美国早期代数教科书中的“负负得正”解释方式研究

邵爱娣，栗小妮，汪晓勤

美国早期代数教科书中的“负负得正”解释方式研究

邵爱娣，栗小妮，汪晓勤

（华东师范大学 教师教育学院，上海 200062）

选取1820—1939年间出版的200种美国早期代数教科书，研究发现：书中“负负得正”的解释方式共有7类，即利用分配律、连减法、利用相反数、归纳法、几何方法、物理模型和生活模型．1880年以前，教科书中多采用利用分配律和连减法；1880年后，多种方法并存，利用分配律解释呈逐渐下降趋势，物理模型和生活模型占比逐渐上升，相反数法和连减法占比普遍较高．了解“负负得正”的多种解释方式和历史演变，有助于教科书编写者和教师深刻理解符号法则的合理性，选择易于学生理解的解释方式．

代数教科书；负负得正；解释；生活模型

1 问题提出

“负负得正”是初等代数中的一个十分重要的符号法则，早在公元7世纪就已为印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta）所知．13世纪，意大利数学家斐波那契（L. Fibonacci）在《计算之书》中提出“负负得正”法则，但只将其用于计算(-)(-)，而非两个纯粹的负数相乘．之后，中国数学家朱世杰在《算学启蒙》中也提出“正负术”：“同名相乘为正，异名相乘为负．”16~17世纪，欧洲数学家，如德国的斯蒂菲尔（M. Stifel）和克拉维斯（C. Clavius）等相继在其代数著作中提出符号法则．到了18世纪，英国数学家桑德森（N. Saunderson）、瑞士数学家欧拉（L. Euler）等先后试图对符号法则进行“证明”．19世纪，德国数学家汉克尔（H. Hankel）和F·克莱因（F. Klein）揭示了“负负得正”无法证明的事实．

18世纪以来，“负负得正”法则始终是数学教学中的一个难点．19世纪法国著名作家司汤达（Stendhal）因为他的两位数学老师未能合理解释“负负得正”的缘由而对数学失去了兴趣[1]．著名昆虫学家法布尔（H. Fabre）在自学数学时因教科书未能清晰地解释“负负得正”而“吃尽苦头”．[2]即使是到了今天，很多学生对于该法则也仍只知其然而不知其所以然．巩子坤的调查显示，97%的学生能够利用“负负得正”法则进行运算，但不超过11.5%的学生可以给出合理的解释，说明对于学生来说，运用法则容易，但理解却很困难[3]．因此，选择恰当的方法去解释符号法则，乃是教科书编写者和数学教师需要解决的重要问题．

贾随军等的研究表明，20世纪以来中学数学教科书对于“负负得正”的解释主要有“运用现实模型”“运用相反数的性质”“隐性运用分配律”“显性运用分配律”“运用减法运算”“运用变换”等6种方式[4]．但上述研究仅局限于国内外34种中学数学教科书，其中国外教科书10种，国内教科书24种．还需要以更宽阔的视野去研究“负负得正”的历史，以便为今日教科书编写、课堂教学以及HPM课例研究提供更丰富的素材和更深刻的思想．为此，对1820—1939年间出版的美国代数教科书进行考查，试图回答以下问题：美国早期代数教科书如何解释“负负得正”？从中可以总结出哪些类型？“负负得正”的解释方式在120年间经历了怎样的嬗变过程？对今日教科书编写和课堂教学有何启示？

2 研究对象

从HathiTrust数字图书馆中搜索19~20世纪的美国代数教科书全文，对于不同时间出版的同一作者的教科书，若书名和内容一致，则视为同一种教科书，选取最早的一个版本；若书名不同，则视为不同的两种教科书．最终，在1820—1939年间出版的代数教科书中选出200种，若以20年为一段，则200种代数教科书的分布情况如图1所示．

图1 200种教科书的时间分布

200种教科书的书名互有不同，有《代数基础》《代数专著》《代数初阶》《代数导引》《代数举要》《初等代数》《学校代数》《中学代数》《大学代数》《大中学代数》，等等．

