如何发展初中生的数学模型思想

王 茜 高 丽

（延安大学数学与计算机科学学院 陕西 延安 716000）

2011年版《义务教育数学课程标准》（以下简称“课标”）明确将“模型思想”作为核心概念提出，目的是使学生从现实生活或具体情境中抽象出数学模型，并在此过程中，体会数学与外部世界的联系，激发学生的主观能动性与求知欲。数学模型是从数学的角度用数学本质原理来解释社会现象、解决问题的方法；它体现了另一核心概念——应用意识，核心概念之间相辅相成[1]。那么，这些宏观战略层面的倡导和要求从哪里落实呢？主战场在每位教育者的日常工作中。如何发展初中生的模型思想，本文将从一线教学实践出发，以中考常见几何最值模型为例，思考教师如何组织引导学生的思维活动，生成最值模型思想，进而灵活解决同类变形问题。

一、相关概念

1.数学建模

数学建模，从问题解决的角度看，突出表现对原始问题的分析、假设、抽象的加工过程，数学工具、方法、模型的选择和使用过程，模型求解验证、在分析、修改假设、再求解的迭代过程，清晰地表现了学数学和用数学的关系[2]。课标指出：“问题情境—建立模型—求解验证。”在整个过程中建立模型对于学生的综合能力要求较高，要求学生能从生活中发现存在待解决的数学问题或是学习过程中遇到的各类情景题目，并且用专业的数学语言将数学问题表征出来，找到与问题最匹配的数学公式概念定理等，发现知识元之间的关联，试图建立存在的某种逻辑关系，初步形成数学模型。在这个过程中，不仅能够激发起学生的求知欲好奇心等主观能动性，还能落实课标中对于学生主体地位的目标，培养学生发现问题、解决问题的思维以及总结归纳的能力，模型思想，诸多方面都响应了课标的号召。

2.模型思想

课标明确指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。”[1]在初中阶段，平时教学中要渗透模型思想，组织引导学生建立模型的过程就是在教学生如何用数学的思维去看世界，去思考现实问题，这样反复训练，久而久之会带给学生缜密的逻辑思维和发现问题解决问题的能力；即使以后进入社会，知识可以忘掉，但这种数学思想是根深蒂固的，会影响学生处理问题的方式。

3.数学模型

数学模型是用数学概念和原理描述现实世界的，数学模型将数学世界与现实世界联系起来，是二者的桥梁，是根据事物的特征或者事物之间的逻辑关系采用标准化的数学语言概括表述出来的一种结构[3]。一个公式、定理、概念都可以看成是一个数学模型，但是在中学阶段，随着年级的增高，所学到的概念公式越来越多，并且抽象复杂，那么，在学生身上会出现一个问题：学的公式定理都认识甚至能默写出来，遇到简单的题会做，稍微有难度的题就不会做，不能举一反三。产生这些现象的原因是多种多样的，最重要的就是教师的教法不够全面系统，不能涵盖所有知识体系和题型框架，也没有渗透举一反三的思想，更没有将单个的知识元高度凝练成模型，自然就达不到1+1＞2的教学效果。

二、教学案例

以中考常见最值模型——胡不归问题模型为例说明，如何在教学过程中发展初中生的模型思想。类似的其他类型的常见模型就需要各位教师多搜集题型、多做题总结得出，这个过程是不断学习提升自我的过程，不仅对教师个人专业教学能力的发展有极大的促进作用，而且对学生的成绩、思维等综合能力提高也有很大的帮助。

1.问题起源

相传，历史上有一个小伙子，在身处异地时，收到了他父亲病危的消息，于是马不停蹄地往家赶，结果，当他来到他父亲面前时，他父亲刚刚去世。邻家告诉这位年轻人，他父亲生前不断念叨：“胡不归，胡不归……”，后来，人们就为这则故事起名胡不归问题。

以一个故事引入，极大地激发了学生求知欲，勾起了学生好奇心。使学生以自主探索为第一步，调动起了积极性，这已经成功了一半。作为一节课的导入部分，不需要开头就讲抽象的重难点，而是在两三分钟内迅速抓住学生的注意力和好奇心，调动学生的积极听课情绪。而由于学生的身心还处于不成熟阶段，采用有趣的故事和生活情景引入课题，这种铺垫效果非常好。教师不仅要有渊博的知识，还要懂得教育管理，这就需要教师在平日里对学生的行为特征、心理活动进行摸索，清晰了解每位学生的心理状态、学生的家庭因素、成长环境，和学生多沟通，解除他们的烦恼，这样学生才会慢慢地信任你，愿意接受你的引导，才有可能实现师生之间的心理相容，你所传授的知识才有可能被学生吸取，才有可能成就双方。因此在模型教学时，一定要让每个课题的引入部分足够精彩。

2.实际情境数学化

A地为小伙工作地，B地为老父亲所在的地方，AC为古代驿道（此道路易走，行走速度快v1），AB所在的一侧为沙路（走路时容易陷进去，行走速度慢v2）。古代数学家们为小伙用图形模拟出来路径，想帮他求出最短的用时。在AC驿道上有一点D，可以先走一段驿道AC节省时间，再走一段沙路CB抵达家中，那么，点D该怎么找才能使行驶时间最短呢？

