浅析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用

孟庆云 王玉雷

【摘要】可逆矩阵是矩阵家族中最重要的一类.可逆矩阵由于其可逆的性质（可以在研究对象的一侧乘上可逆矩阵，并可以通过在同一侧继续乘上其逆矩阵而将其消去），使得可逆矩阵的作用来去自如，其应用灵活、有效.本文从作用的角度，以实例分析的方式解析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用，进一步解析矩阵实现线性变换的机理，从而帮助我们了解矩阵的运动变换属性.

【关键词】可逆矩阵;线性变换;作用;反作用

引 言

从矩阵的定义来看，矩阵是一个数表，是信息的载体，这体现的是矩阵的静态作用.然而更多的时候，矩阵是通过运算，特别是矩阵乘法运算实现其对研究对象的动态作用.我们以“榜样”这个词作为类比：当我们说张三是我们学习的榜样，那么这里“榜样”是一个名词，但其反映更多的是张三所起到的是能对我们产生积极影响的作用.可逆矩阵由于其可逆性，使得其成为刻画和描述可逆过程的得力工具.本文中，我们以实例分析的方式探析可逆矩阵的运动变换属性，从而拓展对可逆矩阵及其逆矩阵的理解与运用.

1 实例

通常，信息用二元域上的n维向量表示.在发送端，明文信息α经过加密矩阵K（n阶可逆方阵）的作用（K左乘α）得到密文信息β=Kα，这是加密的过程.加密过的信息β经过传输到达信息的接收端，还需要解密还原成明文信息才能被识别.这一过程需要解密矩阵X（即加密矩阵K的逆矩阵）的作用.具体为解密矩阵X左乘作用在密文β上，即Xβ=XKα=K-1Kα=α，

从而将明文信息α还原.

由此可看出：任意n阶可逆矩阵可充当加密矩阵对明文信息进行加密，而其逆矩阵则为解密矩阵，可将加密过的信息进行解密还原，两者所起到的作用是相反的.事实上，可逆矩阵在保密通信中有着深入广泛的应用.[1]

由此可看出：A左乘α的效果是将α逆时针旋转θ角，从而得到，如图2所示.由此，我们称A=cos θ-sin θsin θcos θ（其中θ為任意给定的角度）为逆时针旋转矩阵.

反之，注意到矩阵A可逆，且A-1=cos θsin θ-sin θcos θ.将A-1左乘继续作用在α上，可得A-1将顺时针旋转θ角变回α，如图3所示.即A-1为顺时针旋转矩阵，其能够将平面上过原点的向量作顺时针旋转.在此例中，我们看到旋转矩阵能使向量旋转的动态作用.

值得注意的是，例2中的旋转矩阵与例3中的沿线反射矩阵都是正交矩阵，这是一类特殊的可逆矩阵.这类矩阵所引起的变换称为正交变换，它们是保内积的变换，从而是保距也是保夹角的变换.因此，这类变换将一个图形变成与之全等的图形.

更多的图形变换如：缩放变换、平移变换均可由相应的矩阵来实现，并且这些变换是可逆变换，相应的矩阵也均是可逆矩阵.我们需要注意的是投影变换也可以由相应的矩阵来实现，只是投影变换不是可逆变换，相应的矩阵不再是可逆矩阵.[2]

2 理论基础

从以上几个例子可以看出：如若说可逆矩阵A提供一种作用，而A的逆矩阵提供的则是与A相反的一种反作用，且矩阵对向量的作用可通过矩阵左乘相应向量来实现.运用矩阵乘法结合律，对向量多个连续作用，可通过相应的多个矩阵的乘积来实现，从而使得可逆矩阵的应用灵活有效.

定理 对矩阵做一次初等行变换，其结果等于在原矩阵的左端乘上相应的初等矩阵;对矩阵做一次初等列变换，其结果等于在原矩阵的右端乘上相应的初等矩阵.

由于可逆矩阵是初等矩阵的乘积，因此对矩阵做初等变换就是通过可逆矩阵实现的.从这个理论层面，我们也可以理解矩阵的运动变换属性.

更广泛地，对于给定数域F上的n维线性空间V，记V上的所有线性变换构成的F上的线性空间为L（V）.在取定V的一组基下，我们知道：

这里，Fn为数域F上的n维向量空间，Mn（F）为F上所有n阶方阵构成的n2维线性空间.＼[3＼] 我们借助以上两个线性同构，再通过矩阵作用于向量的坐标，可以实现所有线性变换对线性空间的作用.比如：例2中的2阶旋转矩阵实现的是对2维向量空间中向量的旋转变换.由此，从动态的角度来看，矩阵的本质是作用、是运动、是变换.而其中可逆矩阵提供可逆变换.

特别地，将Mn（F）中的可逆矩阵拿出来，按矩阵的乘法构成一个群，称之为域F上的一般线性群，记为GLn（F）.对于一般的抽象群G，通过建立G到群GLn（F）的同态映射，则可以赋予抽象群G中每个元素一个作用，即其同态像也就是其所对应的矩阵的作用，从而使得G有更广泛、丰富的内涵，由此进一步研究抽象群G的性质与结构，这便是群的表示理论.

3 总结

本文通过几个例子从实用性和几何直观两个方面来说明和阐述可逆矩阵的动态作用以及其逆矩阵的反作用，并进一步解释可逆矩阵实现矩阵的初等变换以及矩阵实现向量的线性变换机理，从而帮助我们了解矩阵的作用、运动与变换的动态属性，最后，借助矩阵的动态作用，引出群表示理论的思想方法.

【参考文献】[1]熊小兵.可逆矩阵在保密通信中的应用＼[J＼].大学数学，2007，23（3）：108-112.

[2]王志俊，姜咏梅，田记.矩阵在图形学几何变换中的应用＼[J＼].高等数学研究，2014（1）：87-88，99.

[3]北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数（第三版）＼[M＼].北京：高等教育出版社，2003.