200种代数教科书中，174种是中学教科书，19种是大学教科书，7种高中和大学合本．“负负得正”法则出现在“乘法”“正数和负数”“负数”“乘法和除法”等章节，出现在“乘法”章节的最多，占63.5%，其次是“正数和负数”，占14%．

所有200种教科书都对“负负得正”法则做出了各自的解释，研究者对这些解释进行仔细地归类和分析．对于不易归类或有歧义的解释方式，研究者一起交流研讨，最终确定其所属类别．

3 关于“负负得正”的解释

200种教科书中，关于“负负得正”的解释方式可以分为利用分配律、连减法、利用相反数、归纳法、几何方法、物理模型和生活模型7类．200种教科书中，175种各给出了1类解释，24种各给出了两类解释，只有1种教科书给出了3类解释．7类解释共出现226次，具体分布情况如图2所示．

图2 “负负得正”解释方式的分布

3.1 利用分配律

共有66种教科书（占29.2%）运用（或逆向运用）乘法分配律，试图去证明“负负得正”，F•克莱因称之为“半逻辑证明”．具体有以下4种做法．

方法1 利用(-)(-)．

这种方法源于斐波那契．在《计算之书》中，斐波那契利用几何方法证明了等式

(-)(-)=--+(>>0,>>0) （1）

如图3所示[5]．有55种教科书直接利用公式（1）得出“负负得正”，但只有Schuyler通过扩大（1）的适用范围给出进一步的解释：若在（1）中，设==0，则(+)×(+)=+；若==0，则(-)×(+)=-；若==0，则(+)×(-)=-；若==0，则(-)×(-)=+[6]．

方法2 利用(-)(-)或(-)×[(-)+]．

有8种教科书采用此法．如Hill先“证明”正负得负：因(-)×[+()]×=()×0，故(-)×=-．再由(-)(-)=[+(-)](-)=(-)+(-)(-)=-+(-)(-)=0，得到(-)(-)=[7]．

Slaught & Lennes和Rietz首先“证明”正负得负：设×(-)=，则×(-)+=+，即×[(-)+]=+，于是得0=0=+，故=-，即(-)=-．再设(-×(-)=，则(-)×(-)+(-)×，即(-)×[(-)+]=-，于是得(-)×0=0=-，故(-)×(-)=[8，9]．

方法3 利用(-)×[-(+)]．

有两种教科书采用此法．将-视为-(+)，则有(-)×(-)=(-)×[-(+)]=--[-(+)]=--(--)=-++=[10]．

方法4 利用[(+)-(+)](-)．

只有一种教科书采用此法．考虑[(+)-(+)](-)，一方面，利用“正负得负”，有[(+)-(+)](-)=(+)(-)-(+)(-)=--(-)=-+(+)．另一方面，[(+)+(-)](-)=-+(-)(-)，故得(-)×(-)=+[11]．

图3 斐波那契的几何证明

3.2 连减法

“连减法”是对乘法意义的拓广：将一个数乘以一个正整数，相当于连加该数若干次；将一个数乘以一个负整数，相当于连减该数若干次，由此得到“负负得正”．共有91种教科书（占40.3%）采用此法．例如：

(+4)×(+3)=+(+4)+(+4)+(+4)=+12；

(-4)×(+3)=+(-4)+(-4)+(-4)=-12；

(+4)×(-3)=-(+4)-(+4)-(+4)=-12；

(-4)×(-3)=-(-4)-(-4)-(-4)=+12[12]．

3.3 利用相反数

所谓相反数法，是将(-)×和(-)×(-)看作一对相反数，若已知前者为负，则后者必为正．这种方法源于欧拉．欧拉在《代数基础》中首先通过债务的倍数来说明正负得负：将-视为债务，取三次，则债务必变成三倍多，故(-)×3=-3(>0)，一般地，有(-)×=-(>0,>0)，故“正负得负”．由于(-)×(-) (>0,>0)要么等于，要么等于-，但已证(-)×=-，故(-)×(-)=[13]．共有38种教科书（占16.8%）采用此法．具体有以下3种方式．

