细说四类上抛运动

杨天才

(重庆市第三十七中学校 400084)

竖直上抛运动，指将物体以一定的初速度竖直向上抛出，只在重力作用下的运动.这种运动可分为减速上升和加速下降两个运动过程，且具有严格的对称性，即同一位置的速度大小相等、方向相反，物体速度的变化有“v-0-v”的特点.其实，还有以下四类运动可看成类上抛运动模型：①沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后以原加速度匀加速下滑的运动，物块经水平或倾斜传送带减速到零、再反向以原加速度加速运动(v传≥v0)等；②阻力恒定的竖直上抛运动(或沿粗糙斜面上滑的小球，到最高点后以较小加速度匀加速下滑的运动)；③阻力与速度成正比的竖直上抛运动(或光滑倾斜轨道内闭合电路的一部分导体以一定的初速度切割磁感线运动)；④物块经水平或倾斜传送带减速到零、后以原加速度反向加速、再匀速运动(v传

运动规律结论v-t图像竖直上抛运动vt=v0-gth=v0t-12gt2v2t-v20=-2gh上升的最大高度:H=v20/2g,上升的时间:t上=v0/g,回到抛出点所用的时间:t下=v0/g,总时间t总=2v0/g,回到抛出点时的速度v=-v0.(严格的对称性)图1类上抛一:光滑斜面往返、水平传送带上往返(v传≥v0)vt=v0-atx=v0t-12at2v2t-v20=-2ax离出发点的正向最大距离:x=v20/2a,刚要返回时的运动时间:t=v0/a,回到出发点时的速度v=-v0.(严格的对称性)同图1类上抛二:阻力恒定的上抛运动、粗糙斜面往返运动、倾斜传送带上往返x=v12t1=v22t2=12a1t21=12a2t22=v212a1=v222a2离出发点的正向最大距离:x=v20/2a1,刚要返回时的运动时间:t=v1/a1, v2v1=a2a1=t1t2.(除往复距离相等外,不具备对称性)图2类上抛三:阻力与速度成正比的竖直上抛运动、光滑轨道内闭合电路的一部分导体以一定的初速度切割磁感线运动(倾斜同理)mgt+kx=mv0-mv(f=kv)、mgt+B2L2xR总=mv0-mv(F安=B2L2R总v=kv)上升的最大高度H=m(v0-gt)/k、H=m(v0-gt)R总/B2L2,抛出点加速度最大am=g+kv0m、am=g+B2L2v0mR总,最高点a=g,落回点加速度最小amin=g-kvm、amin=g-B2L2vmR总.(除往复距离相等外,不具备对称性,高度足够高,物体向下可能以收尾速度做匀速运动)图3类上抛四:物块经传送带减速到零、后反向加速、再匀速运动(v传

部分模型举例如下：

图5

例1如图5所示，水平方向的传送带，顺时针转动，传送带速度大小v=6 m/s不变，两端A、B间距离为3 m.一物块从B端以初速度v0=4 m/s 滑上传送带，物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.4，g=10 m/s2.物块从滑上传送带至离开传送带的过程中，图6中速度随时间变化的关系正确的是( ).

图6

点评因为传送带的速度大于物体的初速度，物体返回时不可能与传送带共速，显然B错误，如果我们把眼睛对着B端向左看，看到的就是简单的类上坡运动类型一，当然还要判断传送带是否足够长，物体会不会向左运动时冲出去，此题物块的速度变化为典型的“v-0-v”.

例2(2015年全国Ⅰ卷)如图7甲所示，一物块在t=0时刻滑上一固定斜面，其运动的v-t图线如图7乙所示.若重力加速度及图中的v0、v1、t1均为已知量，则可求出( ).

A．斜面的倾角

B．物块的质量

C．物块与斜面间的动摩擦因数

D．物块沿斜面向上滑行的最大高度

图7

点评本题物块速度变化满足“v-0-v”，虽不要求求解具体值，只要求判断能求哪些量，简化了运算过程.但受力分析时注意摩擦力的方向在往返运动过程中是不同的，从而加速度的大小和方向跟随改变；另用控制变量法可以判断，质量不在方程式中，自然不能求解质量.

