关于角平分线与高的夹角模型的深入探讨

高德文

[摘  要] 三角形的角平分线与高的夹角模型有着极高的研究价值，总结模型、解析方法，生成模型突破策略，可提升学生的解题能力. 文章以常见问题为例，引出几何模型并立足基本性质，论证模型结论，同时在考查视角下进行综合探究，开展教学探讨.

[关键词] 角平分线;高线;模型;结论;性质;拓展

问题引出

问题  如图1所示，在△ABC中，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线. 已知∠B=50°，∠C=60°，则∠DAE=____°.

解析  问题中给定了三角形的高和角平分线，以及部分角的度数，求其所构成的角的度数，可充分利用三角形内角和定理及角平分线定理进行推导.

在△ABC中，已知∠B=50°，∠C=60°，则∠BAC=70°. 又知AE是△ABC的角平分线，则∠EAC=∠BAC=35°;AD是△ABC的高，则∠ADC=90°，所以在△ADC中，可得∠DAC=30°. 所以∠DAE=∠EAC-∠DAC=35°-30°=5°.

思考  上述问题中，角平分线定理、三角形内角和定理是问题突破的关键，对于∠DAE，可将其視为角平分线（AE）与高（AD）的夹角;关注另外的两角（∠B=50°，∠C=60°），显然它们之间有如下角度关系：∠DAE=. 由该角度关系猜想如下：三角形一个顶角的平分线与底边上的高的夹角，与另外两角之间存在着一个恒定的数量关系.

教学探究

三角形的角平分线（在此指线段）和高是其重要的线段，对应的性质定理在几何中也有着广泛的应用. 实际上，两条线段之间的夹角与三角形另外两角之间存在着一定的规律，具体内容如下.

定理  三角形同一顶点引出的角平分线与高的夹角等于三角形另外两角之差的绝对值的一半. 以图1为例，可表述为∠DAE=.

实际教学中，建议采用信息描述、角度分析、过程探究的方式，引导学生充分思考，逐步剖析，具体如下.

信息描述：已知△ABC中，AD是底边BC上的高，AE是∠BAC的平分线.

角度分析：∠DAE是三角形角平分线与高的夹角，思考该角可用哪些角来表示，主要有如下几种表示方法.

①∠DAE=

∠BAD-∠BAE

（角的和、差关系）;

②∠DAE=90°-∠AED（直角三角形两锐角互余或外角性质）;

③∠DAE=

∠AEC-∠ADE

（三角形的外角性质）.

过程探究：探究过程应立足已知条件，充分结合几何定理进行角度代换、关系推导.

AE平分∠BAC→∠BAE=∠BAC（角平分线的定义）;AD是底边BC上的高→∠ADB=90°（三角形高的定义）→∠BAD=90°-∠B（直角三角形两锐角互余）.

因为∠BAC=180°-∠B-∠C（三角形内角和定理），则∠BAE=（180°-∠B-∠C）（等量代换）.

综上，∠DAE=

∠BAE-∠BAD

=

（180°-∠B-∠C）-（90°-∠B）=.

总结  三角形的角平分线与高之间的性质定理是对角度关系的探究总结，其本质是关于三角形角平分线性质和三角形内角和定理的综合构建. 图形特征也较为明显，以三角形的同一顶点出发引出角平分线和高，提炼图形特征可形成相应的几何模型，有利于后续的应用探究. 而在实际应用时建议分步突破：①审题，建模型;②引定理，理思路;③代换，推关系.

角平分线与高的夹角模型在几何中十分常见，充分利用其结论可简化解题过程，高效构建思路. 而几何中的问题类型也较为多样，包括常见的角度关系题，以及其他以探究形式呈现的几何题，下面对其进行综合探究.

1. 角度关系题

例1  在图2所示的△ABC中，已知AD是∠BAC的平分线，点G是AD上的动点，且GH⊥AD，与BC的延长线相交于点H，试回答下列问题.

（1）若∠B=30°，∠BAC=40°，求∠H的度数;

（2）当点G在AD上运动时，探究∠H，∠B，∠ACB之间的数量关系，并说明理由.

解析  （1）利用三角形的外角性质和角平分线的定义可得∠ADH的度数，再结合直角三角形两锐角互余的性质即可求∠H的度数.

已知AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠BAC=×40°=20°，所以∠ADH= ∠B+∠BAD=50°. 又GH⊥AD，所以∠H=90°-∠ADH=40°.

（2）该问针对的是点G位置的一般化，但解析思路与第（1）问是相同的，即从已知出发，结合定理推导即可.

