横卧式杨氏模量与组装台秤实验仪的设计

李成龙，常芳锦，寿化杰，沈祺凯

(安徽理工大学 力学与光电物理学院，安徽 淮南 232001)

杨氏模量是描述固体材料抵抗变形能力的重要物理量，是选定机械构件的重要依据之一，是工程技术中常用的参数[1].目前高校大学物理实验中常用静态拉伸法和弯曲法测量杨氏模量.静态拉伸法一般使用光杠杆来放大微小形变量，此方法测得杨氏模量有一定的误差[2].而弯曲法的弛垂度推导公式比较复杂[3]，待测物理量较多，实验强度大.本文设计了新的实验方法，能在一定程度上减小实验误差，并将杨氏模量实验拓展成设计性实验.

1 横卧式实验原理

相较于传统的静态拉伸法，新实验仪器将待测钢丝横置，将钢丝两端固定于水平支架上，并使其有一定的初始张力F而绷紧成水平状态.于钢丝中部悬挂钩码下拉钢丝.钢丝受力情况如图1中的横置钢丝的受力分析图所示.

图1 横置钢丝的受力分析图

为了便于计算，设钢丝长度为2L，钢丝中点下移量为Δx(实验中用读数显微镜测得)，则由勾股定理可得两侧钢丝的伸长量分别为

(1)

本实验原理的重难点在于计算加砝码后钢丝拉力的变化量ΔF，根据平衡力以及相似三角形，可得到钢丝受到的轴向拉力为

(2)

继续增加砝码则

(3)

设钢丝初始绷紧的张力为F，则

ΔF1=F1-F

(4)

ΔF2=F2-F

(5)

由杨氏模量恒定得

(6)

将式(4)、(5)代入式(6)得初始绷紧张力F为

(7)

再将式(7)代入式(4)，即可得添加砝码后钢丝所受轴向拉力的变化量为

(8)

综上所述，由杨氏模量定义公式可得

(9)

此式即为本实验的测量公式，推导过程非常精简，改变两次砝码的质量即可测算出金属丝的杨氏模量.

2 实验测量与台秤设计实验

按公式(9)测相关物理量，测量数据见表1，数据处理中由式(2)、(3)、(7)综合算得金属丝张力F.

表1 横卧式杨氏模量实验数据与处理

厂家附钢丝标签杨氏模量值1.74×1011N/m2.从本实验设计的推导过程看，本实验结果对数据扰动比较敏感，且从推导公式可知,要提高实验测量精度可增加钢丝长度，用以减小各变化量的相对不确定度,故将钢丝长度增加到近1 m，再测其杨氏模量，实验测量数据见表2.

表2 增加钢丝长度后实验数据与处理

续表

由于实验设计的运算步骤较多，不确定度的传递过程过于复杂，本文采用Crystal Ball[4]模拟估算两次实验结果的标准偏差，以简化不确定度的计算.

在读数显微镜的测量值上附加一个±0.01mm内的均匀分布的随机数，进行模拟估算结果如图2所示.

图2 Crystal Ball模拟估算结果

对钢丝长为768 mm的实验测量数据进行模拟估算，其结果偏差较大，标准偏差约1.0×1010N/m2，杨氏模量测量值范围约1.426～2.076×1011N/m2，结果波动较大.而钢丝加长至994 mm实验模拟估算的结果表明，其标准偏差降至接近1.0×109N/m2，杨氏模量测量值范围约为1.715～1.785×1011N/m2，实验结果波动较小、精确度高.

从两组实验数据对比看，增加钢丝长度确实可以提高杨氏模量的测量精度，提高实验装置的稳定性.

横卧式杨氏模量实验装置如图3所示，组装台秤实验装置图如图4所示.基于钢丝杨氏模量的台秤设计实验原理如图5所示，取一段已测出杨氏模量的钢丝，固定于水平支架，并使其有一定的初始张力F而绷紧成水平状态.

图3 横卧式杨氏模量实验

图4 组装台秤测手机重量实验

在钢丝中间位置自由放置一载物台，载物台由连杆圆台和带孔的支架组成，载物台支杆可在支架孔中上下自由运动，载物台连杆下压钢丝，钢丝中点会下移；再在载物台上加载待测物体，钢丝中点继续下移，测量两次下移量Δx，代入计算公式即可算出待测物体重量.

图5 基于钢丝杨氏模量的台秤设计原理

由杨氏模量实验公式(9)逆推并代入公式(4)、(2)可得待测物体重量：

引入公式(4)得

代入式(2)得

表3 组装设计台秤实验测量数据与处理

最终可得手机重量为1.662 N，质量约169.59 g，与厂家标称质量170 g，相差0.41 g，相对误差0.24%.

3 结论

本文设计的横卧式杨氏模量与组装台秤实验装置，经过大量实践证实该装置具有如下优、缺点：

1) 横卧式杨氏模量测量装置，通过对横向绷紧的钢丝进行侧向微小拉伸，从而对拉力产生分解放大，将原来实验需要数千克的砝码，改进为仅需几百克砝码，使实验装置变得精致小巧.

2) 新的实验装置横向位移量Δx，远大于金属丝的伸长ΔL，在一定范围内使得微小伸长量得到比较准确的测量.但由于Δx的变化是非线性的，随着钩码的增加其变化量越来越小,测量误差越来越大.故实验中钩码不宜增加过多,本实验设计只增加3次,且数据处理不适用逐差法.

3) 若钢丝较短实验误差会比较大，实验设计中可通过增加钢丝的长度来提高位移量Δx,从而减小测量的相对不确定度.同时由于钢丝较长,因此钩码受力点的微弧形可忽略不计.

4) 利用Crystal Ball插件进行蒙特卡洛模拟估算标准偏差和其它预测值，有助于高效率的优化实验设计.

5) 该实验装置非常容易反向设计出一款简易台秤.本文推导出该简易台秤的测量公式，并成功用来测定未知物体的重力.此设计将传统的验证性实验项目拓展改进成设计性实验项目，丰富了实验内容.