小学数学运算规则学习的样例—问题匹配形式

林洪新，王云鹏，郑淑杰

小学数学运算规则学习的样例—问题匹配形式

林洪新，王云鹏，郑淑杰

（鲁东大学 教育科学学院，山东 烟台 264011）

为考察小学生在学习不同难度数学运算规则时采用哪种样例—问题匹配形式效果最佳，设计与开发出样例—问题交替式、问题—样例交替式、样例—问题分块式与样例—问题互动式4种形式，并对237名三年级小学生进行研究．结果表明：在低难度数学运算规则上，各种样例—问题匹配形式下小学生的学习成绩没有显著差异；在高难度数学运算规则上，样例—问题互动式下小学生的学习成绩最高，样例—问题交替式与问题—样例交替式下的学习成绩次之，样例—问题分块式下的学习成绩最低．这表明与其它样例—问题匹配形式相比，小学生学习高难度数学运算规则时采用样例—问题互动式效果最佳．

数学运算规则；样例—问题匹配；样例；小学生

1 问题提出

样例与问题是数学知识学习的主要形式[1–2]．样例（worked–example）是为学习者提供问题解决方案的例题[3]．有效的样例能够促进学习者对新知识的理解、掌握和应用，但这种学习形式也存在不足之处，主要表现为样例只为学习者呈现思考的结果，不向学习者提供如何思考问题的充分信息，这可能会导致学习者只对样例进行简单地观察模仿，缺少对知识习得过程的深入思考[4]．问题解决形式由于提供的支持信息少，导致学习者的知识习得效率较低，但问题往往能够激发他们的积极思考，促进他们对知识的自我解释[5]．基于样例与问题各自的优点与不足，研究者们提出了样例—问题匹配（example–problem pairs）的学习形式并对其学习效果进行相关研究．

Sweller和Cooper最早对样例—问题匹配形式进行研究，他们比较样例—问题匹配与问题—练习匹配两种形式下九年级学生的代数方程学习效果，结果发现，与问题—练习形式相比，样例—问题匹配形式下学生的学习与测验时间更短，迁移测验成绩更高[6]．Trafton和Reiser将样例与问题的匹配形式分为样例—问题交替式和样例—问题分块式两种．样例—问题交替式指先呈现一个样例，然后呈现一个问题，样例与问题交替呈现，直至所有样例与问题呈现完毕；样例—问题分块式指先呈现所有样例，再呈现所有问题．结果发现，与样例—问题分块式相比，样例—问题交替式下被试的解题时间更短，迁移成绩更高[7]．Reisslein和Atkinson等人进一步提出了问题—样例交替式，即先呈现一个问题，再呈现一个样例，问题与样例交替呈现，直至所有问题与样例呈现完毕．他们以物理学中的串联和并联电路问题为实验材料，研究发现，在近迁移测验上，知识经验少的被试在样例—问题交替式下的成绩显著好于问题—样例交替式下的成绩，知识经验多的学生在问题—样例交替式下的成绩显著好于样例—问题交替式下的成绩；在远迁移测验上，样例—问题匹配形式对学生的成绩没有显著影响[8]．Kester和Pass在研究中设计了4种学习形式：样例形式、样例—问题交替式、问题—样例交替式和问题解决形式．结果表明，样例—问题交替式与问题—样例交替式的学习效果要显著好于问题解决和样例形式[9]．Najar和Mitrovic在智能教学系统（intelligent tutoring systems）中比较了样例—问题交替式、样例形式和问题解决形式下学生的学习效果，结果表明，与样例形式和问题解决形式相比，学生能够从样例—问题交替式中学会更多的知识[10]．

