试论高中数学教学中推理的应用

张瑞兵 付强 王晓慧 曹静慧

摘  要：在数学中，求解、证明的过程离不开推理，它贯穿于高中数学学习的始终，在知识体系的构建、能力的提升、核心素养的落实及知识之间的联系等方面发挥着重要的作用. 以“平面向量及其应用”为例阐释了推理之间的联系及其应用的广泛性.

关键词：类比推理;归纳推理;演绎推理;特殊;一般

从本质上来说，数学有两种推理模式. 一种是归纳推理，另一种是演绎推理. 事实上，在数学、自然科学，甚至社会科学，以及人们的日常生活中，这两种推理模式都是最基本的. 正如爱因斯坦所说，西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，那就是希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及通过系统的实验发现有可能找出的因果关系（在文艺复兴期间）. 爱因斯坦所说的两个成就，前者指的是演绎推理，后者指的是归纳推理.

归纳推理自古有之，是人们在生活中发现问题、提出问题的重要手段. 例如，毕达哥拉斯学派的三角形数、正方形数等均是从特殊的前几个数，寻求规律，推广到第[n]个图形对应的数，体现了归纳的思想. 因为有归纳猜想，数学才会趣味无穷，如著名的哥德巴赫猜想、费马猜想、四色定理等. 前人发现、提出了问题，自然就会有后人分析、解决问题，这体现了数学的魅力所在，有的数学家甚至为它付出了毕生的精力，如我国数学家陈景润是接近哥德巴赫猜想证明的第一人. 证明猜想、命题等用的则是演绎推理. 演绎推理是严格的逻辑推理，一般表现为大前提、小前提、结论的三段论模式. 亚里士多德是主张进行有组织地研究演绎推理的第一人，欧几里得是第一个将亚里士多德用三段论形式表述的演绎法用于构建实际知识体系的人.

归纳推理是指从具体问题出发通过观察、猜想、比较、联想、归纳、类比提出猜想. 它包括不完全归纳法、类比法、简单枚举法等. 简言之，不完全归纳法是部分推出整体，个别推出一般的推理;类比法是由特殊到特殊的推理. 得到数学命题主要依靠归纳和类比，通过归纳推理得到的结论是或然成立的. 演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理. 它包括三段论、反证法、数学归纳法等. 简言之，演绎推理是从一般到特殊的推理. 证明数学命题主要依靠演绎推理，在大前提、小前提正确的条件下，通过演绎推理得到的结论是必然成立的. 归纳、类比、演绎三种推理之间的联系，如图1所示.

归纳推理和演绎推理不仅要作为知识来学习，也是一種数学文化的融入，更贯穿于高中数学学习的始终. 可以说高中数学中推理无处不在，在知识体系的构建、能力的提升、核心素养的落实及知识之间的联系等方面发挥了重大的作用.

一、构建知识概念，提升学生能力

在向量的起始教学中，我们往往先举几个特殊的实例，从学生熟悉的情境入手，建立起向量的概念.

情境1：小船由A地向东南方向航行15 n mile到达B地（速度大小为10 n mile / h），试问小船的位移是什么？速度呢？

情境2：图2是水平放置的物体，它受到的重力是怎样的？

先让学生回答上述问题，回答不完整的其他学生补充. 位移、速度、力都是物理中的量，这些物理量都是学生熟悉的知识，它们不仅有大小，而且有方向，从而为抽象出向量的本质特征做好铺垫，归纳得出向量的概念.

得到了向量的概念之后，接着学习了一些特殊的向量，如零向量、单位向量、相等向量、共线向量（平行向量）. 学生在这里可能有些疑惑：为什么学习这些向量？实际上，这些向量来源于向量的要素——大小和方向. 学完概念后就要学习概念的内涵与外延，这些向量是特殊的大小（零向量、单位向量）或特殊的方向（共线、垂直）下的产物. 同时，分类是概念的外延，给出研究对象的含义后，往往要研究特殊的情形，这是研究问题的一般套路，也是概念完备性的体现.

有了以上概念的保证，我们可以判断下列结论是否正确，以加深对定义的理解和掌握.

练习：（1）若[a]与[b]都是单位向量，则[a=b].

（2）直角坐标平面上的[x]轴、[y]轴都是向量.

（3）相等向量的起点必定相同.

（4）向量[AB]与向量[BA]共线且长度相等.

