线性多智能体系统的一致性

景 丽

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

0 引 言

多智能体系统是当今控制领域研究的一个热点,因其在无人飞行器、机器人系统、传感器网络、微电网控制系统等领域具有广泛的应用前景而受到国内外学者的广泛关注[1]。多智能体系统是指一群自主的个体通过相互作用而形成的系统[2]。单个的智能体具有自我控制能力,可以与其他智能体进行通信;智能体之间能够相互协调配合,共同完成任务。这样的系统在自然界中也是广泛存在的,如鱼群、鸟群等,多智能体系统的思想也是源于自然界这些现象而产生的。

协同一致性是多智能体系统研究首先要解决的关键问题,其含义是多智能体系统在分布式控制器的协同作用下其状态量趋于相同。多智能体系统协同一致性问题是无人飞行器编队控制、卫星姿态协同控制、电网协同控制的基础[3-6],目前该问题的相关研究已取得一定的成果。

早期主要研究一阶、二阶多智能体系统的一致性,目前已就高阶多智能体系统的一致性展开研究。由于多智能体系统的一致性与其拓扑结构有关,所以人们研究了有向图、无向图多智能体系统一致性和具有切换拓扑结构的多智能体系统的一致性。学者们在研究一致性问题时还从多智能体系统构成角度考虑了系统有无领航者情形。对于具体问题,多智能体系统的渐近一致性、有限时间一致性、固定时间一致性都陆续得到研究。关于饱和受限问题、干扰问题、时滞问题等在研究时也得到考虑。除上述研究外,如何使多智能体系统尽快实现一致性,如何节约通信资源等问题也受到学者们的关注。文献[7]对二阶多智能体系统的一致性算法展开研究,提出了基于二层邻居信息的一致性算法、非线性算法;文献[8-10]研究了固定时间、事件触发的一致性控制问题。

本文分析了一种被文献广泛使用的控制器[11-12],其设计思想如下:采用分布式控制策略;单个智能体的控制器设计主要考虑该智能体与其邻接智能体状态差值、与系统领航者状态差值,由这2种因素决定控制器。如果考虑使多智能体系统尽快实现一致性且节约通信资源等,就应该改进这种控制器,因为当某智能体与领航者有通信且可获得其状态信息时,该智能体可直接跟踪领航者的轨迹,不必考虑邻接智能体的状态信息。鉴于此,本文提出了一种新的一致性控制算法,研究多智能体系统在该算法作用下的一致性问题。针对一般线性多智能体系统、执行器饱和受限多智能体系统分别提出系统达到状态一致应满足的充分条件,并运用Lyapunov稳定性理论加以证明。数值仿真显示新控制器是有效的。

1 问题描述

多智能体系统由跟随智能体及领航智能体构成,设跟随智能体系统动态具有如下形式:

(1)

领航智能体的动态为

(2)

其中:状态向量x0,xi∈n;系统矩阵A,B是适维矩阵;N表示跟随智能体的数目。

多智能体系统的一致性通常采用分布式控制器控制实现,控制器如下[11]:

(3)

其中:(aij)N×N是多智能体系统的邻接矩阵;如果跟随智能体i为领航智能体的邻接智能体,那么bi=1,否则bi=0.

本文为系统(1)和(2)设计的分布式控制器如下:

(4)

其中

本文提出系统(1)和(2)在控制器(4)作用下实现状态一致应满足的充分条件,并采用Lyapunov稳定性理论,同时结合图论和矩阵论知识进行相应证明,还研究了当存在执行器饱和时多智能体系统的一致性问题。

假设[13]多智能体系统的通讯拓扑结构中都包含一棵有向生成树。

引理1[14]扇形区域法:由波波夫(Popov)准则和圆判据,引入无记忆状态反馈控制器,比较典型的状态反馈控制器为

u(t)=2kx(t)

并令η(t)=sat(u(t))-kx(t)=sat(2kx(t))-kx(t),则

其中:符号⊗表示矩阵的克罗内克积;L为多智能体系统拓扑结构的Laplacian矩阵。

2 主要结果

2.1 一般线性多智能体系统的一致性

本部分研究系统(1)和(2)在控制器(4)作用下是否能达到状态一致的问题。

定理1 考虑系统(1)和(2)及控制器(4)构成的闭环系统,如果存在对称矩阵P>0,矩阵Q满足线性矩阵不等式:

(5)

证明 首先将所有智能体的控制器(4)写成一个矩阵形式:

u={[diag(1-f1,1-f2,…,1-fN)L+F]⊗I}e

其中ei=xi-x0;e=(e1,e2,…,eN)T。进一步,由于

(6)

其次由式(1)和式(2)可以得到多智能体系统的误差系统:

(7)

设系统的Lyapunov函数为V=eT(I⊗P)e,则

将Q=KP-1代入式(5),式(5)可以写为

上述不等式左右两端分别乘以I⊗P,得到

2.2 一阶线性多智能体系统的一致性

使用图论知识进一步可以得到原系统的误差系统:

(8)

其中F的含义同(2.1)部分,A=diag(a,a,…,a)。

定理2 考虑系统(8)和(4)构成的闭环系统,如果存在对称矩阵P>0满足线性矩阵不等式:

(9)

证明 类似定理2.1,过程略。

2.3 饱和多智能体系统的一致性

对于实际的多智能体系统而言,常会遇到执行器饱和问题。本部分研究当执行器出现饱和时,多智能体系统的一致性问题。

设多智能体系统动态:

(10)

其中sat(u)是标准饱和函数[15]。

领航智能体动态仍为式(2),单个智能体系统(11)的控制器为式(4),于是可以得到误差系统:

(11)

其中控制器u如式(6)。根据引理1处理饱和函数,使用LMI鲁棒控制技术等可以得到系统(11)达到一致所需满足的充分条件,即定理3。

定理3 考虑系统(11)和(4)构成的闭环系统,如果存在对称矩阵P>0,矩阵Q=KP-1满足线性矩阵不等式:

(12)

其中

则多智能体系统状态能达到一致。

设Lyapunov函数V=eT(I⊗P)e,求函数V对t的导数,在计算过程中使用LMI鲁棒控制技术可以得到

根据Schur补引理,式(13)成立,当且仅当

3 结 论

本文研究线性多智能体系统的一致性问题,提出了新的分布式控制策略,给出多智能体系统达到状态一致所需满足的充分条件,并依据Lyapunov稳定性理论、图论和矩阵论知识加以证明。仿真结果显示文中所给出的控制器设计方案是有效的,与控制器(3)控制效果对比,本文的控制器能较快地使系统达到状态一致。