“中国”“新加坡”“英国”教材中分数除法学习路径的比较研究

巩子坤，靳培英，李硕鑫，卢子苓

“中国”“新加坡”“英国”教材中分数除法学习路径的比较研究

巩子坤1，靳培英1，2，李硕鑫3，卢子苓4

（1．杭州师范大学 经亨颐教师教育学院，浙江 杭州 311121；2．育才实验小学，浙江 杭州 311121；3．摄山星城小学，江苏 南京 210046；4．滕州市龙泉街道安居小学，山东 枣庄 277500）

以中国人教版小学数学教材、英国SMP版小数数学教材和新加坡MC版小学数学教材为研究对象，比较了3国教材中分数除法的学习路径．结果表明：3国均按照“分数除以整数→整数除以分数→分数除以分数”的顺序来安排学习任务；分数除以整数的任务均采用了等分除的模型，整数除以分数、分数除以分数（国内统称为一个数除以分数）的任务大都采用了包含除模型；任务的表征方式既有直观表征，也有抽象表征．新加坡教材中的学习路径所包含的任务最详细，其推进过程可谓小坡度、慢步走；中国教材的学习路径所包含的任务最简略，其推进过程可谓大跨度、快步跑；英国教材的学习任务最为抽象．最后基于分析，重构了分数除法的学习路径．

分数除法；学习路径；教材比较；除法模型；表征

1 问题提出

假想学习路径HLT（hypothetical learning trajectory）首先由Simon在1995年提出[8]．Clements与Sarama在Simon的基础上，提出了学习路径的概念：学习路径就是对学生学习某一具体数学知识时思维与学习过程的描述，以及一个相关的、设想的路径，这个路径就是一系列的学习任务[9]．设计（创设）这些教学任务的目的是激发学生心理活动的过程或者行动，促进学生思维水平的发展与提升，达成学习目标．

教材是教与学的重要载体，对教学起着重要的指导作用．研究表明：课程与学生学习成就有正向关系[10]；学习机会绝大部分取决于教师在课堂教学过程中所使用的教材[11]．教材的编写能否提供最有利于学生理解的学习路径至关重要．这里试图从比较研究的视角分析中国、英国、新加坡小学数学教材中呈现的分数除法学习路径．基于比较分析，提出较为完善的有利于学生理解分数除法算理的学习路径．

2 研究对象与研究方法

2.1 研究对象

基于影响力与使用范围的广泛程度，研究者选取了人民教育出版社发行的小学《义务教育课程标准实验教科书·数学》[12]（以下简称人教版）教材、新加坡Marshall Cavendish出版的[13]（以下简称MC版）教材、英国Cambridge University 出版的[14]（以下简称SMP版）教材作为研究对象．这些教材都是中国、新加坡和英国所广泛使用的教材．

2.2 研究方法

学习路径就是为了达成教学目标而设计的任务序列，这些任务之间具有一定的逻辑递进关系，这些任务是指向教学目标的[6]．教材中设计的活动或者例子序列，呈现的就是一个学习路径．因此，这里只对教材中的正文部分呈现的学习路径进行分析和比较，不涉及后面所附的练习和习题部分．主要从任务系列、模型、表征以及情境这4个维度进行分析．

2.2.1 任务系列

这事实上涉及分数除法的类型．分数除法按照被除数和除数是整数还是分数可细分为以下3种类型：分数除以整数、整数除以分数与分数除以分数．其中分数除以整数的类型又包括分数除以整数（分数的分子能够被除数整除），单位分数除以整数，分数除以整数（分数的分子不能够被除数整除）．整数除以分数、分数除以分数（国内统称为一个数除以分数），包括整数除以单位分数，整数除以分数，单位分数除以分数，分数除以分数．

2.2.2 模型

2.2.3 表征

表征指的是说明算理的表示方式，包括以下4类表征方式，即程序表征、直观表征、抽象表征、形式表征[4]．这4种表征方式的含义如表1[4]．

表1 分数除法的表征类型

2.2.4 情境

世界经济合作与发展组织（OECD）在国际性学生评价项目PISA中把情境按照与学生生活的远近分成个人情境、职业情境、社会情境以及科学情境4种类型[16]．在此基础上，结合文章的需要，增加一个无情境类型作为情境分析框架．各种情境的具体内涵如表2．