方法1 反证法．

有3种教科书采用反证法．如Young的解释是：若承认(-)×=-（已证），则必有(-)×(-)=+，否则(-)×=(-)×(-)，于是=-，矛盾[14]．

方法2 直接改变符号．

共有32种教科书采用此法．如Smyth的解释如下：若乘数为+，则被乘数保留自己的符号，重复次，于是有(+)×(+)=+，(-)×(+)=-；若乘数为-，则被乘数取相反符号，重复次，于是有(+)×(-)=-，(-)×(-)=[15]．后来的作者多倾向于用具体数字来说明这种情形，先说明(-3)×4=-12，而(-3)×(-4)意指-3改变符号，即为3再重复4次，即(-3)×(-4)=12[16]．

方法3 利用-1的意义．

这种方法的出发点是“-1与任意一个数的乘积等于该数的相反数”或“乘以-1就是取一次、变符号”．有3种教科书采用此法．如：

(-)×(-)=(-1)××(-)=(-1)×(-)×=[17]；

(-3)×(-4)=(-1)×3×(-4)=(-1)×(-12)=+12[18]；

(-)×(-)=×(-1)××(-1)=×(-1)×(-1)=(-)×(-1)=[19]．

3.4 归纳法

这种方法最早为桑德森所采用．桑德森在《代数基础》中先提出命题：“一个等差数列的各项依次乘以同一个数，所得乘积构成等差数列．”利用该命题，等差数列4，0，-4依次乘以3，所得乘积构成等差数列，前两个乘积依次为12和0，故第3个乘积为-12，即(-4)×3=-12；依次乘以-3，所得乘积构成等差数列，前两个乘积依次为-12和0，故第3个乘积为12，即(-4)×(-3)=12[20]．有3种教科书采用此法．

Benedict取等差数列+4，+3，+2，+1，0，-1，-2，-3，-4，先将各项分别乘以+3，观察所得等差数列的规律，得出“负正得负”；再将数列各项分别乘以-3，观察新数列的规律，得出“负负得正”，如图4[21]．

图4 Benedict“负负得正”的解释方式

3.5 几何方法

有6种教科书采用有向线段来解释“负负得正”．如Newcomb给出如下几何解释：假设表示从零点向右长度为1 cm的线段，则-表示从零点向左长度为1 cm的线段，如图5[22]．

图5 Newcomb“负负得正”的几何解释

Long & Brenke设向右为正方向，用3个单位长度在直线上沿着正方向测量5次，所测得的线段长度为(+5)×(+3)=+15．若沿着反方向测量5次，得(-5)×(+3)=-15．用反方向的3个单位长度沿着该方向测量5次，得(+5)×(-3)=-15．将反方向上3个单位长度反向测量5次，得(-5)×(-3)=+15，如图6[23]．

3.6 物理模型

部分教科书利用物理量之间的关系，如浮力、行程、杠杆等解释“负负得正”，将其归类为利用“物理模型”解释．

3.6.1 气球模型

利用气球所受浮力大小来说明正负数的乘法法则，称为“气球模型”，有5种教科书采用此法．如Slaught & Lennes的解释如下：一位气球驾驶员在出发之前，做了如下准备工作：（1）他给气球充入9000立方英尺的气体，气体每一千立方英尺的上升力为75磅．（2）他取了8袋沙子，每袋重15磅．则此时气球受到的浮力为(+75)×(+9)=+675磅，受到的阻力为120磅，即(-15)×(+8)=-120磅．若在气球飞行过程中，驾驶员打开阀门，放掉2000立方英尺的气体，相当于气球受到的阻力增加了150磅，即(+75)×(-2)=-150磅；若驾驶员扔掉4袋沙子，相当于气球受到的浮力增加了60磅，即(-15)×(-4)=+60磅[24]．

