指向数学素养 理解概念本质

周蓉蓉 邓双英

【摘   要】分数认识教学横跨两个学段。《分数再认识》是学生在学习三年级上册“初步认识分数”的基础上再次认识分数的意义。教师在教学时应基于学情前测，抓住分数意义学习的生长点与延伸点，帮助学生理解概念本质。具体可从“数形结合，唤醒经验，再认识‘[34]的特征”“理性思辨，深化内涵，再认识‘一个整体”“从点到面，抽象概括，再认识‘分数意义”“充分体验，借助推理，再认识‘分数相对性”四个方面实施教学。

【关键词】分数再认识;分数的意义;概念本质;数学素养

【课前思考】

目前，国内各版本教材都将分数安排在两个阶段进行教学。第一阶段一般安排在三年级，主要内容为借助直观模型，引导学生通过直观操作，经历分数的产生过程，并从部分与整体的关系初步理解分数的意义。第二阶段一般安排在五年级，将学生对分数的感性认识上升到理性认识，概括出分数的意义，从分数与除法的关系等方面加深对分数意义的理解。五年级下册《分数的意义》一课的主要教学内容是通过实例概括出分数表示整体与部分之间关系的意义，进一步理解分数表示多少的相对性。

从三年级的分数初步认识到本节课的分数再认识，学生对分数意义的理解掌握情况是怎么样的？知识的衔接点和困难点在哪里？为了更好地了解学情，课前笔者对本校五年级225名学生进行了问卷调查，前测题及结果如下。

结果

统计 1个图形的[34]：61.9% 4个图形的[34]：26.2% 8个图形的[34]：2.4% 错误率：9.5% ]

从前测结果看，40%左右的学生用[26]来表示题1中的三个图，将1个小方格作为一份来理解图形所表达的分数意义，关注的是物体或图形的个数，忽略了③号图形中椭圆的作用，没有顺利地建立2个小方格是一份的概念，也就是关于“子集与集合”的分数含义并没有真正理解。90%的学生能有效地转换[34]的符号表征与图形表征，但61.9%的学生只能用一个物体作为一个整体来表征[34]。访谈后发现部分学生认为只有在一个物体不够分时才用分数，几个物体中的一部分不能用分数表示。部分学生认为一个整体中的物体或图形必须是完整的、同类型的、明确数量的。而且用“多个物体”表示一个整体时，学生都偏好用分母的倍数个物体，一方面是因为这样的数量容易平均分，另一方面也是教材所呈现的学习资源造成的。

根据前测分析，以下问题值得思考：①如何帮助学生完善对于“一份的概念”的理解？②如何改编教材，呈现学习材料，帮助学生突破对“整体”认识的局限性？③除了从“平均分成几份，取若干份”份数定义角度认识分数，这节课还需要“再认识”什么？

结合课前思考，笔者从以下几个方面展开教学。

【教学实践】

（一）数形结合，唤醒经验，再认识“[34]的特征”

分数是一个非常抽象的概念，需要有足够的直观表象作为支撑。课始教师从两组图入手（见图1），引导学生回忆已学的按单个计数的策略，再借助已有的“表示一个正方形的[34]”的经验，理解不同图形的[34]的意思。在这一过程中产生认知冲突，引发思考：“为什么左边4个图用4个不同的数表示，右边4个不同的图形却能用同一个数表示？”在从按个计数法转换到用分数表示图的过程中，找出分数与之前学习的数的不同点，深刻理解[34]表示部分与整体的关系的本质特征。

（二）理性思辨，深化内涵，再认识“一个整体”

“一个整体”是理解分数的意义的重要组成部分，是学生真正理解分数意义的基石。本节课理解“一个整体”分三步走。

1.结合理解[34]的特征，认识“一个整体”

在“用[34]表示图”的学习活动中，引导学生体会只要把这4个图形作为一个整体就可以表示出[34]的意思，特别是表示2个圆的[34]，打破学生“一个整体包括的物体数量必须是分母倍数”的思维局限性。再通过找一个相同的数“1”来表示一个整体，并在左边图形上圈一圈，感悟用分数和自然数表征数量的不同之处，实现思维方式的转变。

