，b=。

这时，学生3，4，5也赞同，但他是从另外一个量出发的。

生3（解法二）：角A的余弦值分别在△ACD与△ABC中算两次寻求等量关系。解法与解法一相仿。

这时课堂气氛开始活跃起来了，学生开始自然而然从不同角度及不同量算两次，得出以下几种解法。

生4（解法三）：图形中具有“△ACD与△BCD共边，且∠ADC+∠BDC=π”的结构。因此，我们可以运用sin∠ADC=sin∠BCD搭个等量关系使之达到解题目标。解法如下：在△ACD中，= ①，在△BCD中， =②，又D为AB的中点，所以AD=BD，又∠ADC+∠BDC=π，所以sin∠ADC=sin∠BDC。结合①、②知b=2a。

生5（解法四）：图形中具有“△ACD与△BCD共边，且∠ADC+∠BDC=π”的结构。我们也可以运用cos∠ADC+cos∠BCD=0搭个等量关系使之达到解题目标。解法与解法三相仿。

3.自然生成的教学设计要激发学生的潜力

师问：一定要从角的角度思考吗？可以从其他的元素出发吗？

生6（解法五）：由所给条件的结构中∠ACD及∠BCD的角度已确定，又D为AB的中点，因此，联想到用两个三角形面积的比值来确定a，b及CD的数量关系。解法如下：S△ACD=b·CDsin∠ACD=b·CD。S△BCD=a·CD。因为D为AB的中点，所以S△ACD=S△BCD，所以b·CD=a·CD，即b=2a。

生7（解法六）：由所给条件的结构中D为AB的中点，因此，联想到用平面向量来确定a、b及CD的数量关系，处理方法就是对向量恒等式进行平方。解法如下：因为D为AB的中点，所以=

+，于是=

+

+2

·，即-a2=（a2+b2-ab），知ab=2a2。

生8（解法七）：由所给条件的结构中D为AB的中点，因此，联想到用中线长公式来确定a，b及CD的数量关系。解法如下：因为D为AB的中点，所以由中线长公式得a2+b2=2CD2

+。

4.自然生成的教学设计要有培养学生创新意识

师问：这题本身是平面几何问题，能否从平面几何相关知识解题呢？

生9（解法八）：由所给条件的结构中D为AB的中点，由此，运用中线倍长的作辅助线方法来确定a，b的数量关系。解法如下：延长CD至E，使得CD=DE，连结AE，BE，可知四边形ACBE为平行四边形，所以∠AEC=∠BCE=，在Rt△AEC中，∠ACE=，则b=2a。

5.自然生成的教学设计要打破学生定向思维

生10（解法九）：由所给条件的结构中∠BCD=，容易想到建立平面直角坐标系，用解析几何法来确定a，b的数量关系。解法如下：以C为原点，CD，CB的所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，此时，B（0，a），A（b，-b），注意到D为AB的中点，且在x轴上，所以a+-

b=0，即b=2a。

6.结束语

本节课以“寻求图形中隐含的等量关系”之内容为主体组织教学。为实现教学目标，结合学生的实际情况，这节课运用自然生成的教学设计五个原则展开教学。在内容上通过一个典型例题，以“试题问题化、问题模型化、解模规范化、解题技能化”为主要表达形式，学生在通过独立思考、合作交流的过程中，实现灵活应用结论分析问题、解决问题目的，从而提高学习兴趣，激发学习欲望和探究精神[3]。

参考文献：

[1]裴光亚.数学是过程[J].中学数学， 2002（8）：22-24.

[2]陈景文，杜成北.基于数学核心素养下自然生成的公式教学研究——以“两角差余弦公式”教学设计为例[J].福建中学数学，2017 （5）：24-27.

[3]朱永广.例谈数学问题的模型化解题思路[J].数学通报，2006（10）：30-33.