关于带记忆的线性热弹性板方程解的衰减

米小平， 蒲志林， 赵夕雅

（四川师范大学 数学科学学院，四川成都610066）

1 预备知识

设Ω⊂R2是一个具有光滑边界∂Ω的区域，考虑如下的Kirchhoff热弹性薄板方程

其中，x∈Ω，t∈R+＝（0，∞）.

根据方程的物理背景，考虑如下边界条件

及初始数据

其中，c≥0，函数u0，v0，ϑ0：Ω→R和ψ：Ω×R+→R是给定的函数，未知函数u表示板的垂直位移，而ϑ表示平衡参考值的温度变化场.为简便起见，把所有其他物理常数设为1.实际上，在文献［1-2］最早提出的原始模型中，c＞0.Fabrizio等［3］考虑了c＝0的情况.

已广泛研究热传导方程中没有记忆效应的线性热弹性板［4］.在热通量的傅立叶定律被Gurtin-Pipkin定律取代后，就产生了出现在第一个方程中的卷积项.Giorgi等［1］考虑了解的衰减问题.本文在对记忆核进行非常弱的假设下，根据Hilbert空间上的c0半群，并利用抽象半群理论［4］，证明指数稳定性.与我们的模型相比，主要区别是第二个方程中存在一个耗散项，这是因为除了热通量之外，热功率还依赖ϑ的过去历史.

2 记号和假设

设H是Hilbert空间，分别用〈·，·〉H和‖·‖H表示H上的内积和范数，当H＝L2（Ω）时省略下标，固定c≥0.给出定义在L2（Ω）上的正定算子A＝-Δ和B＝cI-Δ，定义域D（A）＝D（B）＝对r∈R，引入Hilbert空间Hr＝D（Ar／2），赋予通常的内积显然，当r1＞r2时为紧嵌入，它在Hr上与〈Br／2·，Br／2·〉为等价内积.

令μ（s）＝-κ′（s），μ（s）满足以下条件：

注意（7）式意味着μ不等于零.令σ∞＝sup｛s｜μ（s）＞0｝，也可能σ∞＝∞，对于每一个σ＜σ∞，通过（4）-（6）式存在一个集合Oσ⊂（σ，σ∞）具有正的Lebesgue测度，使得

通过（4）和（5）式，对于r∈R，给出加权Hilbert空间

在M1中引入线性算子T：

这里ηs是η关于s的偏导数，算子T是C0压缩半群的无穷小的生成元，特别有

最后定义Hilbert空间

为了后文的需要，对空间Mr的紧致性做一个简单的介绍.对η∈M1，引入尾部函数

3 抽象线性系统解的衰减性质

设S（t）＝etL为Banach空间（H，‖·‖）上的一个线性C0半群，其中L是其无穷小生成元.现在为‖S（t）z0‖→0当t→∞时提供一个简单的充分条件.

定义3.1［5］称满足以下2个条件的S（t）为线性梯度系统：

如果S（t）为一个线性梯度系统，那么它必然是一个C0收缩半群.而且线性梯度系统并不是对所有的初始数据都衰减到零.

定理3.2设z0∈H，S（t）为一个线性梯度系统.若集合在H中相对紧，则

证明令由于集合Bt是非空的、紧的、连通的和嵌套的，则是ω一极限集ω（z0）.因而，是非空的、紧的且连通的.选取任意的ζ0∈ω（z0），则存在tn→∞使得S（tn）z0→ζ0.由（i）可知，若存在，则对所有的ζ0∈ω（z0），又ω（z0）是不变的，因此

通过（ii）可得ω（z0）＝｛0｝，从而S（t）z0收敛到0.

推论3.3设S（t）为一个线性梯度系统，˜z0∈X，其中X是H的稠密子集.则对于所有的z0∈H，当t→∞时S（t）z0→0.

证明给出z0∈H.对于∀ε＞0，存在˜z0∈X，使得此外存在tε≥0，使得

因此

4 解半群与解的衰减

根据文献［6］的思想，引入一个额外变量，即ϑ的过去历史总和，定义为形式上满足方程ηt+ηs＝ϑ，s∈Ω，（t，s）∈R+×R+，及边界条件和初始条件

线性算子L定义为

定义域为

由Lumer-Phillips定理［11］可得到，系统（10）在相空间H0上定义C0线性收缩半群S（t）＝etL.由（6）式可知

明确表示I-L将D（L）映射到H0.

系统（10）是通过分部积分得到的，实际上等同于最初始的问题，此外，解的分量有明确的表示公式：

定理4.1S（t）是H0上的线性梯度系统.

证明如果存在z0∈H0和任意的t≥0，使得‖S（t）z0‖H0＝‖z0‖H0成立，根据（9）式发现

任取σ＜σ∞.由于上述方程和（8）式是等价的，对于任意的t≥0，ηt≡0在Oσ上几乎处处成立.根据（12）式，对于任意的t≥0，ϑ（t）≡0（注意s和ϑ是无关的）.根据（13）式有

但这意味着η0≡0几乎处处成立，至少应该在区间（0，σ）上.根据σ的任意性的确可以得知η0≡0几乎处处成立.

引理4.2［7］设C⊂M1满足：

则C在M1中相对紧.

证明系统（10）具有足够的耗散性，可以使得任何轨迹衰减到零，在μ具有较弱的衰减性条件下.

定理4.3假设条件（4）-（7）式满足，如果存在δ＞0，使得

证明固定z0∈D（L）∩H1，用C＝C（z0）≥0来表示一个一般的常数.特别地，对于∀t≥0，有z（t）＝S（t）z0∈D（L），将由下列步骤完成定理的证明.

第一步

事实上，在H0上引入对角算子˜B＝BIH0.根据（10）式和˜Bz可得

根据（9）式可得

第二步

本研究采用综合心理护理方法，在以人为本护理理念指导下，充分了解患者需求和存在的问题，为其提供心理护理，干预人员与患者建立互信平等的朋友关系，为实施心理护理奠定基础。

事实上，根据（13）式可得

利用（16）和（7）式可得

而且由于（6）式可得

根据以上2个结论，可得第三步.

第三步

定义

很明显

由第一步结论和（7）式可得

因此，当t1＝t1（M1）≥1时，

则当x→∞时，J0（x）→0.

根据（13）式和Young不等式可得

可知当x→∞时，J∞（x）→0.