在学习上述新课时，我们从一些熟悉的背景入手，通过观察、比较、归纳等方法，提炼其共同的属性，从而抽象、概括出新的研究对象的概念，这一过程恰好体现了从特殊到一般的归纳推理，也就是从特殊的例子到一般性的概念. 而在后续的例题讲解、习题训练中，则是用一般性的概念解决问题. 因为数学中的概念或定义本身就是充要条件，既是判定，也是性质，这一过程恰恰体现了从一般到特殊的演绎推理. 由此可以看出，一节完整的新课的流程大致是这样的：特殊的例子—一般的概念—特殊的习题. 正好是先从特殊到一般的归纳抽象，再从一般到特殊的演绎应用，即特殊实例[抽象概括]一般概念、结论[应用解决]具体的例题和习题.

我们常说要培养学生从数学的角度发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力（简称“四能”），其实这一过程也是从特殊到一般再到特殊的过程，即特殊[发现、提出问题]一般[分析、解决问题]特殊.

在向量的线性运算的教学中，我们可以从向量的概念出发，提出合适的课堂讨论问题，使学生经历向量减法的抽象过程.

问题1：类比实数[x]的相反数是[-x]，对于向量[a]，你能定义它的相反向量吗？

追问：类比相反数[-x]的性质，你能得出相反向量的性质吗？

问题2：类比实数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，即[x-y=x+-y]. 你认为可以怎样定义向量的减法？

设计问题1和追问是为了类比相反数定义相反向量，并得出相反向量的性质，为帮助学生探讨向量的减法法则进行准备. 设计问题2的目的是引导学生类比数的减法定义向量的减法，并借助向量的加法推导向量的减法.

在上述过程中，借助类比数的运算发现和提出问题，经过分析、归纳、抽象等方法得出新的研究对象——向量的减法，再一次体现了从特殊到一般的推理过程. 理清减法概念之后，就可以利用向量的加法推导减法，也就是用所学知识解决问题. 这又是从一般到特殊的应用过程.

在教学过程中，我们培养学生“四能”的过程往往都是先给出具体的例子让学生观察，引导学生发现、探讨其共同特点，然后进一步提出问题，能不能把这些共同的特点用文字语言来统一叙述，或者转化为符号语言、图形语言，经过探究和思考（即分析问题）就可以得出一般性结论，最后再用所得的结论去解决问题.

二、在推理中落实核心素养

《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出了数学课程要培养学生的六大核心素养：数学抽象，逻辑推理，直观想象，数学建模，数学运算，数据分析. 在实际教学中，这些素养的发展和提升与推理也是密不可分的.

从特殊到一般，与数学抽象、直观想象素养密不可分，而从一般到特殊与数学建模、数据分析素养联系紧密. 当然，上述过程中都需要用到数学运算、逻辑推理. 章建跃博士说过，推理是命根子，运算是童子功. 这足以说明推理和运算在数学学科中的核心地位，也就是说推理与培养学生的数学学科核心素养的过程紧密相连. 推理是核心素养的内容，核心素养是紧紧依附于推理的，必须从数学推理的逻辑属性及要求下手，才能真正认清素养的内涵、把握其本质特征，即特殊[数学抽象、逻辑推理、直观想象]一般[数学建模、数学运算、数据分析]特殊.

例如，在学习向量时经常会遇到类似问题：已知[a，b]是两个非零向量，同时满足[a=b=a-b]，求[a]与[a+b]的夹角.

解法1：借助向量的运算，求两个向量的夹角.

将已知式子平方，得[a2=b2=a-b2].

则[a · b=a22]，

故[a · a+b=3a22]，[a+b=a+b2]=[3a].

所以[cosa，a+b=a · a+baa+b=32]，即所求夹角为30°.

解法2：利用向量的坐标运算，求夹角.

不妨设[a=1，0，b=cosθ，sinθ].

则[a-b=1-cosθ，-sinθ].

故[a-b=1-cosθ2+sin2θ=2-2cosθ=1].

推出[cosθ=12].

此时[a+b=1+cosθ，sinθ=32，±32]，再利用向量的坐标运算求解.

解法3：结合向量运算的几何意义.

作[OA=a]，[OB=b]，则[a-b=BA].

以[OA，OB]为邻边作平行四边形[OACB]，如图3所示，则有[a+b=OC].

由题意，可知[△OAB]是等边三角形，即四边形[OACB]是菱形.

由菱形的性质，知对角线[OC]平分[∠AOB]，

所以[OA]与[OC]的夹角为30°.

