含多刚性约束的两自由度振动系统的动力学特性分析

王世俊，同长虹，罗冠炜

(1.兰州交通大学 机电工程学院，兰州 730070；2.兰州城市学院 培黎机械工程学院，兰州 730070；3.兰州交通大学 甘肃省轨道交通装备系统动力学与可靠性重点实验室，兰州 730070)

机械系统各个零部件之间、零部件与固定边界之间，由于生产安装的需要以及加工精度的限制不可避免地存在间隙与约束。间隙和约束的存在使机械系统在工作时会发生碰撞振动，从而导致机械系统的噪声水平加剧、零部件加速磨损。冲击振动动力学的研究对于具有冲击振动和运动限制约束的机械系统的动力学性能和噪声抑制的匹配设计具有实际意义。人们对揭示冲击振动动力学的基本性质并扩展其在实际机械系统中的应用表现出了浓厚的兴趣，这一领域的研究不断增加。Shaw等[1]研究了一类单自由度振动系统，发现系统中存在基本周期碰撞振动、亚谐碰撞振动以及混沌等复杂的动力学现象，并且讨论了擦边分岔可能导致的奇异性，使光滑动力学系统中所使用的一些研究方法无法直接应用于非光滑系统的分岔研究中。Nordmark[2]在含刚性约束正弦激励的单自由度振动系统中，应用定性分析的方法研究了由擦边分岔而产生的奇异点，发现控制单个参数变化时稳定的周期运动会发生擦边分岔而进入非周期运动，同时给出了系统发生擦边分岔的判定准则。在Nordmark开创性研究的基础上，关于擦边分岔奇异性的研究大量展开。Weger等[3]通过试验研究证实了一类含间隙-弹性约束系统Grazing分岔的存在性及其伴随涌现的部分行为特征。Humphries等[4]用不连续几何的观点研究了碰撞振动系统Grazing分岔和鞍结分岔的关联关系，揭示了Grazing分岔临界点邻域内鞍结分岔时而出现时而消失的原因。碰撞振动系统在低频区域表现出颤碰振动，受到了学者们的广泛关注[5-10]。Wagg研究了两自由度碰撞振动系统在低频条件下具有黏滞特性的完整颤碰振动，并利用数值分析解释了颤碰-黏滞解的“隆起”现象。

随着计算机运算性能的不断提升，许多学者在整个参数域范围内研究碰撞振动系统的动力学行为。Zhang等[11]针对一类具有正弦变化的中心载荷的黏性阻尼的浅拱系统，研究了其给定参数下的大量共存吸引子，并分析了其存在边界。文献[12-15]较为系统地研究了单自由度冲击振动系统在具有单侧或双侧约束时，在双参数平面上的动力学行为。李国芳等[16]研究了一类两自由度自驱动系统的运动特性，通过获得其在双参数域的平均驱动速度分布图，得到了系统参数选择的最佳范围。文献[17]和文献[18]分别研究了具有单侧刚性约束和双侧刚性约束的两自由度碰撞振动系统，定义了基本周期运动群p/1，通过多参数协同仿真，在双参数域平面研究了系统动态性能与参数之间的关联关系，并研究了系统非完整颤碰撞振动和完整颤碰撞振动的产生机理。随着碰撞振动系统的研究不断深入，其研究方法应用于许多工程实际。吕小红等[19]以小型振动冲击式打桩机为工程背景，研究了冲击钻进系统的各类周期振动在二维参数平面内的存在区域和分布规律，揭示了基本周期冲击振动p/1的分岔特点。Yan等[20-22]研究了切削系统中非线性动力学行为。高学军等[23-24]研究了车辆系统蛇行运动中轮轨冲击振动。伍新等[25]以振动落砂机系统为研究对象，研究了系统在双参数平面发生Neimark-Sacker分岔的区域，并以此为依据设计系统工作的概周期运动区间。石建飞等[26]研究了两自由度减振镗杆系统的安全盆侵蚀与分岔，以此指导减振镗杆的设计及参数优化。Zhai等[27]研究了三大件式货车系统的蛇行运动的横向稳定性，考虑了一系悬挂中轴箱与导框间隙、干摩擦等强非线性因素的影响。