表2 情境含义

3 结果与分析

3.1 教材中学习路径呈现

通过对3国教材中分数除法部分的分析，归纳出教材所呈现的分数除法学习路径（表3、表4、表5）．

表3 中国人教版教材呈现的分数除法学习路径

表4 新加坡MC版教材呈现的分数除法学习路径

表5 英国SMP版教材呈现的分数除法学习路径

3.2 学习路径相同之处

通过比较发现，人教版、MC版、SMP版数学教材中的学习路径在任务系列、模型、表征、情境方面有相同之处，具体如下．

3.2.1 任务系列

从表3、表4、表5可以看出，分数除法在3国教材中的任务序列基本相同：分数除以整数→整数除以分数→分数除以分数．各国设计的学习任务难度都是螺旋上升的，基本上都是由单位分数除法开始，过渡到可约分的分数除法，最后再到不可约分的分数除法，体现出任务设计的层次性．

3.2.2 模型

分数除以整数，大都使用了除法的等分除模型；整数除以分数，分数除以分数，大都使用了除法的包含除模型．等分除与包含除是由同一个“平均分物”数学模型所产生的，地位平等[16]．从除法的意义进行分析，等分除和包含除，乃是同一个情境里的两类互相依存的除法问题，可以说二者是一对“孪生兄弟”，彼此密切相关[16]．一个数除以分数，新加坡教材与英国教材多是包含除模型，人教版教材中的任务3、任务4运用了混合模型．

3.2.3 表征

3国教材的分数除法大都用了直观表征、抽象表征，进而过渡到程序表征．形式化表征则均未出现．在直观图的表示上，大都使用了矩形图，其中人教版还使用了线段图，MC版还使用了扇形图．也就是说，除了中国教材外，新加坡、英国教材均使用二维面积模型来表征．

3.2.4 情境

中国教材与新加坡教材设置的任务情境大都是个人生活情境，如均分蛋糕、西瓜、纸张等，教材中设计的每一个学习任务均赋予了实际意义，有着现实的问题情境．学生可以借助这样的现实情境，用不同的表征方式来理解算理、推导算法，并尽可能实现算理的贯通．英国教材设置的任务只有纯粹的数学问题表述，属于无情境，也就是纯数学情境．3国教材设置的任务情境均没有涉及社会情境和科学情境．

3.3 各国教材呈现的学习路径的特点

3.3.1 人教版教材：包含除界定不清晰任务推进速度快

（1）注重概括归纳、总结规律．

与其它两个国家的教材相比较，人教版教材提供的分数除法学习路径比较注重培养学生的归纳概括能力，如任务后面均呈现这样的语句“根据上面的折纸实验和算式你能发现什么规律？”“通过例2、例3的计算，你发现了什么？”，这点明显区别于其它两国．

（2）包含除界定不清晰．

人教版教材在一个数除以分数部分运用了混合模型，包含除的形象并不清晰，这给直观表征算理带来了不便．

（3）学习任务推进速度较快，增加了教材难度．

人教版教材中所呈现的分数除法学习路径最短，仅用4个任务就完成了由分数除以整数到分数除以分数整个内容的学习，教材所用篇幅也较少，任务与任务之间的梯度较大，任务1到任务2之间缺乏一个平滑过渡、承上启下的任务，教材难度较大．

（4）一个数除以分数的任务，结果都是整数．

人教版教材还有一个很大的问题，即整数除以分数、一个数除以分数这两个任务，所得到的结果均是整数，计算结果极其特殊，不具有一般性．加之这个混合模型的直观图也并非真正的直观图，线段图也具有很大的局限性（不能够一眼看出结果），包含除的形象也不清晰．史宁中先生一再强调：好的结论往往不是先“证出来”的，而是“看出来”的．“看出来”是一种直觉．因而，需要对教材中数字的选取进行改进．

3.3.2 MC版教材：“等分除”“包含除合理运用”任务推进速度缓慢

（1）合理运用等分除、包含除模型．

从对学习路径模型的分析来看，分数除以整数，使用了等分除模型；整数除以分数以及分数除以分数，使用了包含除模型．对于等分除与包含除这一对“孪生兄弟”，并非厚此薄彼，偏爱一个．

（2）学习任务推进速度缓慢，任务具有同构性．

MC版教材中设计的学习路径逻辑层次分明，层层渐进地引导学生理解分数除法的算理，逐步提高学生的抽象思维能力．教材提供了大量的篇幅讲解一个数除以分数，设置了较多同构性质的任务，每一个学习任务仅在上一个学习任务的基础上提升一小步，目的是帮助学生逐步理解算理，突破难点．如任务4、任务5、任务6，虽然任务的情境不同，但是，其中的表征方式是一样的、算理是一样的、法则也是一样的．这些任务之间并不是简单重复，而是对分数除法算理的渐次逼近．它们如登山的阶梯一样，让攀登者逐步接近山顶，逐步接近算理的真相．

