固体物理教学的若干思考Ⅱ：磁学前沿案例

袁 喆

(北京师范大学 物理学系，北京 100875)

固体物理是物理学高等教育中极为重要的一门专业课程.它既包含了晶格振动、能带理论等基础知识，也紧密结合凝聚态物理中的半导体物理、超导电性、磁学、表面与低维物理等分支学科的研究前沿，可以作为高年级本科生了解科研动态的一个重要的途径[1,2].教学中引入科学研究的前沿进展可以激发学生的学习热情，并锻炼学生运用课程前半部分学习的基础知识去解决实际科学问题的能力，从课程教学自身角度来说就已是非常必要.

教育部高等教育司在《2019年教育部高等教育司工作要点》中提出实施一流课程的“双万计划”，统筹规划国家级和省级一流课程的培育与建设，打造具有高阶性、创新性、挑战度的“金课”[3,4].对于固体物理来说，高阶性是天然存在的，固体物理课程涉及的知识面较广，涵盖了四大力学，而它主要是应用量子力学、统计物理等课程的知识解决晶体物理性质等实际问题，是促进物理专业学生知识、能力、素质有机融合的理想平台，也可以充分培养学生解决复杂问题的综合能力和高级思维.凝聚态物理学的多个分支学科，例如超导、磁学、表面与低维物理等仍然处于高速发展的过程中，因此课程内容的创新性要充分反映科学前沿成果和发展方向，同时也自然地保证了学习内容的探究性和教学形式的互动性.教学中引入科学发展的前沿，对教师备课和学生课内外的学习提出了更高的要求，在很大程度上提高了课程的挑战度.

总的来说，固体物理课程与金课的“两性一度”的要求高度契合，落实的关键在于是否能够找到合适的前沿课题作为切入点：太过深入或者需要较多知识准备的学术问题并不适合面向本科生的教学，而发展得足够成熟到能够写入教科书的内容也往往不再是前沿研究内容，也是不合适的.找到合适的前沿研究案例融入固体物理教学，要求授课教师必须深刻理解科研动态，并有能力将其转化为本科阶段能够掌握的形式展示给学生.

本文聚焦于固体物理的磁性章节，从近年来自旋电子学领域研究的磁畴壁赛道存储器入手，通过探讨磁畴和磁畴壁的产生原因引入铁磁材料中相互作用的物理机制和特点.再以磁畴壁电阻为例，讨论自旋相关输运的问题，特别是和固体物理前面几章学习的布洛赫电子态、输运过程等内容结合起来，达到融会贯通的效果.希望这个典型案例能够为从事固体物理教学的教师们提供借鉴与参考.

1 从磁畴壁赛道存储器引出磁性材料中的相互作用

磁畴壁赛道存储器基于自旋转移力矩[5,6]的概念和电流驱动磁畴壁运动[7]的物理过程，由Stuart Parkin在2008年提出[8].它的载体是一条条铁磁金属纳米线，其中包含了一系列具有相反方向磁矩的磁畴单元，用来编码0和1.施加电流可以推动这些磁畴单元在纳米线中整体平移，任意一个单元都可以移动到固定的读写头附近，进行读写操作.与传统的磁性硬盘相比，磁畴壁赛道存储器的运行仅改变磁矩方向，不存在机械运动过程，因此在运行速度和能耗方面具有更优的潜力，且可能实现三维高存储密度集成，是近年来自旋电子学领域的重点研究方向之一.

通过对磁畴壁赛道存储器的介绍，可以看出磁性材料由于具有南北极的磁矩取向，是数字存储的天然媒介.因此自然地会想到如下几个问题：1) 磁有序的物理起源是什么？2) 磁存储器中数据单元是否稳定？3) 使用什么材料能够提高数据存储密度？这几个问题的答案就包含在磁性材料的基本相互作用中.

