实验探究二次函数实际问题中的最值

袁锦新

【摘要】利用实验探究分析二次函数实际问题中的最值题型，是初三数学二次函数中的常见题型，也是学生比较难理解的二次函数实际问题，在中考出现概率也比较大。本文对学生做这类题型时常见的错误进行分析，让学生进行实验探究，寻找出正确的解题方法。

【关键词】实验探究;二次函数实际问题;初中数学

在最近几年的广东省中考试题中，有关二次函数的性质与图像是必考的知识点之一。这么重要的一个知识点，恰好又是很多学生难以跨过去的一道题型。在每次的作业或测试中，学生在解二次函数实际问题的题型时，会出现很多错误。而班上出现这些错误的学生，也不在少数，得分率比较低。面对学生这种情况，身为数学教师的我们，都很想为学生做点什么，希望能帮助他们走进理想的高中。在这种思想的驱动下，笔者经常利用课余时间，把学生的错例放在一起分析且发现了相当一部分学生的错误都有很多相同的地方。笔者在课余时间里，与部分学生一起进行探究问题所在。此外，笔者也与其他教师交流，尝试带着学生一起进行实验探究，总结经验，一起寻找出正确的解题方法。

在二次函数实际问题的日常教学中，教师通常会选择典型例题，以二次函数性质作为切入点，详细讲解后让学生再尝试解一些相同类型的题目，加强相同题型的训练，看似相当不错，但题型有点变化，灵活一点点，学生的问题还是会出现在试卷上，还是没有达到预期的效果，学生还是没有很好地解决二次函数实际问题。在这个过程中不难发现，学生还有很大的提升空间。因此，要想帮助学生解决问题的关键，还是要通过实验探究，帮学生深度分析清楚问题的重点，理解二次函数实际问题，理清解题时的错误思路，掌握解决问题的真正方法。即使题型再变换，学生也能用正确的方法处理。有前面的错误作为标本，学生在实验探究的过程中，更能留下深刻的印象，在解题方法上更灵活多变。在初三的习题本或试卷里，经常有这样的一道题目，下面就让我们一起探讨分析学生在解这道题时通常出现的错误。

例：某农场主打算在一个足够大的农场里面养鸡，农场里面刚好有一堵长为24米的墙和总长度为120米的围栏，农场主现准备围成面积最大的矩形养殖场，那么农场主应该怎样设计这个养殖场呢？

当学生看到这道二次函数实际问题时，一定很开心，因为做过，但问题也会跟着来了，据分析，学生一般有下面几种解题错误方法：

案例一：如图1，设矩形养殖场的一边AB为x米，则BC为米，养殖场面积。所以，当x=60时，养殖场取得最大面积为1800平方米。

学生在解决这个问题时，没有注意到题目中给出的条件，围栏只有24米，也就是x大于0而小于或等于24，因而最后确定最大面积时，出状况了。

案例二：按照题目的要求，很容易发现自变量的取值范围是：x大于0而小于或等于24。所以求到函数解析式：，在这个范围里，根据二次函数性质，可以得到：当x=24时，得到养殖场最大面积为1152平方米。

从学生的答案上发现，他利用了二次函数的顶点式，根据二次函数的性质，又注意到了自变量x在实际情况下的取值范围，好像没什么问题，做得很好。但是，学生在小学学习了长方形和正方形，得知周长相等时，正方形的面积最大。所以在这个时候，笔者让学生拿出准备好的24厘米长的绳子，在课桌上，以课桌一边为墙，在桌面上，尝试摆一个面积最大的矩形出来。学生在实验中很快就可以得出，周长相的情况下，正方形面积最大。再回到案例二中，设计矩形养殖场ABCD时，墙DE的长为24米，设AB为x米，则BC为米。这样设计养殖场的最大面积与图1相比，谁更大？有了上面学生通过实验探究得到的结论，再细心分析这道二次函数实际问题的最值问题，提醒学生，自己再通过画图实验探究一下这道题。笔者相信，学生很快就可以发现案例二中错误的原因。

正确解答：根据题目的要求，养殖场是正方形时，面积才是最大的，图2的设计，x+（x-24）<120，得x<120，所以x∈[24，72）。养殖场面积S=x·（72-x）=-（x-36）2+1296，当x=36时，得到养殖场最大面积为1296平方米。

通过案例一，我们可以发现学生在处理二次函数最值问题时，还不错。但当遇到实际问题时，往往没注意到自变量的取值范围，对最值的影响。所以学生需要结合实际情况进行思考，最终确定自变量的值。在案例二中，题目中的图，误导了学生的思维方向，让学生脑里只有矩形，所以学生在解题时，对养殖场的概念也停留在一般矩形上，没注意到矩形和正方形周长相等时，正方形的面积最大这一结论，所以在进行设计养殖场时，只是设计成矩形，只考虑AB大于0米而小于或等于24米，在第二种的设计则考虑到实际问题中的实际情况，从而确定养殖场最大面积。通过实验探究，让学生从实际操作中，更好地理论二次函数实际问题的最值问题，让数学思维更形象，达到提高解决问题的能力的目的。

科学是人类知识积累的结果，而數学又是重要基础学科之一。不仅仅要让学生在学习数学中认识生活，还要让他们在生活中体会数学。加上中考也十分注重考查学生运用数学知识解决实际问题的意识和能力，如，在二次函数实际问题的题型上，不但要求学生对二次函数的性质、应用和知识点的掌握要好，还强调运用知识去解决问题的能力。因此，在日常教学中多设计小实验，让学生在快乐的探究中找到解决问题的方法，让学生在快乐中学习数学，从而提高学生学习数学的兴趣和积极性。在实际探究中，提高学生解决实际问题的各种能力，让学生注意到生活可以帮助他们解决数学上的问题，也让学生学习好数学，更好地服务于他们的生活。