图6 Long &Brenke“负负得正”的几何解释

3.6.2 行程模型

利用物体行驶过程中路程、速度和时间的关系解释“负负得正”称为“行程模型”，有5种教科书采用此法．如Oliver, Jones & Wait中给出了以下解释：一列火车以20英里/小时的速度从西往东开，现经过A处，则5小时后，将到达A处以东100英里处，此即20×(+5)=+100；5小时前，位于A处以西100英里处，此即20×(-5)=-100．若火车以20英里/小时的速度从东往西开，现经过A处，则5小时后，将到达A处以西100英里处，此即(-20)×(+5)=-100；5小时前，位于A处以东100英里处，此即(-20)×(-5)=100[25]．

Hopkins则采用人的运动来解释，如图7．规定向东走为正，向西走为负，未来的时间为正，过去的时间为负．一个人以每小时3英里的速度向东走，4个小时后他位于起点东面12英里处，即(+4)×(+3)=+12．一个人以每小时3英里的速度向西走，4小时后他位于起点西面12英里处，即(+4)×(-3)=-12．一个人以每小时3英里的速度往东走，4小时前他位于起点西面12英里处，即(-4)×(+3)=-12．一个人以每小时3英里的速度向西走，4小时前他位于起点东面12英里处，即(-4)×(-3)=+12[26]．

图7 Hopkins“负负得正”行程模型图示

3.6.3 力矩模型

Keal & Leonard采用了力矩模型，如图8．规定支点右边的臂为正，支点左边的臂为负，向上的作用力为正，向下的作用力为负，逆时针方向转动的力矩为正，顺时针方向转动的力矩为负．正力作用于正力臂，杠杆沿逆时针方向旋转，产生正力矩，即(+3)×(+7)=21；负力作用于正力臂，杠杆沿顺时针方向旋转，从而产生负力矩，即(+3)×(-7)=-21；正力作用于负力臂，杠杆沿顺时针方向转动，产生负力矩，即(-3)×(+7)=-21；负力作用于负力臂，杠杆沿逆时针方向旋转，即(-3)×(-7)=21[27]．

图8 Keal & Leonard“负负得正”的力矩模型图示

3.6.4 水箱模型

3.7 生活模型

“生活模型”是指基于现实生活情境（如收入、债务等）的解释方式，具体可分成以下两种情形．

有5种教科书采用节约和浪费[29]、收益和损失[30]来解释“负负得正”．如Beman和Smith设计了如下情境：某镇上每人每周需纳税1美元，若有5人迁入该镇，则该镇每周增加收入(+5)×(+1)=+5美元；若有5人迁出该镇，则该镇每周增加收入(-5)×(+1)=-5美元．该镇每周为每个流浪汉支付1美元，若有5个流浪汉迁入，则该镇每周增加收入(+5)×(-1)=-5美元；若有5个流浪汉迁出，则该镇每周增加收入(-5)×(-1)=+5美元[31]．

美国数学家和数学史家M·克莱因（M. Kline）最早用债务解释“负负得正”．假定某人每天欠债5美元（记为-5），在给定日期他身无分文（0美元）．那么在给定日期3天后（记为+3）他欠债15美元，即(+3)×(-5)=-15；在给定日期3天前（记为-3），他的财产比给定日期多15美元，即(-3)×(-5)=15[32]．

有5种教科书采用了该模型，如Durell & Robbins给出如下解释：（1）100美元取5次，得500美元，即(+100)×(+5)=+500；（2）100美元的债务取5次，得-500美元，即(-100)×(+5)=-500；（3）100美元扣除5次，得-500美元，即(+100)×(-5)=-500；（4）100美元的债务扣除5次，相当于增加了500美元，即(-100)×(-5)=+500[33]．