该题的解法1借助向量的运算——线性运算、数量积，通过平方先求[a · b]的值，再利用数量积的夹角公式求解，发展了学生的数学运算和逻辑推理素养. 解法2突出向量的坐标运算，也有特殊性的体现，如假设已知相等向量的模长为1，且[a=1，0]，结合三角函数知识求出[cosθ]，最后再用数量积的坐标表示求解. 当然，也可以更一般化地求解. 解法3根据向量运算的几何意义，主要是加、减法在平行四边形这一模型中都可以表示出来，联系三角形及平行四边形的知识求解，提升了学生的直观想象、数学建模素养. 这一过程主要是用一般知识解决问题，体现了我们所说的从一般到特殊的推理过程. 同时，也体现了直观想象、数学建模、数学运算和逻辑推理素养的不断提升和发展的过程. 在解决该题的过程中，要先根据题意，结合向量的运算求夹角，再利用数量积的工具性——求长度、夹角来求解这个特殊的例子，体现从一般到特殊的演绎推理.

三、由推理建立知识之间的联系

高中阶段知识之间的联系体现了从特殊到一般再到特殊的推理. 利用数学知识的内在联系，使不同的数学内容相互沟通，可以提高学生对数学的整体认知水

平. 特别地，在教材中强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法，这些思想方法与所学内容融合就形成了如图4所示的常用的逻辑思考方法.

这种思考问题的逻辑方法，不仅是知识内部的一种联系，还在各种知识之间建立了联系，有着广泛的应用.

仍然以平面向量及其运算为例，先来看与外部知识之间的联系. 平面向量及其运算与空间向量及其运算紧密联系，与数及其运算直接相关，在其他学科中也有广泛的应用. 这种联系如图5所示.

[复数及其运算][空间中的向量及其运算][直线上的向量及其运算] [平面上的向量及其运算][力和有向线段][实数及其运算] [图5]

平面向量及其运算推广之后可以得到空间向量及其运算，它的特殊情形就是直线上的向量及其运算（即共线），再特殊就是实数及其运算（只有大小）. 我们可以借助物理中的力、位移等矢量和有向线段来研究向量及其运算. 同样地，类比平面向量及其运算的研究方法，我们还可以研究复数及其运算，研究思路是一样的. 向量是连接代数与几何的桥梁，既是代数研究对象（运算），也是几何研究对象（几何意义），它在各种知识之间起着纽带的作用.

通过不同数学知识的联系与启发，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，学习数学的思考问题方式，提高学生的数学思维能力，培育学生的理性精神. 内部联系如图6所示.

我们先学习了平面向量的一般概念，在此基础上类比数的运算（加、减、乘）及矢量（位移、力等）的合成学习了向量的线性运算（加、减、数乘），之后在线性运算的基础上推导了平面向量基本定理，平面向量基本定理特殊化就是向量的坐标运算. 类比物理中的做功研究了数量积，特殊化后是它的性质，也是它的应用：如果角特殊，即共線、垂直等，可以判断两个向量是否共线、垂直，两个相等向量的数量积可以求向量的模等;如果角不特殊，可以求任意两个向量夹角的余弦，体现一般性. 最后由数量积的工具性——求长度、夹角，继续研究了三角形的问题. 因为三角形是由三边和三角构成的，先借助向量发现并证明了余弦定理和正弦定理，再利用两个定理解决三角形中的边角问题，这也体现了向量的应用性. 在本章知识的学习中用到了类比、特殊化、一般化等推理过程，内部结构的框架可以通过推理来构建，我们在教学时可以引导学生仿照上述过程建立知识之间的推理体系，将所学知识点连成知识网络，以便更好地领会知识的内涵.

陈建功先生说过，片断的推理，不但见诸任何学科，也可以从日常有条理的谈话得之. 但是，推理之成为说理的体系者，限于数学一科……忽视数学教育论理性的原则，无异于数学教育的自杀. 可见推理对于数学学科的重要性.

推理体系贯穿于教学的始终. 推理不但是解决问题的工具，而且是体现数学严谨性的关键要素，是数学具有强大生命力的重要保障，更是数学的基本思想，是渗透数学文化的重要载体. 归纳和演绎不是矛盾的，而是相辅相成、相得益彰的. 通过归纳预测结果，然后通过演绎验证结果. 无论是知识的获得、能力的提升还是素养的发展，都有推理含在其中，我们利用推理在数学知识之间建立联系，可以有效提高学生的学习效率. 发挥好推理的作用，就能为教学助力，使教学真正落实育人的功能.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建跃. 章建跃数学教育随想录[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[3]史宁中. 数学基本思想与教学[M]. 北京：商务印书馆，2018.

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