沟通联系 突出思想——“鸡兔同笼”问题的教学思考与实践

○李 静

“鸡兔同笼”最早记录于我国的古书《孙子算经》之中。此问题在多个版本教材中都有涉及。教材注重引导学生用猜测、列表枚举、假设法（算术解法）等方法解决问题（部分教材呈现方程解法），体现了解决问题方法的多样化。

之前学生已有用猜测、列表枚举解决问题的经验，因此教学时，在简单的猜测和列表后，教师都要花大量的精力用图形、动画等手段教学假设法。假设笼中全是鸡，根据条件推理计算出有几只鸡、几只兔。但是，为什么要假设全是鸡呢？学生往往不去想或想不明白这一问题，而是被动地照着去假设。

波利亚在《怎样解题》中提出：“教师应当把自己放在学生的位置上，了解学生是怎么想的，然后顺势提出一个问题或建议，而这正是学生自己原本应该想到的。”笔者尝试引导学生最大限度地参与问题解决的过程，建立各种解法的联系，让他们顺势想到假设法。

一、猜测调整，数形结合尝试解决问题

引导学生借助画图、符号等手段分析数量关系，根据头的数量和隐含的条件猜测一组数据，尝试求解问题。

师：可以从8 个头的条件出发，假设一组数据，看能否满足26 只脚的条件。

生：假设有4 只鸡、4 只兔，共有4×2+4×4=24（只）脚。

师：你可以画图表示一下刚刚的假设吗？

师：少了2 只脚，没有得到正确结果，你能调整一下找到正确答案吗？

生：少了26-24=2（只）脚。说明兔子实际的数量比假设的要多。因为每只兔子比每只鸡多2 只脚（隐含条件），2÷2=1（只），再调整兔子和鸡的数量，加1 只兔，4+1=5（只）兔，减少1 只鸡，4-1=3（只）鸡。

师：怎样画图表示刚刚的调整过程？

师：还可以怎样假设？怎样调整？你能边画图边说明吗？

教师引导学生将语言表述、画图及符号表示（列算式）有机结合起来。在学生想不清楚的地方，教师适时提问或引导其他学生质疑、补充。如：你能解出这道题的一部分吗？题目中还有哪些隐含的有用数据？哪些隐含信息可以帮助你调整求出未知量？学生由此感悟到猜测任意一组数据都能根据隐含条件求解问题，沟通了猜测法与假设法之间的联系。

二、列表枚举，寻找解决问题的“通解通法”

承接“先猜测再调整”的思路，教师提出问题：“你能将所有猜测方案都列举出来吗？”这时，列表的目的就不只是找到答案，而是整理解决问题的思路。通过调动学生之前解决问题的经验，便可以找到解题的“通解通法”。

头鸡8 7…………兔0 1脚总脚数：2×8=16脚数差：26-16=10，少了10 只脚。总脚数：2×7+4×1=18脚数差：26-18=8，少了8 只脚。……调整一只兔比一只鸡多4-2=2（只）脚。增加兔：10÷2=5兔：0+5=5减少鸡：5鸡：8-5=3一只兔比一只鸡多4-2=2（只）脚。增加兔：8÷2=4兔：1+4=5减少鸡：4鸡：7-4=3……

综上，列表中的每一种猜测都可以调整得出正确结果，教材给出的“假设法”不过是假设极端值（假设全是鸡或假设全是兔）的一种情况而已。为什么要假设极端值呢？因为这样计算腿数简单，调整过程也简单。由此，学生便找到了解决“鸡兔同笼”问题的通法，并在通法中分离出简便方法——假设法，学生心中的疑问“为什么假设全是鸡”便解开了。教材中给出的三种方法，即猜测法、列表法、假设法也都统一到一个解题思路之中了。

三、变换角度假设，感悟各算法的异同

以上都是从满足8 个头的条件进行假设的（头的数量少，方便调整）。教师还可以引导学生变换角度继续思考：“我们还能从其他条件出发进行假设吗？”当然，我们也可以从脚的只数出发进行假设：假设26 只脚全是鸡的脚，然后调整。不过脚的数量复杂，调整起来也更麻烦些。

“鸡兔同笼”问题还有许多解法。如“抬腿法”，解题思路与记载在《孙子算经》中的解题方法“半足法”相同：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头即得（脚数除以2，结果减头数得兔，再用总头数减兔，得鸡）。除了《孙子算经》，中国古代数学书籍《算法统宗》中也记载了一道“鸡兔同笼”的问题，还有一个同类型的“米麦问题”。《算法统宗》采用的解题方法是与“半足法”不同的“倍头法”和“四头法”，即：倍头减足折半是兔（头数乘2，足数减掉乘积后除以2 得兔）；四头减足折半是鸡（4 乘头数，减掉足数除以2 得鸡）。

整理算法后我们发现，“半足法”是从满足脚的条件出发的假设法，而“倍头法”“四头法”则是从满足头的条件出发的假设法。

四、对比方程法，发展代数思维

不管是古书中的“半足法”“倍头法”，还是教材中的“假设法”，都只呈现了解决问题的步骤。任何程序化的算法背后都有创造算法的思路。教学中，教师应引导学生充分经历算法背后思路的思考过程，沟通猜测法、列表法与假设法之间的关系，消除心中的疑惑。

“半足法”和“倍头法”用解二元一次方程的“消元法”理解更具有去情境化的优势。以“半足法”为例。

假设有x只鸡，y只兔：

方程法解决“鸡兔同笼”问题具有去情境化、结构化的特点。学习方程之后，可以让学生用方程方法再来解决“鸡兔同笼”问题，比较代数思维和算术思维的不同，感受不同解法背后的相通之处。