综上所述，以往关于样例—问题匹配形式的研究主要集中于样例—问题匹配的形式、有效性与影响因素．样例—问题的匹配形式包括样例—问题分块式、样例—问题交替式与问题—样例交替式；与样例学习形式和问题解决形式相比，Kester和Pass，Najar和Mitrovic研究发现样例—问题匹配形式在知识习得中具有一定的优势；Reisslein和Atkinson等人研究发现，样例—问题匹配形式的学习效果受知识经验的影响．虽然以往已进行了一些研究，但关于各种样例—问题匹配形式的学习效果仍存在不完全一致之处，而样例—问题匹配形式仍有进一步改进之处．例如，Reisslein和Atkinson等人研究发现，被试在样例—问题交替式与问题—交替式下的学习效果差异显著，而Kester和Pass的研究结果则发现被试在样例—问题交替式与问题—样例交替式下的学习效果没有显著差异．分析其原因，Reisslein和Atkinson等人采用的实验材料为基本电路中电阻的计算原理问题，而Kester和Pass采用的实验材料是电路障碍排除任务．两个实验的实验材料不一样，难度存在差异，这可能是导致实验结果不一致的原因．另一方面，以往设计的样例—问题匹配形式均事先确定好样例与问题的呈现顺序，未能发挥学习者的主动性，充分调动学习者的积极性．研究可以设计计算机程序，根据学习者的样例与问题学习效果决定样例与问题的呈现顺序（互动式），调动学习者的积极性．因此，研究目的是开发出新的样例—问题匹配形式，即样例—问题互动式，同时考察样例—问题匹配形式对小学生不同难度数学运算规则学习的影响．研究假设是：小学生在学习不同难度数学运算规则时，采用不同样例—问题匹配形式，其学习效果不同．

2 研究方法

2.1 被试

在烟台市某小学随机选取被试272人，然后将被试随机分配到低难度运算规则学习组与高难度运算规则学习组．通过不同的“筛选被试题”确定符合学习低难度与高难度运算规则的三年级小学生各132人，将两组被试分别随机分配到样例—问题分块式组、样例—问题交替式组、问题—样例交替式组与样例—问题互动式组，每小组33人．由于在实验过程中少量被试不符合要求，在数据统计分析中剔除该部分被试，最终实验被试人数为237人，其中男生122人，女生115人，平均年龄为8.76．具体说来，在低难度运算规则学习上，样例—问题分块式组29人，样例—问题交替式组29人，问题—样例交替式组28人，样例—问题互动式组31人；在高难度运算规则学习上，样例—问题分块式、样例—问题交替式、问题—样例交替式与样例—问题互动式组各30人．

2.2 实验设计

实验采用4（样例—问题匹配形式）×2（规则难度）两因素被试间实验设计．样例—问题匹配形式有4种：样例—问题分块式、样例—问题交替式、问题—样例交替式与样例—问题互动式．研究设计了3个样例与3个问题，样例—问题分块式的呈现顺序是样例1、样例2、样例3、问题1、问题2、问题3；样例—问题交替式的呈现顺序是样例1、问题1、样例2、问题2、样例3、问题3；问题—样例交替式的呈现顺序是问题1、样例1、问题2、样例2、问题3、样例3；样例—问题互动式首先向被试呈现一个样例，然后根据被试的反应决定呈现样例还是问题，被试如果看不懂样例则继续呈现样例，被试如果看懂样例则呈现问题，如果被试答对问题则继续呈现问题，如果被试答错问题则继续呈现样例，直至所有样例与问题呈现完毕，样例—问题互动式的呈现顺序如图1所示．规则难度包括低难度数学运算规则和高难度数学运算规则两种：低难度数学运算规则为小数竖式加法运算规则，高难度数学运算规则为小数均数算法运算规则．实验的因变量为被试的数学测验成绩．

图1 基于结果反馈的样例—问题互动式示意图

2.3 实验材料

实验材料包括筛选被试题、样例学习材料与测验题．筛选被试题包括小数竖式加法筛选被试题和小数均数算法筛选被试题．小数竖式加法筛选被试题由两个整数加法题与两个小数加法题组成；小数均数算法筛选被试题由两个整数除法题和两个小数平均数计算题组成，两种筛选被试题分别在A4纸上呈现．样例学习材料包括小数竖式加法样例与问题各3个，小数均数算法样例与问题各3个，样例是列出每步计算步骤的例题，问题是不呈现任何解题步骤的数学题．测验题由4个小数竖式加法练习题和4个小数均数算法练习题组成．样例学习材料与测验题采用E-Prime软件在计算机上依次呈现．