在以往的研究中，研究的动力学模型主要为：具有单侧约束或双侧约束的单自由度冲击振动系统；仅与固定约束间存在间隙的或两质块间存在约束、间隙的两自由度冲击振动系统。针对两自由度冲击振动系统，并同时具有多处约束、间隙的研究较少，而多间隙、约束条件下系统的动力学特性更加能反映机械振动系统的实际工作状况。在研究方法上，以往的研究中主要借助单参数分岔图分析系统的动力学特性，这很难在整个参数域范围揭示系统的分岔特性、周期运动的模式类型和存在区域。考虑到实际的机械振动系统常常可以简化为两自由度、多间隙、约束的冲击振动系统，而双参数协同仿真能在整个参数域范围描述系统的动力学行为，从而为系统设计提供更为有效的理论指导。本文针对含多刚性约束的两自由度机械振动系统，采用多参数协同仿真的研究方法，分析了在激振频率和间隙值所组成的(ω,δ)-参数平面上基本周期碰撞振动、亚谐碰撞振动的存在区域和转迁规律，以及系统结构参数变化时对其的影响。

1 力学模型

图1 力学模型Fig.1 Mechanical model

引入无量纲时间和参数

(1)

得图1模型的无量纲运动方微分程

(2)

两质块与刚性约束面碰撞前后的瞬时速度为

(3)

两质块相互碰撞前后瞬时速度可根据动量守恒确定

(4)

对于碰撞振动系统，部分参数条件下质块Mi可能于某个运动时间区段内黏滞于刚性约束面处。图1模型是带有多刚性约束的振动系统，因此系统有可能在某运动时间区段内于多处刚性约束面呈现黏滞现象。由黏滞现象发生的条件可以分析出质块Mi在各刚性约束面的黏滞条件：

(5)

直至该合力改变方向，即F1(t)<0；

(6)

直至该合力改变方向，即F1(t)>0；

(7)

直至该合力改变方向，即F2(t)>0；

(8)

式中，N(t)为两质块间的相互作用力。

(9)

当N(t)>0，两质块黏滞在一起发生同步运动，直至其相互作用力消失，即N(t)=0。

部分无量纲参数的最大取值范围是可确定的，如μm∈(0,1)，μk∈(0,1)，μc∈(0,1)，f∈[0,1]，为分析系统的动态特性与参数的关联关系提供了便利。多约束诱发了振动系统复杂的动力学行为。以质块M1和约束A1的双侧碰撞、质块M2和约束A2的单侧碰撞、质块M1和质块M2在约束A12的相互碰撞来描述图1系统的周期碰撞振动的模式类型。对于约束A12和约束A2处的单边碰撞，采用符号p/n来描述系统在单边约束处的周期碰撞振动的模式类型；对于约束A1处的双边碰撞，采用符号n-r-q来描述系统于双边约束处的周期碰撞振动的模式类型，其中：n为系统的振动周期与激励力周期的比值(n=1,2,3,…)；p为在单边约束处的碰撞次数(p=0,1,2,3,…)；r和q分别为双边约束左侧和右侧碰撞次数(r,q=0,1,2,3,…)。对于n=1时，存在单侧碰撞和双侧碰撞的基本周期运动群p/1(p≥1)和1-r-q(r,q≥1)，而0/1和1-0-0分别向1/1和1-1-1(或1-0-1，1-1-0)转迁规律与p/1和1-r-q分别向(p+1)/1和1-(r+1)-(q+1)(或1-r-(q+1)，1-(r+1)-q)相类似，从而将0/1和1-0-0也纳入基本周期运动群。多参数仿真分析中为辨识描述各约束处的周期和碰撞的特征符号的值n，p，r和q，建立如下几种Poincaré截面

(10)

X(i+1)=f(X(i),μ)

(11)