4 分布与讨论

4.1 各种解释方式的分布

由于每个时间段选择书的数量不均，研究采用百分率统计．以20年为一段，这7类解释的分布如图9所示．

从图9可见，1880年以前，“负负得正”的解释方式较为单一，以利用分配律和连减法解释为主，其中利用分配律解释占主导地位，但随着时间的推移，该方法所占的比率逐渐下降．1880年后，解释方式逐渐多样化，出现了几何方法、物理模型和生活模型等．

图9 诸解释方法的分布变化

1840年后，利用分配律逐渐减少，连减法逐渐增加．在研究限定的时间范围内，连减法占比仅次于利用分配律．该方法仅拓展了乘法的意义，再结合加减法的性质，受到早期教科书编写者的青睐．

相反数法在所有解释方式中位列第三．1820—1859年之间该解释方式共出现6次，每个时间段占比较为接近．1860—1879年之间没有出现，在该时间段，大部分作者倾向于连减法．1880—1939年之间共出现32次，相比于1820—1859年，每个时间段的占比逐渐上升．可见，相反数法由于简洁明了而成为19世纪后期和20世纪初期教科书编写者偏爱的方法之一．

归纳法出现于1840年后．在200种教科书中，归纳法共出现3次，在所有方法中出现次数最少．国内现行人教版和北师大版教科书也采用了这种方式．

几何方法主要借助于有向线段的度量来解释符号法则，出现于19世纪后期，但次数较少．该方法虽然直观，但由于蕴含向量思想，且正向和反向测量与有向线段的正负方向易于混淆，对学生来说未必容易，这大概是教科书编写者很少选择它的原因．

物理模型和生活模型出现于1880年后，与前5种解释方式相比，两类模型将数学与现实情境联系起来，由生产、生活中的实际事例抽象出符号法则，较之几何方法更直观，更易于接受，故随着时间的推移，占比逐渐上升．国内现行部分教科书也选择了物理模型，如沪教版采用行程模型，苏科版采用水位升降模型．

4.2 讨论

利用分配律、相反数法、连减法、归纳法和几何法都是从数学内部出发解释符号法则，而物理模型和生活模型则从数学外部出发来解释该法则．尽管物理模型和生活模型呈逐渐上升的趋势，但大部分教科书（占总数的90.7%）依然局限于数学内部的逻辑关系．

“负负得正”解释方式的演变与数学和数学教育的进步息息相关．就数学而言，1880年以前的教科书毫无例外都试图从数学内部出发“证明”负负得正．但随着时间的推移，数学家逐渐认识到“负负得正”不能证明的事实．19世纪德国数学家汉克尔发现，“在形式化的算术中，负负得正是不能证明的．”F·克莱因将负负得正法则视为“危险的绊脚石”，他对数学教师提出忠告：“不要试图去证明符号法则的逻辑必要性，别把不可能的证明讲得似乎成立．”[34]自此人们才发现，教科书中利用分配律所进行的“证明”，其实根本不是真正的证明．因此，1880年以后，用分配律来“证明”负负得正的教科书显著减少．

物理模型和生活模型的出现和占比的逐渐上升与19世纪末20世纪初的数学教育变革有关．1892年，美国组织了全国性的中等学校教学委员会，重新制定中等学校教育目标和标准课程计划，倡导算术要具体化，努力把算术、代数和几何互相联系起来[35]．20世纪初出现了国际性的数学教育改革运动．1901年，培利（J. Perry）认为数学教学的目的不是为了考试和创造数学家，实用性决定了应该教什么．新的教学方法应该让人们认识到数学的实用性．他主张教学要基于学生的经验，让学生自己构建抽象的概念．1902年，受培利的影响，美国数学会会长穆尔（E. H. Moore）呼吁要少强调数学的系统性和形式化，多强调数学的实用性，提倡实验的教学方法[36]．在这些背景下，更多的教科书作者开始关注“负负得正”法则与现实情境之间的联系，生活模型或物理模型应运而生．

