双参数弱(下)鞅的一类极大值不等式

文慧敏，冯德成，杨亚男

西北师范大学 数学与统计学院，兰州 730070

设n，m∈N2，n=(n1，n2)，m=(m1，m2)．如果ni≤mi，i=1，2，则称n≤m，如果ni≤mi，i=1，2中至少有一个严格小于成立，则称n

在本文中，用{Xn，n∈N2}或{Yn，n∈N2}表示定义在概率空间(Ω，A，P)上的双参数随机变量序列．记X+= max{0，X}，I(A)表示集合A的示性函数．

定义1[1]设{Xn，n∈N2}是一列Ld双参数随机变量，如果对所有的i，j∈N2，i≤j，都有

E[(Xj-Xi)f(Xk，k≤i)]≥0

其中f是任意分量不减函数并且使上述期望有意义，则称{Xn，n∈N2}是一个双参数弱鞅，如果进一步假设f是非负的，那么称{Xn，n∈N2}是双参数弱下鞅．

近年来，一些学者将单参数弱鞅序列的若干结果推广到了多指标弱(下)鞅的情形，并且给出了多参数弱(下)鞅的一些概率不等式[1-2]．很多学者对双参数鞅的概率不等式及相关应用做了广泛研究，并取得了丰硕的成果[3-7]．

本文受文献[1]的启发．一方面，将文献[3]中单参数弱下鞅的一类极大值不等式推广到双参数弱下鞅的情形，得到了双参数弱下鞅的极大值不等式，另一方面用非负凸函数作用于弱鞅，得到了双参数弱鞅的极大值不等式．

引理1设{Yn，n∈N2}是一个双参数弱(下)鞅，且g是一个不减的凸函数，g(Yn)∈L1，n≥1，则{g(Yn)，n∈N2}是一个双参数弱下鞅．

证由于g(x)是不减凸函数，令

则

g(x)≥g(y)+(x-y)h(x)

且h(x)是非负不减函数．假定f(x)是任意分量不减的非负函数，则

这里f*(Yk，k≤i)=h(Yi)f(g(Yk，k≤i))，且f*是一个任意分量不减的非负函数．由于{Yn，n∈N2}是一个双参数弱(下)鞅，则

E[(g(Yj)-g(Yi))f(g(Yk，k≤i))]≥0

所以{g(Yn)，n∈N2}是一个双参数弱下鞅．

定理1设{Yn，n∈N2}是一个双参数弱下鞅，且当k1k2=0时Yk=0，这里k=(k1，k2)．假定{cn，n∈N2}是正的不减数列，则对任意的ε>0，有

这里A1j∩A2j=Ø，IA2j=IA1j∪A2j-IA1j．

所以

这里A1j∩A2j∩A3j=Ø，IA3j=IA1j∪A2j∪A3j-IA1j∪A2j．由于g是一个凸函数，{Yn，n∈N2}是一个双参数弱下鞅，所以有

这里h(Y2j)IA1j∪A2j是一个关于{Y1j，Y2j}分量不减的非负函数．那么有

重复上述证明过程可得

同样地，h(Y2j)IA1j∪A2j∪…∪An1-1，j是关于{Y1j，Y2j，…，Yn1-1，j}分量不减的非负函数，再次利用双参数弱下鞅的性质可得

所以

(1)

同理可得

(2)

综合(1)，(2)式结论得证．

推论1设{Yn，n∈N2}是一个双参数弱下鞅，g是一个不减凸函数，g(Yn)∈L1，n∈N2，且当k1k2=0时Yk=0，这里k=(k1，k2)．假定{cn，n∈N2}是正的不减数列，则对任意的ε>0，有

证由引理1可知{g(Yn)，n∈N2}是一个双参数弱下鞅，再直接利用定理1可知结论成立．

若在定理1中取cij≡1，则有下面的推论．

推论2设{Yn，n≥1}是一个双参数弱(下)鞅，且当k1k2=0时Yk=0，这里k=(k1，k2)．则对任意的ε>0，有

定理2设{Yn，n∈N2}是一个双参数弱鞅，g是一个非负凸函数，g(Yn)∈L1，n∈N2，且当k1k2=0时g(Yk)=0．假定{cn，n∈N2}是正的不减数列，则对任意的ε>0，有

证令u(x)=g(x)I(x≥0)，v(x)=g(x)I(x<0)，则u(x)是一个非负不减凸函数，v(x)是一个非负不增凸函数，且g(x)=u(x)+v(x)=max(u(x)，v(x))，则

由推论1可知

(3)

这里IA2j=IA1j∪A2j-IA1j．

由于v(x)是凸函数，令

则v(x)-v(y)≥(x-y)h(x)，故

v(Y2j)-v(Y1j)≥(Y2j-Y1j)h(Y1j)

再由双参数弱鞅的性质可得

E[(v(Y2j)-v(Y1j))IA1j]≥E[(Y2j-Y1j)h(Y1j)IA1j]≥0

此处h是非正不减函数，IA1j是分量不增的非负函数，所以h(Y1j)IA1j是关于Y1j的分量不减函数．因此有

这里A1j∩A2j∩A3j=Ø，IA3j=IA1j∪A2j∪A3j-IA1j∪A2j，且g是一个凸函数，{Yn，n∈N2}是一个双参数弱鞅，因此有

E[(v(Y3j)-v(Y2j))IA1j∪A2j]≥E[(Y3j-Y2j)h(Y2j)IA1j∪A2j]≥0

这里h(Y2j)IA1j∪A2j是一个关于{Y1j，Y2j}分量不减的函数．那么有

重复上述证明过程可得

同样地，h(Y2j)IA1j∪A2j∪…∪An1-1，j是关于{Y1j，Y2j，…，Yn1-1，j}分量不减的函数，再次利用双参数弱鞅的性质可得

因此可得

从而有

(4)

所以由(3)，(4)式可得

同理

因此结论得证．

若在定理2中取g(x)=x+，则有下面的推论．

推论3设{Yn，n∈N2}是一个双参数弱鞅，{cn，n∈N2}是正的不减数列，则对任意的ε>0，有

若在定理2中取g(x)=|x|，再令cij≡1则有下面的推论．

推论4设{Yn，n∈N2}是一个双参数弱鞅，则对任意的ε>0，有