（3）注重“单位”的应用．

“分数单位”与“自然数单位”“小数单位”一样，是一个比较重要的概念，但在教学中却容易被忽视．学生经常问老师“两个分数相除，为什么要用被除数乘以除数的倒数”，若老师讲不清楚，学生就只能死记硬背[17-18]，不能促进学生对算理的理解．MC版教材以分数单位作为攀爬的垫脚石，通过直观图，引导学生从“分数单位”的意义上去理解“除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数”这一算理，以期逐步达到登顶的效果，如任务1、任务4、任务7．这一点值得大家好好学习．

（4）任务呈现的“不完整性”．

MC版教材中大部分例题有完整的解答过程，但在个别的例题中只呈现了部分解答过程，需要学生自己动手补充完整方框中缺失的数据．所以，MC版教材更能促进学生的思考，进而掌握算理．

3.3.3 SMP教材：抛弃问题情境更加抽象

（1）“无情境”任务成为主流．

（2）多种方式表征算理．

虽然没有实际的问题情境，但是SMP版教材通过直观图表征从除法的意义、分数的意义以及分数乘法的意义解释了“除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数”这一算理，如任务1，把其对算理的解释过程整理如图1．这是对算理的抽象表征，这种表征方式与人教版教材的表征方式是一致的．而MC版教材没有出现这种表征方式．

图1 SMP教材中对分数除法算理的解释说明

4 分数除法学习路径：建议与重构

因为各国的国情、数学教育理念、教育的传统乃至教材编者对数学知识的认识和定位都是不同的，所以各国教材具有不同的特点，出现差异也是很自然的．应该吸取各国教材设计的学习路径优点，寻求一条最优的分数除法学习路径．

4.1 建议

学习路径设计的重点是：设计层次递进的学习任务，实现算理的多种表征，并贯通各种表征，在讲清算理的基础上水到渠成地推导出法则，从而帮助学生达成对运算的概念性理解与程序性理解[5]．

（1）合理运用等分除与包含除模型．

（2）设计层次递进的学习任务，平稳过渡，适度推进．

（3）舍弃人教版教材任务3、任务4的混合模型．

4.2 路径重构

基于以上的分析，提出了假想的分数除法学习路径，如表6．

表6 假想的分数除法学习路径

5 结语

通过比较3个国家教材中分数除法的学习路径，得到假想的学习路径．研究者将选取实践学校，开展行动研究，检验上述假想学习路径的有效性；观察学生的课堂表现，并设计问卷检查学生对算理的理解；最终以学生理解水平的提升程度、学生课堂表现以及课后访谈作为依据来验证假想的学习路径有效程度．

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A Comparative Study on the Learning Trajectories of Division with Fractions in Textbooks from China, Singapore and the UK

GONG Zi-kun1, JIN Pei-ying1, 2, LI Shuo-xin3, LU Zi-ling4

(1. School of Teacher Education, Hangzhou Normal University, Zhejiang Hangzhou 311121, China;2. Yucai Experimental Primary School, Zhejiang Hangzhou 311121, China;3. Sheshan Xingcheng Primary School, Jiangsu Nanjing 210046, China;4. Tengzhou Anju Primary School, Shandong Zaozhuang 277500, China)

In this paper, we compare the learning trajectories of the division of fractions in Chinese elementary school mathematics textbooks, the British SMP school mathematics textbooks, and the Singaporean MC primary school mathematics textbooks. We found that the learning tasks are arranged in the order of “dividing a fraction by a whole number®dividing a whole number by a fraction®dividing a fraction by a fraction.” The tasks of dividing a fraction by a whole number all adopt the portative models, and the tasks of dividing a whole number by a fraction and dividing a fraction by a fraction (generally referred to as dividing a number by a fraction in China) mostly adopt the quotitive models. The representations of tasks included both visual and abstract representations. The learning trajectories in the Singaporean textbooks contain the most detailed tasks, which could be described as proceeding in small steps and at a slow pace. The Chinese textbooks contain the lowest number of tasks, which could be described as proceeding in big steps and at a fast pace. The British textbooks contain the most abstract tasks because they were all purely mathematical situations. Based on these analyses, we propose the hypothetical learning trajectories of the division of fractions.

division of fractions; learning trajectories; textbook comparison; models of division; representation

G40–059.3

A

1004–9894（2021）01–0079–06

巩子坤，靳培英，李硕鑫，等．“中国”“新加坡”“英国”教材中分数除法学习路径的比较研究[J]．数学教育学报，2021，30（1）：79-84．

2020–09–30

教育部人文社会科学研究规划基金项目——6~15岁儿童的概率概念认知策略及其发展研究（15YJA880020）；浙江省哲学社会科学规划重点课题——儿童的概率概念认知策略及其发展研究（16NDJC004Z）

巩子坤（1966—），男，山东滕州人，教授，主要从事数学课程与教学研究．

[责任编校：周学智、陈汉君]