一类2×2无界算子矩阵的压缩半群生成充要条件

刘 杰

(呼和浩特民族学院 数学与大数据学院, 内蒙古 呼和浩特 010051)

0 引 言

下是Hilbert空间.进一步, 在乘积空间Y⊕X中, 定义内积

(v1,v2)Y⊕X=(f1,f2)Y+(g1,g2)X=

(1)

式中：v1=(f1g1)t,v2(f2g2)t∈Y⊕X，则在内积(1)下，Y⊕X是Hilbert空间.

本文通过算子矩阵的因式分解, 借助 Schur 补算子和二次补算子, 研究无界算子矩阵

(2)

(3)

式中：A和D为稠定可闭算子.并给出式(2)和式(3)定义的算子矩阵M生成Hilbert空间Y⊕X(⊂X⊕X)中压缩半群的充分必要条件.

文中D(A)和R(A)分别为算子A的定义域和值域,A|S表示算子A在线性子空间S上的限制，Re(z)为复数z的实部.

定义1[10]设(T(t))t≥0是从 Banach 空间X到X的有界线性算子的单参数族, 称(T(t))t≥0为强连续有界线性算子半群(简称C0半群), 如果

1)T(0)=I,I为X上的单位算子,

2)T(t+s)=T(t)T(s),t,s≥0,

进一步, 若‖T(t)‖≤1,t≥0, 则称(T(t))t≥0为压缩半群.

定义2[10]若Hilbert空间X中的线性算子A满足Re((Av,v))≤0,v∈D(A), 则称A为耗散算子.

1 主要结论及证明

下面给出本文的主要结论.

定理1设M为式(2)和式(3)所定义的算子矩阵, 则M生成Y⊕X上的压缩半群, 当且仅当以下条件成立:

因此，由式

Re((Af,f)Y+(g,f)Y+(Cf,g)X+(Dg,g)X)=

(Cf,g)X+(Dg,g)X)=Re((Af,f)Y+

(g,-Cf)X+(Cf,g)X+(Dg,g)X)=

Re((Af,f)Y+(Dg,g)X),

v=(fg)t∈D(M)，

可知

Re((Mv,v)Y⊕X)≤0,v∈D(M),

即M是Y⊕X中的耗散算子.

(4)

式中：T1(λ)=C-(D-λ)(A-λ).

记

推论1设Hamilton算子矩阵为

Y⊕X→Y⊕X，

则H生成Y⊕X(⊂X⊕X)上的压缩半群, 当且仅当以下条件成立:

定理2设M是式(2)和式(3)所定义的算子矩阵, 若A是闭算子, 则M在Y⊕X中生成压缩半群, 当且仅当以下条件成立:

证明充分性.由条件(1)可知, 算子M为耗散算子, 其证明过程与定理1相同.因0∈ρ(C),M-λ(λ>0)具有如下分解

M-λ=

(5)

式中：T2(λ)=I-(A-λ)C-1(D-λ).

记

结合A的闭性和D(C)⊂D(A)可知,AC-1在X中有界, 因而E3是双射.因此,M-λ是满射当且仅当T2(λ)是满射.由条件R(T2(λ))=Y可知,R(M-λ)=Y⊕X.所以,M生成Y⊕X上的压缩半群.

定理3设M是式(2)和式(3)所定义的算子矩阵, 若D为X中一个压缩半群的生成元, 则M在Y⊕X中生成压缩半群, 当且仅当以下条件成立:

2)R(S1(λ))=Y, 其中S1(λ)=A-λ-(D-λ)-1C,λ>0.

证明充分性.由条件(1)可知, 算子M是耗散算子, 其证明过程与定理1相同.因D为X中一个压缩半群的生成元, 故此，λ∈ρ(D),λ>0.因而M-λ(λ>0)有如下分解

M-λ=

(6)

记

由λ∈ρ(D)可知,D-λ是单射且(D-λ)-1在X中有界, 故E5是双射, 进而,M-λ是满射当且仅当S1(λ)是满射.由条件R(S1(λ))=Y可知,R(M-λ)=Y⊕X.所以,M生成Y⊕X上的压缩半群.

定理4设M是式(2)和式(3)所定义的算子矩阵, 若A为Y中一个压缩半群的生成元, 则M在Y⊕X中生成压缩半群, 当且仅当以下条件成立:

2)R(S2(λ))=X, 其中S2(λ)=D-λ-C(A-λ)-1,λ>0.

证明充分性.由条件(1)可知, 算子M为耗散算子, 其证明过程与定理1相同.因A为Y中一个压缩半群的生成元, 故此，λ∈ρ(A),λ>0.因而，M-λ(λ>0)具有如下分解

M-λ=

(7)

记

由0∈ρ(C)和λ∈ρ(A)可知,E7是双射, 进而M-λ是满射当且仅当S2(λ)是满射.由条件R(S2(λ))=X可知,R(M-λ)=Y⊕X.所以,M生成Y⊕X上的压缩半群.

2 算 例

考虑阻尼波动方程混合问题

(8)

式中：a>0,c>0,(x,t)∈[0,l]×(0,∞).

设X=L2[0,l],A=-aI,

D(C)={v(x)∈X,v′(x),v″(x)∈X,

v(0)=v(l)=0},

v(0)=v(l)=0}.

(9)

Y⊕X→Y⊕X.

算子矩阵M满足定理4的条件, 故M生成Y⊕X上的压缩半群.

事实上,M的Schur补算子为

D(S2(λ))=D(C).

对任意g∈X, 考虑二阶非齐次常微分方程S2(λ)f=g, 即

(10)

设τ1,τ2为非齐次方程(10)的特征方程

(11)

的两个根, 则方程(10)有如下通解

式中：C1和C2为任意常数；

结合条件f(0)=f(1)=0，得

因此,R(S2(λ))=X.

另一方面, 算子矩阵M可以分解为