2.拓展外延，理解深化“一个整体”

针对前测中部分学生认为“一个整体中的物体或图形必须是完整的、同类型的、明确数量的”这一状况，以及学生在后续学习中会经常面对各种各样的数量作为“一个整体”的现实，笔者增加了关于“一个整体”的学习环节，依托三個典型例子，拓展“整体”概念的外延，深刻理解其内涵。

（1）3名学生和1名老师

师：“3名学生和1名老师”能作为一个整体吗？

生：可以。

师：它的[34]是什么意思？

生：因为学生和老师一共有4个人，可以看作一个整体，再把3名学生分出去，就是[34]。

生2：“3名学生和1名老师”作为一个整体时，每个人都是4个人的[14]，3名学生就是其中的[34]。

（2）[12]块巧克力

师：[12]块巧克力是什么意思？

生：半块巧克力，就是一块巧克力的一半。（根据学生的表述，用图表示出[12]块巧克力，形成板书）

师：怎么表示出它的[34]？

生：把[12]块巧克力平均分成4份，然后表示这样的3份，就是[34]。（根据学生的回答，出示相应的图，形成板书）

师：这么说来，[12]块巧克力能不能作为一个整体，并从中找出它的[34]？

生（齐）：能。虽然它只是半块巧克力，但依然可以作为一个整体。

（3）6米（7米，……，[x]米）

师：我们用一条线段来表示6米，它可以作为一个整体吗？

生：可以把它看成一个整体，每份1.5米，然后取其中的3份，就是[34]。（根据学生的回答，出示相应的图，形成板书）

师：把6米换成7米，还行吗？

生：7米也可以看成1，把7米除以4，取其中的3份就可以表示[34]。（根据学生的回答，出示相应的图，形成板书）

师：6米、7米可以作为一个整体，还可以是多少米？怎么找到x米的[34]？

生：可以把x平均分成4份，取出其中的3份就行了。

师：这个不确定的数量依然可以作为一个整体。如果把[x]米换成m千克，还可以吗？（生答）

师：再换。（出示0.8米的绳子、买5本书的总钱数、学校占地面积）

生（齐）：都是可以的。

板书：

3.学生再次举例，内化一个整体的意义

师：像这些都是可以作为一个整体来表示[34]的，你们能不能再说几个？

……

这里的学习材料形式多样，有用图表示的，也有用语言表述的;有具体的，也有不确定的;有教师提供的材料，也有学生举的例子，充分体现了“一个整体”的丰富性与全面性。这个学习过程，从图到文字，从数到字母，从一个到多个的集合，从具体到抽象，学生经历了“一个整体”概念形成、发展、拓展的过程，有效地改变了原有的认知经验，再次认识到“一个整体”外延的丰富性、内涵的深刻性。

（三）从点到面、抽象概括，再认识“分数意义”

每一个数学概念的理解都需要经历从具体到抽象，再回到具体的过程，分数的意义也一样。虽然前面已经利用图形充分理解了[34]的特征，但随着“一个整体”的拓展，[34]也有了新的含义。本节课浓墨重彩地引导学生理解[34]的意义，帮助学生建立[34]丰富多彩的直观表象，充分经历直观形象到抽象概括的过程。力图通过以点及面，以一個分数的深度理解与概念的建立，完善对分数意义的整体构建。

师：同学们，这就奇怪了，[34]只是一个数啊，为什么可以找到那么多不同的整体来表示它？

生：因为它的意思就是把一个整体平均分为4份，表示这样的3份。

生：[34]就是把一个物体平均分成4份，取其中的3份。无论是什么东西都可以平均分成4份。

师：[34]可以用不同的整体表示，那换一个分数，[57]能不能也用不同的整体来表示？

生：把一个整体平均分成7份，取其中的5份，就是[57]。

师：[1320]呢？

生：把一个整体平均分成20份，取其中的13份，就是[1320]。

师：同学们，学到这儿，你能用自己的话来说说什么是分数吗？

生：把一个整体平均分成几份，取其中的几份，就是这个数的几分之几。

生：把一个整体平均分成n份，取其中的x份，就是分数的几分之几。

师：同学们，虽然他们的说法不同，但都抓到了分数的基本特征。数学家也是这么说的，一起来读一读。

生（读）：把一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份，可以用分数表示。

师：这里有一个词语，若干份，你觉得是什么意思？

生：x份。

生：多少份都可以。

师：是的，不管多少份都可以，这就是分数的意义。

（四）充分体验，借助推理，再认识“分数相对性”