图8

例3 (2020年全国卷Ⅱ)如图8所示，一竖直圆管质量为M，下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一质量为m的小球.圆管由静止自由下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极短；在运动过程中，管始终保持竖直.已知M=4m，球和管之间的滑动摩擦力大小为4mg，g为重力加速度的大小，不计空气阻力.

(1)求管第一次与地面碰撞后的瞬间，管和球各自的加速度大小；

(2)管第一次落地弹起后，在上升过程中球没有从管中滑出，求管上升的最大高度；

(3)管第二次落地弹起的上升过程中，球仍没有从管中滑出，求圆管长度应满足的条件.

解析(1)管第一次落地弹起的瞬间，小球仍然向下运动.设此时管的加速度大小为a1，方向向下；球的加速度大小为a2，方向向上；球与管之间的摩擦力大小为f，由牛顿运动定律有

Mg+f=Ma1,f-mg=ma2.

解得：a1=2g，a2=3g.

图9

例4(2014年重庆卷)以不同初速度将两个物体同时竖直向上抛出并开始计时，一个物体所受空气阻力可忽略，另一个物体所受空气阻力大小与物体速率成正比.下列图10用虚线和实线描述两物体运动的v-t图象可能正确的是( ).

图10

点评本题物体的速度变化为“v-0-v”，虽还是类上抛运动，但解题时要注意阻力与速度成正比，相比例2和例3，物体做的不再是匀变速运动，上升过程做的是加速度减小的减速运动，下落过程做的是加速度减小的加速运动，如果高度足够大，最后可能做匀速直线运动.

图11

(1)导体棒从开始运动到返回底端的过程中，回路中产生的电能；

(2)导体棒在底端开始运动时的加速度大小；

(3)导体棒上升的最大高度.

解析(1)据能量守恒，得

(2)在底端，设棒上电流为I，加速度为a，由牛顿第二定律得：

mgsinθ+BIL=ma1

由法拉第电磁感应定律得E=BLv

由上述三式，得：

∵棒到达底端前已经做匀速运动，

代入数据得：a1=5gsinθ

(3)选沿斜面向上为正方向，上升到最高点的路程为x，在上升的全过程中，由动量定理得：

点评本题与例4很相似，只是由安培力充当阻力，阻力仍是与速度成正比.

例6如图12甲所示的水平传送带AB逆时针匀速转动，一物块沿曲面从一定高度处由静止开始下滑，以某一初速度从传送带左端滑上，在传送带上由速度传感器记录下物块速度随时间的变化关系如图12乙所示(图中取向左为正方向，以物块刚滑上传送带时为计时起点).已知传送带的速度保持不变，重力加速度g取10 m/s2.关于物块与传送带间的动摩擦因数μ及物块在传送带上运动第一次回到传送带左端的时间t，下列计算结果正确的是( ).

A．μ=0.4 B．μ=0.2 C．t=4.5 s D．t=3 s

图12

点评本题中关键点在于传送带的速度小于物块的初速度，当物块返回过程中与传送带共速时，达到物块不再做加速运动，而是和传送带一起匀速运动，除了加速度不变，其他的量不再对称，这是类上抛运动模型中要注意的.

竖直上抛运动及其拓展模型是高考命题的常客，结合v-t图像，综合考查学生对图像的点、线、面积、斜率、截距的含义，并要求学生能清楚地分析类上抛运动在相对运动过程中的受力分析和运动分析，有时还要结合动量观点和能量观点处理.同时要学会从不同的视角(从右往左看、从上往下看、从斜面底端往上看等)去把问题转换成类上抛运动，这样很多问题就能引刃而解了.当然空气阻力大小对运动的影响虽在平时练习中比较常见，但也要重视.