2.4 实验程序

实验程序包括筛选被试阶段与学习阶段．筛选被试阶段主要是选取适合实验的正式被试，实验按班级进行．在低难度数学运算规则上，给小学生呈现小数竖式加法筛选被试题，只有正确计算出整数加法但却不会小数竖式加法的学生才能成为正式实验的被试；在高难度数学运算规则上，给小学生呈现小数均数算法筛选被试题，只有正确计算出整数除法题但却不会小数均数算法题的小学生才能成为实验的正式被试．正式实验在小学的智能教室分小组进行，每小组6~7人，实验时间为25分钟，程序如下．

样例学习阶段：通过计算机向样例—问题分块式、样例—问题交替式、问题—样例交替式与样例—问题互动式组被试呈现不同形式的低难度或高难度数学运算规则学习材料，指导语是：“同学，你好！我们现在开始进行小数竖式加法（或小数均数算法）的学习，本阶段学习包括3个例题和3个问题，请学习例题并思考问题（或思考问题并学习例题）．一个例题或问题的呈现时间为两分钟，如果两分钟之内你学会了，可以直接按‘Q’键进入下一题，如果两分钟你还没有学会，系统会自动跳到下一题，如果你听懂指导语并准备好了，请点击‘Q’键开始学习．”

测验阶段：系统向每位被试呈现4个测验题，主试向被试发放答题纸，指导语是：“同学，根据刚才所学习的例题与问题，在答题纸上计算这4道题，时间为10分钟，如果你准备好了，请按‘Q’键开始计算．”

实验收集各组被试的数学测验成绩．数学测验题的评分标准如下：每道题满分2分，计算步骤与结果均不正确记0分，计算步骤正确结果不正确记1分，直接给出正确计算结果记1分，计算步骤和结果均正确记2分．

3 结果

3.1 两种数学运算规则的难度差异比较

小学生在低难度数学运算规则（小数竖式加法）与高难度数学运算规则（小数平均数算法）上的测验成绩列于表1．

表1 不同难度数学运算规则的测验成绩

为考察小学生在两种数学运算规则学习上是否存在难度差异，以规则难度为自变量，以测验成绩为因变量进行独立样本检验，结果显示，小学生在高难度数学运算规则上的测验成绩显著低于低难度数学运算规则上的测验成绩，(235)=17.71，<0.001．这表明对于三年级小学生来说，小数平均数算法规则的难度显著高于小数竖式加法规则．

3.2 样例—问题匹配形式对小学生学习不同难度数学运算规则成绩的影响

将不同样例—问题匹配形式下小学生学习不同难度数学运算规则的测验成绩列于表2．

表2 不同样例—问题匹配形式与规则难度下小学生的 测验成绩

为了考察样例—问题匹配形式对小学生学习不同难度数学运算规则成绩的影响，以样例—问题匹配形式与规则难度为自变量，以小学生的测验成绩为因变量进行两因素方差分析．结果显示，规则难度的主效应显著，(1, 229)=527.24，<0.001，η²=0.649；样例—问题匹配形式的主效应显著，(3, 170)=7.91，<0.001，η²=0.077．规则难度和样例—问题匹配形式的交互作用显著，(3, 170)=6.26，<0.001，η²=0.076．简单效应分析结果显示，在低难度数学运算规则上，4种样例—问题匹配形式下被试的测验成绩没有显著差异（>0.05）；在高难度数学运算规则上，样例—问题互动式下被试的测验成绩显著好于样例—问题交替式（<0.05）、问题—样例交替式（<0.001）与样例—问题分块式下的成绩（<0.001），样例—问题交替式形式下被试的测验成绩显著好于样例—问题分块式下的成绩（=0.001），其它各种形式下被试的测验成绩没有显著差异（>0.05），具体见图2．