分数的相对性包括：整体不同，相同分数所对应的具体数量不同;整体相同，不同分数所对应的具体数量不同;整体不同，不同分数所表示的数量却可能相同。这与整数表示数的多少有很大的区别，需要教师在教学中引导学生经历、体会、感受、领悟、总结，让学生学会有根有据地进行表达，充分认识分数的相对性，培养推理能力。

活动一：做一做

教师出示问题：“每人都从信封里拿出笔的[12]，拿出的笔的数量会一样多吗？”

（1）学生猜测，引发思考

学生猜测可能一样多，也可能不一样多，由此引发思考：真的是这样吗？

（2）合作学习，经历过程

猜想：每人从信封里拿出笔的数量           。

验证：①拿：信封里笔的[12]。

②猜：信封里放的笔的总数。

③讨论：大家的猜想对吗？理由是什么？

结论：我们组认为每人从信封里拿出笔的数量       ，因为                   。

（3）小组汇报，补充质疑（略）

（4）集体讨论，归纳总结

①都是拿出信封里的笔的[12]，为什么有些时候一样多，有些时候不一样多呢？

②信封里的笔的总数是整体量，拿出的笔的数量是部分量。整体量不一样多，相同的分数表示的部分量也不一样多。相反，如果部分量一样多，这个分数对应的整体量也一样。

本环节采用小组合作学习的方式，可操作性强。学生经历了完整的研究数学问题的过程，利用不完全归纳法得出结论，深刻体会分数的相对性，积累数学活动经验。

活动二：选一选

教师出示问题：“有一个整体，露出它的[25]是[]，这个整体是什么样子的？”

这是由部分量推断整体量，本题需要学生充分理解[25]的意思，深入分析部分量与整体量之间的关系，找出正确的答案。下面是学生的作品，充分展示了学生不同的思维过程。

生：第①幅图把原来的长方形平均分成5份，其中的2份和上面的长方形是一样的，是[25]。第③幅图和第①幅图一样，画的方法不同。

生：第②幅图是错的，因为它表示出5份，是题目中长方形的全部，这个全部并不表示一个整体，只表示[25]。

生：第④幅图也是对的，题目告诉我们露出它的[25]，是个长方形，它的整体应该是[55]，所以在它旁边再加个[25]，是[45]，[45]再加上[15]，那也就等于1，原来的一个整体。

生：第⑤幅图也是对的，因为它这里有5个小正方形，有3份没有涂颜色，有2份涂了颜色，也表示[25]。

本环节的学习活动有效地训练了学生的辨析能力和推理能力。同时也让学生充分体会到如果部分量确定了，整体量也确定了，形状可以不同。

活动三：辩一辩

教师出示问题：“在为抗击新冠肺炎举行的捐款活动中，奇思捐献了零花钱的[15]，妙想捐献了零花钱的[35]。妙想捐的钱一定比奇思多吗？”

脱离具象，从抽象概括的角度去理解分数的相对性是学生是否真正理解分数的意义的表现。在这里，整体量不确定，分数也不相同，部分量也无法确定。这对学生来说是一个挑战，就此引发他们的质疑、讨论，学生通过不断地探究，拓展了思考问题的角度，深刻体会到关键是看与[15]、[35]相对应的整体量，培养了数学思维的深刻性、灵活性。

数学概念的学习，需要学生经历概念的形成过程，通过外显性行为及语言，促进学生对概念的准确把握，进而理解概念的本质。这个过程，也是数学素养形成的过程。

参考文献：

[1]范文贵，郝翡翠.五年级学生对分数意义的理解[J].数学教育学报，2017（1）.

[2]何叶飘.深入概念本质   深化学生理解：“分数的再认识”磨课历程与思考[J].小学教学参考，2020（9）.

（浙江省衢州市衢江区教师进修学校   324022）浙江省衢州市衢江区第一小学 324022）