2 系统碰撞振动模式类型和分岔特性

机械系统常发生构件与约束的碰撞振动，同时也存在构件间的碰撞振动。在图1模型中，可以将间隙分为两类，即两质块与固定约束之间的间隙δ1和δ3以及两质块之间的间隙δ2。考虑δ1和δ3取定值，δ2变化情况(记为δ2=δ)，选取参数μm=0.5，μk=0.5，μc=0.5，ζ=0.1，R=0.8，δ1=δ3=0.95为基准参数。激振频率ω和两质块之间的间隙δ作为分岔参数，通过多目标多参数协同仿真可以获得在(ω,δ)-参数平面上系统各类周期碰撞振动的发生域、相邻周期碰撞振动间的转迁规律以及分岔特性。在(ω,δ)-参数平面的二维参数图中，用不同深浅的颜色标记不同类型运动，并用p/n标识单边约束的碰撞振动，n-r-q标识双边约束的碰撞振动。图2中未标识的深灰色区域主要是模式类型为概周期和混沌的碰撞振动，以及未辨识周期碰撞振动(主要包括周期数或者碰撞次数过高且发生域极小的周期碰撞振动)。下文图中：Gr为Real Grazing实擦边分岔；Gb为Bare Grazing虚擦边分岔；PD为周期倍化分岔。

图2 不同激振力分配比f条件下，振动系统在(ω,δ)-参数平面内周期碰撞振动的模式类型和分布区域Fig.2 Pattern types and existence regions of periodic-impact motions of the vibration system in the (ω,δ)-parameter plane with different force distribution ratios f

参数f反映了激振力在质块M1和M2间的分配比例，f越小则M2上的激振力分配比例越小，首先分别考虑不同激振力分配比f=0.5，f=0.8，f=0时的三种工况。

当f=0.5时，即激振力平均分配于质块M1和M2。在图2(a)～图2(c)中，可观察到反映各约束处的周期碰撞振动在(ω,δ)-参数平面上的发生域和分岔特征。在约束A1处，如图2(a)所示，(ω,δ)-参数平面上质块M1于约束A1处主要呈现非碰撞振动1-0-0，仅在ω=1.0附近的带状区域，存在基本周期碰撞振动1-0-1，1-1-0，1-1-1 和1-2-1，在ω=1.0左侧较小激振力频率的带状域内质块M1呈现单侧碰撞振动1-0-1，随激振频率增大1-0-1振动转迁为1-1-1振动；在约束A2处，如图2(c)所示，基本周期碰撞振动1/1的带状发生域和约束A1处的基本周期碰撞振动(1-0-1，1-1-1和1-1-0)的总发生域基本一致；在约束A12处，如图2(b)所示，(ω,δ)-参数平面上除ω=1.0附近的小间隙参数域内存在2/1振动，其余参数域对应的振动类型基本上为无碰撞振动0/1。由于该模型中多约束和间隙的存在，质块不仅和固定约束之间存在碰撞振动，质块之间也存在相互碰撞振动，但在激振力平均分配于质块M1和M2工况下，系统于(ω,δ)-参数平面的较大参数域内呈现非碰撞周期振动，少量的基本周期碰撞振动主要发生于ω=1.0附近的带状区域。

图3 系统周期运动的相图，f=0.8，ω=1.1，δ=0.6Fig.3 Phase plane portraits of the system periodic motion,f=0.8，ω=1.1，δ=0.6

图4 系统的总体分岔图，f=0，δ=0.4Fig.4 Bifurcation diagrams of the system,f=0，δ=0.4

图5 系统完整颤碰振动的时间响应图，f=0，ω=0.05，δ=0.4Fig.5 Time series of complete chattering-impact motion,f=0，ω=0.05，δ=0.4

图7 基本周期振动及相关舌形域内的单参数分岔图Fig.7 Bifurcation diagrams of fundamental impact motions and related tongue-shaped regions

通过对舌形域(Ⅰ)和舌形域(Ⅱ)的研究，可以发现低频域内基本周期碰撞振动p/1向(p+1)/1转迁规律，此时的变化主要表现在振动周期与激励力周期的比值n=1不变，碰撞次数p随着ω的减小并伴随着Grazing分岔的发生而递增。如图6(e)所示的参数域中，可以观察到随着间隙值δ增大，碰撞次数p=1不变，周期数n逐次增加的亚谐振动区域，其参数域呈半环状层叠分布，并且随着周期数n的增加逐步收窄，为了方便起见，此处区域记为半环状域(Ⅰ)。相邻的半环状域1/n运动和1/(n+1)运动之间夹杂了复杂的亚谐碰撞振动。以1/1运动和1/2运动为例，其间夹杂的亚谐碰撞振动主要有：2/3，3/4，4/5，4/6，5/6，6/7，6/8运动。