图2 不同样例—问题匹配形式和规则难度下被试测验成绩

4 讨论

4.1 规则难度对小学生数学学习效果的影响

实验结果显示规则难度对小学生数学学习效果有影响．具体说来，高难度数学运算规则上小学生的学习成绩要差于低难度数学运算规则上的学习成绩．学习者已有知识经验与任务复杂性均是影响数学学习效果的主要因素[11–12]．这是因为低难度数学运算规则中包含的新知识点与问题解决技能较少，小学生可以从长时记忆中找到与当前新内容相关的已有知识，从而能够快速理解当前任务，并能将新知识纳入旧知识的图式中，因此，低难度数学运算规则的学习效果较好；而高难度数学运算规则中包含的新知识点与问题解决技能较多，由于长时记忆中关于新知识的已有相关知识较少，学生在理解当前任务时比较困难，因此，高难度数学运算规则的学习效果较差．

4.2 样例—问题匹配形式对小学生数学运算规则学习效果影响

以往关于样例—问题匹配的研究主要集中于二者的呈现顺序．该研究开发出样例—问题互动式，并设计了样例—问题分块式、样例—问题交替式与问题—样例交替式3种传统样例—问题匹配形式．实验结果显示，在低难度数学运算规则上，各种样例—问题匹配形式下小学生的数学学习成绩没有显著差异．这可能是因为低难度任务中包含的问题解决技能较少，4种匹配形式中样例提供的支持性信息足以让学生理解与记住这些知识，因此，各种匹配形式之间没有显著差异．

在高难度数学运算规则上，样例—问题互动式下小学生的学习成绩显著好于样例—问题交替式、问题—样例交替式与样例—问题分块式．分析其原因，在样例—问题互动式下，系统根据学习者是否看懂样例或是否做出问题，决定后面即将呈现样例还是问题．与其它匹配形式相比，这是一种基于学习者学习效果的样例—问题匹配形式，这种形式包含了互动与反馈过程，互动过程可以增加学习者的主动性，反馈过程可以让学习者对学习过程有了更准确的了解与理解，因此，样例—问题互动式下小学生的学习效果最好．

在高难度数学运算规则上，样例—问题交替式下小学生学习成绩显著好于样例—问题分块式．这与Trafton和Reiser的研究结果一致[7]．在学习解决数学等领域中的新问题时，由于学习者没有掌握相应的问题解决技能，同时也没有掌握解决这类问题所需要的知识，因此，他们往往采用非常简单的“复制与适应”（copy-and-adapt）问题解决策略，就是模仿“样例”去解决“问题”[13]．样例—问题交替式就是不断地模仿“样例”去解决“问题”，而样例—问题分块式集中呈现样例与问题，减少了模仿“样例”解决“问题”的频次，因此，前者的学习效果要好于后者．在高难度数学运算规则上，样例—问题交替式与问题—样例交替式下小学生的学习成绩没有显著差异，这与Kester和Pass的研究结果一致[9]，与Reisslein和Atkinson等人的研究结果存在部分不一致．Reisslein和Atkinson等人研究发现在近迁移测验上，知识经验少的被试在样例—问题交替式下的测验成绩更高，知识经验多的学生在问题—样例交替式下的测验成绩更高；在远迁移测验中，两种交替式下的测验成绩没有差异[8]．Reisslein和Atkinson等人的研究主要考察电路电阻任务的学习．学习材料不同，样例—问题匹配形式的学习效果不同[14–15]．Kester和Pass指出高难度学习与测验会导致样例—问题交替式与问题—样例交替式之间的差异减小．当前研究中所采用的高难度数学运算规则为小数均数算法，其中涉及小数加法、除法与均数3个运算规则，其难度可能过高，从而导致两种交替式下的学习成绩没有显著差异；Reisslein和Atkinson等人的研究发现两种交替形式在近迁移测验中表现出成绩差异，这可能是因为测验任务的难度适中，在远迁移测验中没有显著成绩差异可能是因为任务难度过高[16–23]．