在教学中，可以利用对磁畴壁赛道存储器的介绍和上述问题，切入铁磁性的基本内容.通常从海特勒-伦敦理论出发，推导出交换相互作用和海森堡模型[9].铁磁交换相互作用让磁矩趋向于一致排列，此时在晶体外部会产生较高的静磁能.这种较强的短程交换相互作用与较弱的长程静磁(磁偶极)相互作用的竞争，导致了磁体通常分割成许多微米尺度的磁畴.在磁畴的内部，磁化强度取向一致，朝向能量最低的易磁化轴方向.而易磁化轴的方向取决于各向异性能，包括源于自旋轨道耦合相互作用的磁晶各向异性能和源于静磁相互作用的形状各向异性能.各向异性能的存在使磁化强度从一个能量最低的方向翻转到另一个能量极小方向时必须跨过能量势垒，当这个势垒的高度远大于室温(kBT≈26 meV)就保证了数据的稳定性.为了实现数据的高密度存储，需要降低磁畴和磁畴壁的尺寸.磁畴壁是不同磁畴之间的过渡区域，其中磁化强度方向逐渐从一个磁畴的方向转到另一个方向[10].磁畴壁的尺寸由交换能和各向异性能竞争所决定，交换能占优势的材料中，磁化强度的梯度较小，导致较宽的磁畴壁.而各向异性能较强的材料中磁化强度尽可能沿着易轴方向，因此较大的各向异性能会显著降低磁畴壁的宽度.

综上所述，通过磁畴和磁畴壁的物理机制，完整地展示出铁磁材料中的三种最为重要的相互作用：交换能、静磁能、各向异性能，以及它们之间的相互竞争与妥协的效果.这些基本知识内容，大部分教科书上都有涉及[9-12]，在此不赘述.

2 磁畴壁中的自旋相关输运

固体的磁性一般作为一个专题章节，放置于晶体的布洛赫电子论、输运现象和晶格振动等基础知识之后.上一节仅把研究前沿作为切入铁磁性教学内容的引子，本节的内容则利用电子论和输运过程等固体物理的基础知识来处理一个具体的自旋相关输运问题，即磁畴壁的存在对铁磁金属电阻的影响.

自基泰尔于上世纪40年代建立磁畴理论起，磁畴壁对铁磁金属电阻或电阻率的贡献就一直为研究人员所关注.在很长一段时间里，受实验条件的限制，磁畴壁电阻仅局限于理论研究[13].直到上世纪90年代才实现了第一次定量的测量.Gregg等人制备了具有条纹磁畴的钴薄膜，易轴垂直于薄膜平面，施加垂直薄膜方向的外磁场会消除部分磁畴，即减少磁畴壁个数，此时测得薄膜的电阻率变小，说明磁畴壁存在会增加电阻率[14].但随后也有其它实验得出相反的结论[15]，引发了磁学领域热烈的讨论.

图1 上图：布洛赫型磁畴壁示意.下图：磁畴壁中局域磁化强度转角定义，电子波函数混合了向上和向下自旋分量.

2.1 磁畴壁中的电子态

磁畴壁最主要的特征是非共线的磁化强度.在共线磁性材料中，如果自旋轨道耦合较弱，可以近似认为自旋角动量守恒，不同自旋的电子态彼此独立.磁畴壁的非共线磁化自然地混合自旋向上和向下电子态，使自旋不再是一个好量子数.不失一般性，考虑一个布洛赫型磁畴壁，其构型如图1所示.局域磁化强度方向可以写作m(r)=[0,sinθ(x),cosθ(x)]，用一个幺正矩阵：

(1)

可以把定义在笛卡尔坐标系的自旋分量σ·m(r)变换到局域量子化轴下定义的σz，即U-1σ·mU=σz.由于磁畴壁中局域量子化轴的方向随位置x变化，每一处的电子态受周围与其非共线磁化方向上电子态的影响，会产生自旋的混合.这是因为幺正变换U与哈密顿量中的动能项不对易[16]，

(2)

对于非常宽的磁畴壁，∂θ/∂x很小，式(2)中的后两项可以看做微扰，保留头阶项，得到微扰强度正比于磁化强度的梯度，即正比于磁畴壁宽度λ的倒数.此时哈密顿量的本征态不是局域量子化轴下的纯自旋态，而可以写作：

|Ψ+〉=a|↑〉+b|↓〉

(3)

|Ψ-〉=-b*|↑〉+a*|↓〉

(4)

其中b是正比于1/λ的小量，|b|<<|a|.注意到上述微扰图像的结论是普适的，与具体的θ(x)函数形式无关.考虑一种被称为自旋螺旋(spin spiral)的特殊结构，即∂θ/∂x是常数，其电子本征态可以严格求解，电子态的总自旋相对局域量子化轴总是存在一个常数偏角[17].