图6 图2(h)的局部描述Fig.6 Partial description of figure 2(h)

3 系统参数对于系统周期碰撞振动模式类型和分布域的影响

系统无量纲化参数μm，μk，μc取值范围是(0,1)，在基准参数时的取值是0.5，这里可以在取值范围内选取具有代表性的值，研究系统结构参数对于系统周期碰撞振动模式类型和分布区域的影响。这里选择f=0的工况进行研究，该工况能够较好地反映低频域内，质块M1与约束A1，质块M1和质块M2于约束A12碰撞振动的模式类型，并表现出了较为丰富的低频动力学特性。此时的基准参数为：μm=0.5，μk=0.5，μc=0.5，ζ=0.1，R=0.8，δ1=0.95，f=0。这里主要考虑系统的阻尼系数ζ，质量分布比μm，刚度分布比μk分别选取不同参数值时对于振动系统在(ω,δ)-参数平面上碰撞振动模式类型和分布域的影响。

图8 不同阻尼系数ζ条件下，振动系统在(ω,δ)-参数平面内周期碰撞振动的模式类型和分布区域Fig.8 Pattern types and existence regions of periodic-impact motions of the vibration system in the (ω,δ)-parameter plane with different damping coefficient ζ

图9 系统单参数分岔图，ζ=0.2，δ=0.4Fig.9 Bifurcation diagrams of the system,ζ=0.2，δ=0.4

可见，振动系统随着阻尼系数ζ的增大，关联约束A1和约束A12的(ω,δ)-参数平面中基本周期碰撞振动的存在域增大，亚谐碰撞振动以及未识别的碰撞振动模式类型以及存在域减小；关联约束A12的(ω,δ)-参数平面中基本周期碰撞振动p/1的带状域隆起减小，相邻基本周期碰撞振动转迁过程中的舌形域减小。

动力学系统中，各构件的质量常常不相等，质量分布比μm作为重要的结构参数影响着系统的动力学行为。在μm∈(0,1)的参数范围，按照间隔Δμm=0.1等间隔取值，可以绘制不同μm下的(ω,δ)-参数平面上的双参数图，这里选取较小值μm=0.2和较大值μm=0.8与基准参数相比较。质量分布比越大，则质块M2在总质量(M1+M2)中所占的比值越大。当μm=0.2时，与约束A1关联的(ω,δ)-参数平面，如图10(a)所示，低频域内质块M1对于约束A1左侧的单边基本周期碰撞振动1-r-0其分布区域与基准参数μm=0.5时大致相同；在中等频率域，具有双边碰撞的基本周期运动1-1-1的存在域向较小间隙阈延伸，并且其间嵌入的亚谐碰撞振动显著减少(主要形式为2-2-2运动)，单侧碰撞振动1-1-0存在域减小；高频域内(ω,δ)-参数平面右侧大部分区域呈现为周期数n=1非碰撞振动1-0-0，夹杂了少量的无碰状运动2-0-0，3-0-0，4-0-0。关联约束A12的(ω,δ)-参数平面，如图10(b)所示，参数平面右上角区域主要呈现为无碰撞振动0/1，中等频率域主要呈现为基本周期碰撞振动，其间夹杂了少量的亚谐碰撞振动(主要为1/2，2/2，1/3)；低频域内基本周期碰撞振动p/1(p≥2)的带状域被黏滞运动参数域和未标识的深灰色区域切割，完整性遭到了破坏。约束A2处如图10(c)所示。当μm=0.8时，与约束A1关联的(ω,δ)-参数平面，如图10(d)所示，低频域内质块M1对于约束A1左侧的基本周期碰撞振动1-r-0(r≥2)存在域与基准参数时类似，中等频域内主要呈现为1-1-0运动，其间嵌入了大量的未识别灰色区域以及亚谐碰撞振动(主要为2-2-0，3-3-0运动)。与约束A12关联的(ω,δ)-参数平面，如图10(e)所示，低频域内黏滞运动的发生域收窄，基本周期碰撞振动p/1(p≥2)的带状域变宽，相邻基本周期碰撞振动间的舌形转迁域变得很小而不易观察；中频域内主要呈现为基本周期碰撞振动1/1，亚谐碰撞振动1/2，2/3，3/4，以及较多的未识别灰色区域。约束A2处如图10(f)所示。