引导学生发现生活中存在的数学问题，并思考这些问题能否用数学的思维找到解决的办法，引导学生独立生成图形模型，并且培养学生用数学语言表征问题的能力。学生可以从实际问题分析中得出有效的条件，初步画出图像，用数学思维将整个情景再现出来，初步建立模型。

3.建立模型

已知v1，v2（v1＞v2），AB，求解t最小值。

假设时间为（v2＞v1），v1和v2是已知的，只需要使AD与DB和最小，涉及两条不在同一直线的线段长。应想到：转换为同一线段时，满足两点之间线段最短来求值。那么，怎么转化呢？转化谁呢？因此，延长BD到点E，想办法将AD转化到DE边上，便成了一条直线。那么，怎么将AD转化到DE直线上呢？想到构造三角函数，于是，第一步，提出系数较小的值，括号里构造一个分数 ；第二步，化出三角函数sin∠DAE；第三步，通过三角函数将AD边转化到DE边上，出现DE；第四步，得出求时间最小值即需求线段BE的最小值，因为此处v1是固定值。那么，问题来了，三角函数是哪来的？第五步，做辅助线，首先能确定用到的字母是D、A、E，所以应该是在三角形DAE中，既然出现了三角函数，说明需要∠E是直角，因此要构造出直角三角形DAE，即延长BD到E，过点A做BD的垂线交于E。所以，胡不归问题的核心是通过构建直角三角形和通过三角函数转化边的问题，难点是怎么做出辅助线，构造直角三角形。

上述整个思路过程都是建立在教师先让学生思考的基础上，再加以引导而不是直接告诉学生需要思考的点。比如，第一步，可以反过来问学生为什么要提出一个系数较小的值而不是系数较大的值？是因为这一步要为后面构造出三角函数做准备，而我们这知道三角函数的取值范围是大于0小于1的，所以构造出来的速度比必须是一个真分数才可以；第二步可以反过来问学生：为什么这里用到的是正弦值而不是余弦值？因为这里想将AD线段的长度转化到DE边上，涉及的是AD和DE的关系；第三步，反过来问学生：为什么要出现DE，而不是AE？因为现在在找点B到AE的最短距离，换成AE就不行；第四步可以问学生：为什么BE就是要求的最小值？引导学生回答，点到直线AE的距离垂线段最短，恰好就等于BE的最小值，也就是要求的最短时间；第五步，可以问学生：构造出直角三角形后就可以解决这道题了吗？此时，直线BE与驿道AC的交点D就是要求的点，因此，小伙可以先沿驿道AC以速度v2走到点D处，再沿DB以速度v1走到家中，这条路径要比直接沿直线AB到家中用时短，小伙可以见到他父亲最后一面。这一步骤容易被很多教师一带而过，讲完了就会认为学生全部掌握，也就不会提问了，而这部分恰恰是当堂检验学生听课效果和效率的关键，应该被重视；否则学生糊弄过关，教师也相当于白讲。

这个过程涉及了对原始问题进行分析、假设、抽象的步骤，按照这个思维，引导学生建立认知，再提出问题矛盾点打破重建。让学生讨论自行得出并表示已知条件和求解，锻炼学生的发现和归纳抽取的能力，并且有假设表示的思想，分为五步，将题目拆分，也是在给学生搭台阶，最后引出辅助线是怎么做出来的，为什么这样做。后面可以多加几道同类型变形的习题进行巩固，锻炼学生举一反三的能力。变形题目可以与二次函数结合起来也可以与几何题目结合，形成综合性“两定一动”最值类型。

综上所述，在课标的倡导下，初中数学课堂应该多渗透这样的模型；高度的数学模型不仅能够将课内学的独立零散的公式定理概念用一个模型串联起来，还可以二次巩固知识。这种中考常见的模型有很多，教师在课堂教学中要多渗透，引导学生发现问题、抽取条件，选用相近知识建立模型。学生反复建立模型，会给学生的大脑潜意识播种数学模型思想，响应了课程标准的要求，也符合中考的命题方向，这种培养模式对教师和学生都大有裨益。在教学中，教师要做一个善于研究的教育家，多从各种教辅资料中挖掘总结出有利于学生吸收的知识，要对课本进行二次加工，而不仅仅只是咀嚼传授简单的课本知识或者照本宣科。本文所说的数学模型也不仅仅是简单的定理公式之类，而是结合历年中考常见题型、参考较多教辅资料、高度总结出的数学模型。学生学习建立这种模型，了解背后原理后，可以在平时学习或考试中提高对模型的辨识度。学得简单，用得灵活，这种教学思想有效地解决了部分学生公式定理记住了却不会做题的问题。

教师要在日常教学中不断发展学生的模型思想，做到以下几点：第一，善于研究、勤于学习、勤于做题。只有教师有一桶水，才能给学生一滴水，教师要不断更新自己的知识，重构知识体系、教学方式方法，以收到良好的教育效果。第二，研究各种各样的教辅资料，向有经验的前辈请教，构建自己的知识体系和模型专题；结合学生实际，形成学生喜闻乐见的讲课风格。第三，通过一个模型专题的实际情境，抽象形成数学模型，在这个过程中给学生渗透模型思想。第四，要求学生进行反问思考，并当场验收听课效果，而不是讲完就过去了，以免学生还没完全接受吸收。勤思考、多钻研、多提问，才能培养出善于思考动脑的、有独立思想的学生。