5 结论与启示

综上，1820—1939年间的200种美国早期代数教科书采用了多种不同的方式解释“负负得正”．从早期的3种方式发展到后期的7类方式并存．随着时间的推移，“半逻辑”的分配律方法解释逐渐减少，连减法逐渐占据上风，成为数学家们喜爱的方式．在此期间，归纳法仅仅昙花一现．19世纪末20世纪初开始，受数学教育改革的影响，几何方法、物理模型和生活模型逐渐进入人们的视野，并且其占比逐渐上升．尽管如此，连减法和相反数法仍然占据优势．

早期教科书中的“负负得正”解释方式及其演变规律，为今日的教科书编写、教师专业发展和课堂教学带来一定的启示．

5.1 对教科书编写的启示

早期教科书中“负负得正”法则的解释为今日教科书编写提供了丰富的材料．教科书编写者可以考虑如何展示“负负得正”这一法则的产生和形成过程，才能让学生感受到它的合理性．贾随军等在其考查的各版教科书中发现，约6成教科书从数学本身解释“负负得正”法则[4]．早期教科书编写者也更倾向于从数学内部出发解释“负负得正”，如连减法和相反数法．尽管物理模型和生活模型更具趣味性，但其中涉及几个变量的实际意义，不易为学生所理解；而连减法和相反数法言简意赅，较易理解．今日教科书编写者可以兼顾两种方式，让学生明白：不论从数学内部出发还是从现实情境出发，“负负得正”都是合理的存在．

5.2 对教学的启示

早期教科书中“负负得正”解释方式的研究，可以让教师了解一个看似简单的法则背后的历史轨迹，知道“负负得正”是为了保证已有运算律成立而作出的“规定”，教师不要试图在教学中证明法则的合理性，因而犯科学性错误．同时，早期教科书中的7类解释方式为教师提供了丰富的教学资源和更多的选择；从不同解释方式出现的频数，也可以看到前人的倾向性，为自己的选择提供参考．另外，通过了解历史上数学家认识“负负得正”的曲折过程以及“负负得正”解释方式的演变，教师可以预测学生的认知障碍，自信而坦然地面对学生“为什么负负得正”的疑问，保护学生的好奇心和求知欲，渗透数学德育，实现人性化的数学教育．

有理数乘法教学的难点在于如何向学生解释“负负得正”的合理性．教学在运用早期教科书所提供的有关素材时，既可以采用复制式，也可以采用顺应式．例如，学生在学习有理数乘法时已经学习了有理数的减法和相反数等知识，这时选用连减法和相反数法较为合适．对于物理模型和生活模型，教师可选择学生熟悉的情境，并进行适当改编，作为数学解释的补充．

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An Examination of the Methods Performing the Multiplication with Two Negative Numbers in Early Algebra Textbooks in the USA

SHAO Ai-di, LI Xiao-ni, WANG Xiao-qin

(College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

About 200 algebra textbooks, published between 1820 and 1939 in the USA, were selected to analyze their explanation of the Multiplication of two Negative numbers. It was found that there were seven types of interpretation methods in the books: distribution law, repeated subtraction, opposite number, induction, geometric method, physical model, and life model. Before 1880, many textbooks adopted the distributive law and repeated subtraction. After 1880, a variety of methods coexisted, and interpretation using the distributive law showed a gradually declining trend. The proportion using the physical model and life model methods increased gradually, and the proportion using the opposite number method and repeated subtraction method were generally higher. It is helpful for textbook writers and teachers to have a deep understanding of the rationality of the sign rules and choose the interpretation method that is easiest for students to understand.

algebra textbook; the multiplication with two negative numbers; explanation; life model

G633.62

A

1004–9894（2021）01–0085–06

邵爱娣，栗小妮，汪晓勤．美国早期代数教科书中的“负负得正”解释方式研究[J]．数学教育学报，2021，30（1）：85-90．

2020–09–30

上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地研究项目——数学课程与教学中落实立德树人根本任务的研究（A8）

邵爱娣（1990—），女，江苏盐城人，硕士生，主要从事数学史与数学教育研究．

[责任编校：陈隽、张楠]