图10 不同质量分配比μm条件下，振动系统在(ω,δ)-参数平面内周期碰撞振动的模式类型和分布区域Fig.10 Pattern types and existence regions of periodic-impact motions of the vibration system in the (ω,δ)-parameter plane with different mass ratios μm

可见，较小的质量分布比μm，使振动系统在关联各约束处的(ω,δ)-参数平面上基本周期碰撞振动存在域增大，亚谐碰撞振动和未识别的灰色区域急剧减小；较大的质量分布比μm使(ω,δ)-参数平面上基本周期碰撞振动的存在区域减小，同时嵌入较多的亚谐碰撞振动和包含概周期运动、混沌运动以及未识别运动的深灰色区域，使振动系统在关联各个约束的(ω,δ)-参数平面的运动模式类型更为复杂且不可预测。

约束刚度分布比μk表示质块M2固定于基座的刚度K2，在总刚度(K1+K2)中所占的比值，μk越大则表示刚度K2相较于刚度K1越大。在μk∈(0,1)的参数范围，按照间隔Δμk=0.1等间隔取值，选取较小值μk=0.2和较大值μk=0.8与基准参数相比较。当μk=0.2时，与约束A1关联的(ω,δ)-参数平面，如图11(a)所示，低频域内质块M1对于约束A1左侧的单边基本周期碰撞振动1-r-0(r≥2)以及黏滞运动的存在域向小间隙压缩而减小，特别是1-2-0运动的存在域相较于基准参数时显著减小，而双边基本周期碰撞振动1-2-1的存在域显著增加；在激振频率ω增大的方向上，依次主要呈现为基本周期碰撞振动1-1-1，1-1-0，亚谐碰撞振动2-2-2，2-2-1，6-5-2的带状域；在高频域小间隙范围嵌入了较大存在区域的深灰色区域，以及高周期数n的无碰撞振动(主要为2-0-0，3-0-0，4-0-0)。与约束A12关联的(ω,δ)-参数平面，如图11(b)所示，低频域内的基本周期碰撞振动p/1(p≥2)的带状域相较于基准参数时显著收窄，并且弓形的隆起几乎消失，相邻基本周期碰撞振动间的舌状域也随之减小；在中等频率域内，主要呈现为亚谐碰撞振动1/2，2/2，4/6，2/3，基本周期碰撞振动1/1的存在域减小；高频域小间隙范围，主要呈现为亚谐碰撞振动1/3，1/2，1/4，以及较大面积的灰色区域。约束A2处如图11(c)所示。当μk=0.8时，与约束A1关联的(ω,δ)-参数平面，如图11(d)所示，低频域内基本周期碰撞振动1-r-0(r≥2)的带状域中嵌入了大量的深灰色区域，双边基本周期碰撞振动1-2-1，1-1-1向较大间隙阈收缩使其存在区域急剧减小；中等频率内主要呈现为单边基本周期碰撞振动1-1-0，其间嵌入了少量的亚谐碰撞振动(主要为2-2-0)，以及深灰色区域；高频域范围主要呈现为无碰撞周期振动。与约束A12关联的(ω,δ)-参数平面，如图11(e)所示，低频域内基本周期碰撞振动p/1(p≥2)的带状域显著变宽，弓形隆起更为突出，相邻基本周期碰撞振动带状域之间夹杂的舌形域增大；中等频域内，基本周期运动1/1，1/2存在域内嵌入了较大面积的深灰色区域，以及少量的亚谐碰撞振动(主要为6/2，2/3)。约束A2处如图11(f)所示。

图11 不同约束刚度比μk条件下，振动系统在(ω,δ)-参数平面内周期碰撞振动的模式类型和分布区域Fig 11 Pattern types and existence regions of periodic-impact motions of the vibration system in the (ω,δ)-parameter plane with different constraint stiffness ratios μk

