聚焦高考题、研究题、命新题——以分段函数微专题为例

黄爱芹

(江苏省姜堰中学 225500)

高考几乎每年都会出现分段函数的问题，尤其是含参数分段函数和含绝对值函数，结合对应函数定义、性质等多角度探讨，交叉知识点较多，命题形式多样，备受命题者青睐.本节课是高三一轮复习完初等函数的专题课，学生已有一定的学习经验，通过追本溯源和命制题目，让学生也来研究高考，对接高考，形成解决分段函数的一般性策略，在解题过程中总结思想方法，培养学生的理性思维，提高解决问题的能力.

一、课前预习

例3 (2019年泰州一调第11题)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=f(x)，当0

解析因为f(x)是R上的奇函数,

所以f(-1)=-f(1).

因为f(-1)=f(-1+2)=f(1)，

所以f(1)=0,即1-a+1=0,解得a=2.

我们可以看出题目分布在9-11题，题目均给出在某一段上的具体函数，这些函数涉及绝对值函数、一次函数、三角函数、三次函数等，综合性较强，命题灵活，结合给出函数的周期性或奇偶性等性质，通过分段处理求值，确定参数的值，从而达到解决问题的目的.

二、追本溯源

例4 (苏教版必修1第44页10题)已知函数y=f(x)是R上的奇函数，且x>0时f(x)=1，试求函数y=f(x)的表达式.

回顾课本上的这道课后习题，解题方法有图象法和代数法，让学生体会数形结合在分段函数题型中的应用，以形思数，以数想形.

三、命制新题

1.更换条件

题1若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)+1,且当x∈[-2,0)时，f(x)=log2(-x+3),则f(2019)=____.

解析因为f(2019)=f(2017+2)=f(2017)+1=f(2015)+1+1=…=f(-1)+1010，

又因为f(-1)=log2(1+3)=log24=2，

所以f(2019)=1012.

此题很容易联想到等差数列的结构，类比等差数列的奇数和偶数项成等差，不断递推，一直递推到题目给出的区间，特意将函数改成对数函数，让学生继续体会分段函数的综合性.除了这样更改条件，还可以怎么改？自然而然引出类似于等比数列结构的函数递推关系，不妨把函数再更改为二次函数，问题也作改动，变成求不等式的解集.

除了求值和解不等式之外，分段函数还经常考查零点问题，函数零点问题是新课标教材新增内容之一，也是高考的重要考点.现以上述分段函数变题为例谈谈函数零点的处理策略.

2.更换问题

题3已知f(x)是R最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为____.

解析当0≤x<2时,由f(x)=x3-x=0，解得x=0或x=1或x=-1.因为函数的周期是2，所以函数的零点依次为2，3，4，5，6.则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7个.

此题为2011年全国卷的一道选择题，属于简单题，直接求解出函数的零点，再根据周期性求解其他零点，注意区间右端点6也是一个零点.正确求解一个周期内根的个数和理解周期性是这类题的关键，也可以通过画图找出根的个数.如果此题改为“与x轴交点的横坐标的和”也是可以的，启发学生自我命题，举一反三，感受数学学习的乐趣.

题4 已知函数f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1),且x∈[-1,1]时，f(x)=x2,g(x)=log5|x|,则方程f(x)-g(x)=0的实根个数为____.

解析因为函数f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1)，

所以∀x∈R,有f(x+2)=f(x)，则f(x)周期为2.

因为函数f(x),g(x)是偶函数，所以只需求出y轴右侧的交点个数如图2.

故方程f(x)-g(x)=0的实根个数为8个.

此题主要是引导学生总结思考：周期函数的表述形式有几种；分段函数可以嵌入哪些函数；涉及几类问题；分段函数常用处理方法；蕴含哪些思想方法.在这样的教学过程中，让学生形成解决分段函数这类问题的策略.

3.更换函数

4.深度探究

如图3所示，实根的个数为4.

方法2由|f(x)+g(x)|=1，得f(x)=±1-g(x).

分别作出f(x)与-1-g(x)图象和f(x)与1-g(x)图象如图4、图5所示.

方法3|f(x)+g(x)|=1,即g(x)=±1-f(x).

分别作出g(x)与-1-f(x)图象和g(x)与1-f(x)图象，如图6所示.

方法2和3利用数形结合将问题转化为两个函数图象的公共点的个数问题，对填空题而言是首选，构造了两种不同的函数模型，在实际解题中可选取自己擅长或熟悉的函数模型，变形作图.另外，上述这些方法中都应注意x>1这一段是否有交点，而且图象的精确度需要结合导数判断单调性与最值，需要培养学生严谨的解题习惯.

四、巩固练习

由此不难看出，处理分段函数零点的基本原则：

1.分段函数，分段处理;

2.分段函数，画图处理;

3.分段函数，注意端点.

运用分类讨论、等价转化、数形结合等方法，关注:

1.求值类型，由里而外;

2.递推函数，关系先行;

3.零点问题，借形探路;

4.数形结合，分类讨论.

特别是具有多个分支的分段函数，应充分考虑各个分支内的交点个数.

作为教师我们需要吃透考点，研究高考考题的来源，了解知识的生长点，学会自主命题，多角度思考，灵活处理.相信只有与高考对接，方能赢在高考！