已知AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠BAC，所以∠ADH=∠B+∠BAD= ∠B+∠BAC. 又GH⊥AD，所以∠H=90°-∠ADH=90°-（∠B+∠BAC）. 由三角形内角和定理可得∠B+∠BAC+∠ACB=180°，所以∠B+∠BAC+∠ACB=90°，故∠H=∠B+∠BAC+∠ACB-（∠B+∠BAC），即∠H=（∠ACB-∠B）.

评析  本题基于特殊到一般思想命制，首先探究特殊情形中角平分线与高的夹角的大小，然后引入动点，探究一般情形中角度关系的规律. 整个问题充分围绕模型及角度关系而构建，虽然解法思路较为简洁，但具有一定的代表性.

2. 几何探究题

例2  角平分线与高的夹角模型在几何中十分常用，模型中存在一些角度关系，下面深度探究.

感知  如图3所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=40°，∠C=70°，求∠DAE的度数.

探究  如图4所示，在△ABC中，若将“感知”中的“AE⊥BC”变为“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其他条件不变，试求∠DFE的度数.

拓展  如图5所示，若将“感知”中的△ABC变为四边形ABEF，再将“AE⊥BC”变为“EA平分∠BEC”，其他条件不变，猜想∠DAE的度数是否会发生变化，请证明你的结论.

解析  在“感知”环节，问题基于三角形角平分线与高的夹角模型命制，利用角平分线性质和内角和定理即可直接推知∠DAE=15°.

在“探究”环节，将点F设定于DA的延长线上，探究过程与“感知”环节的问题相似，直接推知∠ADE=75°，又知FE⊥BC，则∠FEB=90°，从而∠DFE=90°-∠ADE=15°.

在“拓展”环节，问题将三角形变更为四边形，并将垂直关系变为角平分关系，实际上，其探究思路同样可参考上述两问. 已知EA平分∠BEC，则∠AEB=∠AEC，所以∠C+∠CAE=∠B+∠BAE. 结合角度关系可得∠C+∠CAD-∠DAE=∠B+∠BAD+∠DAE. 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，进而可得2∠DAE=∠C-∠B=30°，所以∠DAE=15°. ∠DAE的度数依然不变.

评析  本综合题属于角平分线与高的夹角模型的变式拓展题，实则依然是对三角形内角和定理和角平分线性质的综合运用. “感知”环节的问题是对模型的深入感知，旨在总结解析思路;“探究”环节的问题破除了传统模型，但依然存在角平分关系和垂直关系，难点在于串联两个三角形的角度关系;“拓展”环节的问题构建了一般的四边形，问题解析可采用图形割补策略，将角度关系放置在三角形中，依托三角形开展关系推导.

教学思考

上述基于三角形的角平分线和高的夹角模型开展了教学探讨，论证了角度关系，并结合实例探讨了命题思路. 在实际教学中，建议参考上述探究过程，帮助学生总结模型，构建解题思路，全面提升学生的解题能力. 下面对此提出几点建议：

（1）关注模型特征，挖掘核心知识. 角平分线与高的夹角模型是初中几何的重点模型，深入探究模型对于后续几何问题的突破有一定帮助. 而在模型探究中，需要注重两点：一是关注模型的特征，二是挖掘模型的核心知识. 其中角平分线与高的夹角模型是构建其他模型的基础，对应的角平分线性质和三角形内角和定理是探究的核心. 教学中要引导学生充分理解问题，掌握几何与文字语言的对照关系，提升学生的模型提取、图像阅读能力.

（2）注重探究体验，充分验证定理.模型教学应注重学生的探究体验，强化学习知识定理的重要性，培养学生的逻辑思维. 建议探究时采用设问引导、互动交流的方式，结合具体问题引导学生思考. 在定理归纳环节倡导“从定理中来，到问题中去”，即充分利用教材中的定理来证明问题、论证结论，帮助学生形成“论证有理，推理有据”的意识.

（3）模型综合拓展，提升综合素養.几何模型在解题中有广泛的应用，实际考查侧重两个方向：一是依托模型开展应用探究，二是基于模型进行拓展探究. 尤其对于拓展性极强的几何模型，中考常以其为基础开展综合几何探究题的构建，通过知识融合、关系设定综合考查学生的知识应用和拓展探究能力. 通常拓展性问题的突破思路是一致的，教学中要引导学生总结解决问题的知识与方法，形成模型问题的突破策略. 同时合理渗透数学思想或方法，尤其是模型思想、数形结合思想、类比思想等，利用模型教学提升学生的核心素养.

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