可见，较小的刚度分布比μk使振动系统在与约束A1关联的(ω,δ)-参数平面上低频域内双边基本周期碰撞振动存在域增大，中等频域内呈现较多的亚谐碰撞振动；与约束A12关联的(ω,δ)-参数平面上，低频域内，基本周期碰撞振动p/1(p≥2)带状域变窄、弓形隆起消失并且向低频域压缩。当刚度分布比μk较大时，与约束A1关联的(ω,δ)-参数平面上低频域内双边基本周期碰撞振动存在域减小并嵌入了较多的深灰色区域。与约束A12关联的(ω,δ)-参数平面上，基本周期碰撞振动p/1(p≥2)的带状域增宽、弓形隆起进一步加剧，相邻基本周期碰撞振动间的舌形域面积增大。

4 结 论

本文研究了含多刚性约束的两自由度碰撞振动系统，通过多目标、多参数协同仿真获得了关联各个约束的(ω,δ)-参数平面上周期碰撞振动的模式类型和分布区域。

(1) 当激振力分配比f取几种典型工况：f=0.5，f=0.8，f=0时，振动系统在与各约束关联的(ω,δ)-参数平面上周期碰撞振动呈现为不同的模式类型和分布区域。当f=0.5时，各个约束处主要呈现为无碰撞周期运动，仅在ω=1.0呈现简单的周期碰撞振动模式类型。当f=0.8时，低频域内，基本周期碰撞振动、非完整及完整颤冲击振动主要存在约束A12处，约束A1以及A2处无碰撞振动。当f=0时，关联约束A1和约束A12的(ω,δ)-参数平面上均呈现出了丰富的碰撞振动特性；约束A2处未发生碰撞；在约束A1处，低频域内主要呈现为碰撞发生于约束左侧的基本周期碰撞振动1-r-0(r≥2)，以及非完整和完整颤碰振动。关联约束A12的(ω,δ)-参数平面上，低频域内主要呈现为基本周期碰撞振动群p/1(p≥2)，非完整和完整颤碰振动。相邻基本周期碰撞振动p/1和(p+1)/1相互转迁的不可逆性诱发了相邻基本周期碰撞振动发生域间的奇异点、舌状域及带状迟滞转迁域。舌状域由上边界虚擦边分岔线Gb，下边界鞍结分岔线SN或可能存在的周期倍化分岔线PD围成，其中夹杂的亚谐碰撞振动的主要模式类型为：(np+1)/n(p=1,2,…;n=2,3,…)。

(2) 以f=0的工况为基准参数，研究了系统参数中阻尼系数ζ、质量分布比μm、刚度分布比μk对于系统周期碰撞振动模式类型、分布区域、转迁规律的影响。改变阻尼系数ζ对于系统基本周期碰撞振动的存在区域会产生显著影响。较小的阻尼系数使系统的缓冲减振特性减弱，低频域内，p/1(p≥2)带状域隆起加剧，舌状域面积增大，中高频域嵌入了较多的灰色区域。随着阻尼系数的增大，基本周期运动的存在域向较大间隙阈延伸，灰色区域显著减小，系统在较大参数域范围处于基本周期运动。相对较小或者较大的质量分布比μm都不利于系统处于基本周期运动。较小的质量分布比使p/1(p≥2)带状域严重变形，被不规则的灰色区域切割，导致成块状分布。较大的质量分布比使系统在中高频域嵌入了较多的灰色区域。改变约束刚度比μk对于系统的基本周期运动的分布区域和带状域形状具有较为显著的影响，但对于灰色域的存在区域和面积影响较小。当约束刚度比较小时，p/1(p≥2)运动带状域较窄，隆起较小，随着约束刚度比的增大，带状域变宽，隆起加剧。

含多间隙、约束的冲击振动系统广泛存在于各类动力学系统的研究中，如转子系统中可能发生转子与定子之间、转轴与轴承间的碰撞摩擦行为；三大件式结构货车系统中，当发生蛇行运动时，轮缘与轨道间存在间隙而可能发生的碰撞振动，一系悬挂中轴箱与导框间存在间隙也会导致碰撞振动。多间隙、约束会使碰撞振动相互叠加影响，使系统的动力学行为更加复杂。双参数协同仿真的研究方法，可以揭示周期性运动的发生域与结构参数之间的相关性，从而确定合理的参数匹配范围为实际的参数设计提供一定的理论指导。