画法几何题解的定义域分析及表现形式研究

薛爱文，杨小星，权 雳

(1.太原科技大学 机械工程学院，山西 太原 030024；2.山西农业大学 信息学院，山西 太谷 030800；3.奥本大学 土木工程学院，阿拉巴马州 36849)

0 引 言

工程技术中存在着许多空间几何问题，如空间机构分析、机械加工中打孔表面和钻头轴线间位置关系等常采用投影法进行解决[1].而画法几何学即是利用投影理论研究在平面上图示与图解空间几何问题的一种重要方法.因此，画法几何习题必须在可解的范围内给出，即题解存在的定义域.解题的人通常不必要考虑题目是否有解，只需给出满足题目要求的解答过程和结果.而题目是否有解答结果？哪个范围内有解？有多少个解？若干解具备哪些共同属性？题解是由哪种几何图形经过怎样的逻辑操作产生的？解的作图法及几何模型呈现什么形状？ 这些均与题目设计有密切关系.

1 定义域及表现形式分析

研究定义域对题目设计有重要意义，定义域可以用集合形式、图解法、空间几何模型表现[2]，并用文字描述.

1.1 情形分析

任意平面上直线对H面的倾角α的定义域：最小值是平面上对H面的水平线的倾角0°，最大值是该平面上对H面的最大斜度线的倾角，集合表达为{α|0°≤α≤90°}.一般位置平面上直线对H面倾角的空间几何模型[3]和投影作图法[4]如图1 所示.

(a)几何模型表示

定义域还可以用轨迹的形式表现，如过定点与定平面平行的直线的轨迹是过定点且与定平面平行的平面；与定点保持定距离的点的轨迹是以定点为球心，半径为定距离的球面；与定直线等距离的平行直线的轨迹是圆柱面.平面、球面、圆柱面是点或直线按某种条件运动而形成的轨迹，即是点或直线的定义域.给题条件不同，题解的定义域可以选择适当的表现形式.

1.2 推断总结

画法几何相关教材中从未提及“题解的定义域”概念，但每个习题均涉及此内涵.通常与点、线、面相关的习题解存在定义域问题，主要表现在 3个方面：① 点、直线、平面位置的定义域；② 直线、平面对投影面的倾角的定义域；③ 直线段的长度或距离的定义域.但点、直线、平面间的相对位置千变万化，直线、平面的大小及对投影面的倾角各不相同，所以定义域也有相应变化，需要具体问题具体分析.截交线、相贯线具有公共性，必然属于截平面或立体表面，因此一般无需考虑定义域.

画法几何题目条件千变万化，解范围的表现形式也各不相同，必须依据题目中具体条件创建有解的几何模型，展开定义域的讨论，写出解的定义域表达方式.

2 定义域分析举例

例1 图2(a)给出△ABC的水平投影及边AB的正面投影，△ABC的面积为m2；图2(b)给定△ABC的底边AB的实长，QB=m，QB⊥AB，要求补全C的正面投影c′[5].

分析题目是否有解？

平面图形△ABC的投影需要9个条件(即直接或间接给定A、B、C3个顶点共9个坐标)才能充分反映其空间真实的大小、位置，而图2(a)投影图给定8个条件(A、B的3个坐标及C的X和Y坐标)，题目文字和图2(b)间接给定1个条件，初步判断该题目有解.

1)分析题解的轨迹，创建题解的几何模型[6]

图3 图2给题有解的几何模型

图4 图2题解作图法

2)题解作图法

① 计算点C的轨迹圆柱面的半径R,即△ABC的高h.

图2(b)中，QB⊥AB，作△ABQ的外接半圆O1，延长AB与外接圆周交于D，则AD为该外接圆的直径，设其半径为r，又直径所对的圆周角为直角，即AQ⊥QD；过圆心O1作弦AQ的垂线，由垂径定理知，弦AQ分为两段均为l的线段.

3)解析法

当d

当d=R时，直线与圆柱面相切，只有1个交点，该题有一解；

当d>R时，直线与圆柱面相离，没有交点，该题无解.

例2[8]已知交叉直线AB、CD的距离d为 10 mm，如图5(a)所示，AB的两面投影及CD的水平投影，要求补全c′d′，回答该题有几解？任求一解.

图5 例2题目及图解法

分析交叉两直线段对投影面的位置需要12个条件，图5(a)两面投影图给定10个条件，例2文字题目给出两交叉直线距离为10 mm.如图5(b)中，若直线AB转化为对投影面H2的垂直线，即积聚成a2(b2)，则以其为圆心，R10为半径的圆上任一点的切线(与AB边夹角θ为90°的除外)，且同直线l1、l2分别相交于点c2、d2的直线段均为所求，有无数个解，即与直线AB夹角为θ∈(0° 90°)，距离为10 mm的直线CD均为所求.

3 结 语

本文通过分析画法几何题目给题条件，提出了一种使用3D软件创建题解空间几何模型的方法，助力作图法，进而研究其定义域.该法形象、直观地表现各几何元素间的空间位置及解的定义域，图解思路清晰地呈现出来，轻松地指导完成题目的作图法，既保证题目的可解性，又消除了学生作题空间思路模糊的疑惑.条件不同，学习深度不同，均可设计并创建一个相当的题目供学生训练，值得很好地推广，很适合分析画法几何体目中包含轨迹的综合问题.