2.2 布洛赫型磁畴壁对传导电子的散射

固体材料中总是存在各种无序，例如杂质原子、晶格缺陷、原子振动和磁矩涨落等.后两者甚至在极低温下依然由于零点振动和量子涨落而无法完全消除.晶格中的布洛赫电子态被这些无序散射导致有限的电阻率.结合输运理论，可以写出磁畴壁中布洛赫电子态的散射几率，假定散射势的形式为

(5)

式(3)和式(4)中布洛赫电子的弛豫时间可以通过量子力学含时微扰论中费米黄金定则来计算.如果只考虑弹性散射，即散射前后传导电子能量不变，均保持在费米能量上，则弛豫时间的具体形式可以写作

(6)

由于磁化梯度的影响反映在参数b中，通过考察b的幂次项来讨论磁畴壁对弛豫时间的影响.式(6)中所有弛豫时间倒数中，头阶展开项都是b的线性项，次阶为b的平方项.考虑到b与畴壁宽度λ成反比，磁畴壁的电阻率可以表示为

(7)

其中ρ0是共线磁化材料(即无磁畴壁时)的电阻率，C1和C2是材料相关的系数，与磁化梯度或畴壁宽度无关.

2.3 与磁畴壁宽度无关的常数电阻

由于磁畴壁电阻R(λ)∝λρ(λ)，结合式(7)可知，对于一块具体的磁性金属材料，磁畴壁的存在会产生一个与畴壁宽度无关的电阻项和另一个与畴壁宽度成反比的项，即

(8)

在畴壁非常宽的极限下，最后一项可以忽略，只剩下一个常数项R1.这个结论与我们的直觉不大一致，通常认为当磁化梯度变得无限小，则电子输运性质会等同于共线磁化的情况.而式(6)给出的结论是：无论一个磁畴壁有多宽，总会多出一个常数电阻，并且这个常数电阻与磁化梯度的具体形式θ(x)无关.

接下来讨论这个常数电阻的物理来源.注意到式(6)中b的线性项中均包含因子v↑↓，即散射势式(1)中的非对角矩阵元，因此b的线性项都来源于局域量子化轴下自旋翻转的散射，而这需要自旋轨道耦合来提供改变传导电子自旋的角动量.最终可以得出结论，自旋轨道耦合导致自旋翻转的散射，从而使磁畴壁贡献一个与宽度无关的常数电阻R1，可以称之为绝热磁畴壁电阻.在自旋轨道耦合可以忽略的情况下，磁畴壁导致的电阻与畴壁宽度成反比，此时非常宽的磁畴壁可以近似等价于共线磁化的金属.上述结论与第一性原理输运计算得到的坡莫合金(Ni80Fe20)磁畴壁电阻完全一致[18]，其中绝热磁畴壁电阻R1的数值约为0.1×10-15Ωm2.

2.4 窄磁畴壁电阻的来源

在较窄的磁畴壁中，可以得到随磁畴壁宽度减小而急剧增大的电阻R2/λ.这部分电阻来源于式(6)中b的二次项，仅与散射势的对角元有关，因此是自旋角动量守恒的散射过程所贡献.过渡金属和合金中的电子自旋扩散长度一般为几纳米到几十纳米的尺度[19]，在这个长度范围内传导电子保持自旋方向不变，因此当磁畴壁宽度小于或接近自旋扩散长度时，大多数电子在通过磁畴壁前后保持自旋守恒，如图2所示.由于畴壁两侧磁畴方向相反，入射电子透过磁畴壁后，多数自旋载流子变成了少数自旋载流子，因此费米面上的态密度减少了，从而引起部分电子被反射，增大了电阻.这一过程和磁性隧道结中的隧穿磁电阻效应[11]非常类似，即反平行构型下的隧穿电阻总是要大于平行构型下的电阻，且两者的比例通常取决于铁磁材料费米面电子的极化(两种自旋的比例).

图2 电子通过窄磁畴壁前后自旋守恒散射过程.入射的多数自旋载流子在通过畴壁后成为少数自旋载流子，该过程类似磁性隧道结中的自旋相关隧穿效应，隧道结两侧磁化强度的反平行排列导致更多入射电子被反射，电阻增大.