4.3 研究意义与教学建议

研究意义主要体现在以下两点：一是，已往样例—问题匹配形式主要包括样例—问题分块式、样例—问题交替式与问题—样例交替式3种，研究开发出样例—问题互动式，丰富了样例—问题匹配形式．二是，在高难度数学运算规则学习上，样例—问题互动式的效果要好于已往的3种样例—问题匹配形式，这为高难度数学运算规则的学习找到了新的样例—匹配形式．

根据实验结果，在运用样例与问题进行数学运算规则教学实践中应注意以下两个设计问题：第一，根据知识的难度确定样例—问题匹配形式．当学习简单的数学知识时，采用各种样例—问题匹配形式，学生均可以学会数学运算规则，当学习较难的数学知识时，采用样例—问题互动式往往会带来最佳的学习效果．第二，根据学生的学习情况确定样例与问题的呈现顺序．样例—问题的呈现顺序要根据学习者对样例与问题的理解与解决情况确定，如果学习者能够看懂样例则呈现问题让其解决，如果学习者看不懂样例应继续呈现样例让其学习．也就是说，在呈现样例与问题时尽可能提高学生的主体地位，并在他们需要的时候给予及时反馈．

4.4 研究不足与未来研究方向

研究的不足主要体现在：首先，研究仅考察了小学生在“小数竖式加法”与“小数均数算法”两种数学运算规则上的样例—问题匹配形式，其它难度与形式数学内容的样例—问题匹配形式还需要进一步验证；其次，研究开发与设计的样例—问题互动式提高了小学生在样例与问题呈现顺序上的自主性，但这种互动还不够深入．基于以上两点不足，未来关于样例—问题匹配形式的研究一方面要扩展数学研究内容，另一方面要深入挖掘互动形式，增加深层互动．

5 结论

（1）在低难度数学运算规则上，样例—问题匹配形式对小学生数学学习效果没有显著影响．

（2）在高难度数学运算规则上，样例—问题互动式下小学生数学学习成绩显著好于样例—问题交替式、问题—样例交替式与样例—问题分块式，样例—问题交替式下小学生的数学成绩显著好于样例—问题分块式．

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The Impact of Example–Problem Pair Forms on Elementary Students’ Learning of Mathematical Operations

LIN Hong-xin, WANG Yun-peng, ZHENG Shu-jie

(School of Education Science, Ludong University, Shangdong Yantai 264011, China)

In order to explore the kind of forms with example-problem pair is the best for students to learn mathematical operations with different difficulty levels, we designed and developed example-problem alternation, problem-example alternation, example-problem block, and example-problem interaction in a study of 237 third-grade pupils. The results revealed that: For the low-difficulty mathematical operations, there were no significant differences in the learning performances among the four example-problem pair forms; for the high-difficulty mathematical operational rule, the performances for the example-problem interaction form were better than those of the example-problem alternation form and problem-example alternation form, and performances for the example-problem block form were the worst. This shows that, compared to the other three example-problem pair forms, the example-problem interaction form was the best way for pupils to learn the high-difficulty mathematical operational rules.

mathematical operations; example–problem pairs; worked example; elementary students

G622

A

1004–9894（2021）01–0074–05

林洪新，王云鹏，郑淑杰．小学数学运算规则学习的样例—问题匹配形式[J]．数学教育学报，2021，30（1）：74-78．

2020–10–29

教育部人文社会科学青年基金项目——解释法对小学生数学运算样例学习成绩与认知负荷的影响（15YJC190011）

林洪新（1980—），女，满族，辽宁鞍山人，副教授，博士，主要从事数学学习与认知研究．

[责任编校：周学智、张楠]