在窄磁畴壁中由于较大磁化梯度产生的电阻随畴壁宽度的增加而逐步减少.这是因为当畴壁宽度逐渐增大，有更多的电子跟随局域磁化的方向逐步改变自旋方向，即入射时为多数自旋载流子，透射后仍然是多数自旋载流子.当磁畴壁宽度远大于自旋扩散长度时(λ→∞)，几乎所有电子都可以完全跟随局域磁化方向，则由窄畴壁的自旋守恒透射产生的这部分电阻就消失了.

3 奈尔型磁畴壁中各向异性磁电阻的贡献

当电流穿越布洛赫型磁畴壁时，电流方向与局域磁化的方向始终是垂直的.对于奈尔型磁畴壁，这个关系就不再成立了，如图3所示，若电流流过一个尾对尾奈尔型磁畴壁：

(9)

电流与局域磁化的方向在左右两端是平行(反平行)关系，而在畴壁中间是相互垂直的.旋转奈尔型磁畴壁：

(10)

也存在磁化强度与电流相互平行和相互垂直的区域.此时必须考虑到磁性材料中的各向异性磁电阻效应(Anisotropic magnetoresistance，简称AMR)[20].该效应也是自旋轨道耦合的结果，在大部分铁磁金属与合金中，当磁化强度与电流方向平行(反平行)时，电阻率ρ‖会比两者相互垂直时的电阻率ρ⊥大一些.对于坡莫合金，两者的差别在低温下大约能达到20%，室温下约4%左右.

图3 奈尔型磁畴壁(上图)和旋转奈尔型磁畴壁(下图)示意.电流始终沿磁畴壁方向.

各向异性磁电阻的存在使奈尔型磁畴壁区域电阻率更低，因此磁畴壁的存在会降低铁磁金属的总电阻，且奈尔型畴壁越宽，电阻降低越多.旋转奈尔型磁畴壁中间的电阻率更大，因此该类型畴壁越宽，电阻越大.下面定量计算各向异性磁电阻贡献的磁畴壁电阻，一般来说，对于多晶或各项同性铁磁金属，局域电阻率可以写成

ρ(x)=ρ⊥+(ρ‖-ρ⊥)cos2φ(x)

(11)

(12)

AMR在奈尔型磁畴壁中产生的电阻可以解析计算(假设体系长度远大于磁畴壁宽度，L>>λ)：

(13)

使用同样的方法，可以计算出旋转奈尔型磁畴壁中的AMR会贡献一个正的电阻为

(14)

4 小结

固体物理的教学有必要融入最新研究成果，使课程内容反映前沿性和时代性，以达到培养物理专业学生解决复杂问题的综合能力.同时对于前沿案例的选择必须充分考虑学生的知识基础，鼓励学生有勇气去探究前沿科学问题，培养学生面对未知领域的创新能力.这也正体现了打造金课的“高阶性、创新性、挑战度”这一要求.

作为一个典型案例，本文介绍了如何通过磁畴壁赛道存储器引入铁磁性材料中的基本相互作用等教学内容，并进一步选择了磁畴壁电阻这一自旋电子学领域的研究前沿，让本科生在学习固体的磁性章节时，能够结合已掌握的电子能带论、输运现象和量子力学微扰论等内容，自主地探讨磁性金属材料中自旋相关输运现象.通过对电子自旋态和无序散射导致的弛豫时间的分析，发现磁畴壁贡献的电阻与畴壁宽度的关系.在讨论过程中，主要基于物理图像做定性分析，避免冗长的严格计算，把数学表达式中隐含的物理过程揭示出来，例如散射势中的非对角元对应自旋翻转散射，自旋翻转散射和自旋守恒散射分别会导致一个与磁畴壁宽度无关的常数电阻和一个与磁畴壁宽度成反比的电阻.后一过程与磁性隧道结中的隧穿磁电阻效应的物理图像是一致的.各向异性磁电阻效应对于非布洛赫型磁畴壁会贡献一个与畴壁宽度成正比的电阻，可以是正值或负值.

致谢：本文的写作得到了北京师范大学物理学系马啸云和高著同学的大力帮助.