与体育比赛规则有关的高考概率试题研究

摘  要：“体”是“五育”之一，把体育比赛规则嵌入数学试题是一种常见的命题方式. 以2019年和2020年高考数学全国卷理科试题中出现的与体育比赛规则有关的概率试题为研究的切入点，通过深入分析与研究，对学生备考提出研究心得与体会.

关键词：五育并举;概率;试题研究

在“一体”“四层”“四翼”高考评价体系的指引下，数学学科的高考命题逐渐凸显出了“落实立德树人，倡导‘五育’并举”的特点，即创设与德智体美劳相关的问题情境，充分考查学生运用数学知识和数学方法分析和解决实际问题的能力. 笔者研究发现，近几年高考数学全国卷中出现了多道与体育赛制有关的试题，看似平淡，实则内涵丰富，学生不仅需要具备一定的分析、判断能力，还要有稳定的心理素质. 在解题过程中遇到障碍时，学生需要能够稳定情绪，顺利找到解决问题的策略.

一、试题分析

例1 （2020年全国Ⅰ卷·理19）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一轮轮空，直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都为[12].

（1）求甲连胜四场的概率;

（2）求需要进行第五场比赛的概率;

（3）求丙最终获胜的概率.

分析：该题的命题背景是羽毛球比赛中的“双败淘汰制”. 但是在实际的羽毛球比赛中，一般采用“循环赛”或“单败淘汰赛”. 显然，这是命题者根据比赛要求与考查要求自行制定的比赛规则. 若3个人比赛采用“单败淘汰制”，则仅需比两场，采用“单向循环制”，即捉对厮杀，也仅需三场比赛，都达不到高考对理科学生的难度要求. 改成“双败淘汰制”后，需要进行多少场比赛呢？显然，这具有不确定性，是学生理解题意的切入点，也是解题的突破口. 3个人中要淘汰掉2个人，被淘汰的2个人共要输掉四场比赛，而胜者则最多输掉[1]场比赛. 因此，最少要进行四场比赛，最多要进行五场比赛. 故试题放在第[19]题的位置，符合高考的难度要求. 从考试中学生的答题情况来看，作答情况并不理想，与命题者对学生的能力与素养的要求还有很长一段距离.

根据以上分析，确定该题的前两道小题其实是对进行四场、五场比赛的情况进行分类解答，属于基本作答要求;而在第（3）小题中，丙最终获胜，两种情况都有可能. 解答如下.

解：（1）根据题意，甲连胜四场淘汰乙、丙，概率是[124=116].

（2）（方法1）因为最多进行五场比赛就结束，

所以“需要进行第五场比赛”的对立事件是“进行四场比赛就能决出胜负”.

而甲或乙若要在四场比赛后获胜则需要连胜四场.

由（1）知，甲或乙连胜四场的概率是[2×116=18].

而四场比赛后丙获胜则需要后三场丙连胜，获胜的概率是[123=18].

故需要进行第五场比赛的概率是[1-18×2=34].

（方法2）不妨假设第一场比赛甲胜，则分为以下两种情况.

若最终乙胜，则第三、四、五场比赛乙连胜，概率是[123=18].

若最终甲胜，由于是“双败淘汰制”且第二场开始甲、丙开始对决，则甲、丙的获胜概率相同. 甲最终获胜的概率是[1-18÷2=716]，由（1）知甲连胜四场获胜的概率是[18].

故甲第五场取胜的概率是[716-18=516]，丙第五场取胜的概率也是[516].

综上所述，需要进行第五场比赛的概率是[18+][2×516=34].

（3）（方法1）由（2）知，丙四场比赛获胜的概率是[123=18].

若丙第五场比赛获胜，不妨假设第一场甲胜，则根据列举法得知第二、三、四、五场比赛有以下[5]种获胜方的可能情况：甲甲丙丙、甲乙丙丙、丙乙甲丙、丙乙乙丙、丙丙甲丙，获胜概率为[5×124=516];第一场乙胜的情况一样.

故丙最终获胜的概率为[18+516=716].

（方法2）不妨假设第一场比赛甲胜，由（2）知，丙最終获胜的概率是[1-18÷2=716].

由以上分析与解答过程可以看出，要完成此题的解答，学生必须具备良好的逻辑思维与分析能力，要先能确定比赛不会无休止地进行下去，即最少进行四场、最多进行五场. 在思考“需要进行第五场比赛的概率”时，运用对立事件的概率进行求解顺理成章;而在思考“丙获胜的概率”时，则需要首先找出分类的标准，当丙需要进行第五场比赛才获胜时，发现第一场比赛的结果其实对丙没有任何影响，因为“每场比赛双方获胜的概率都为[12]”，所以只需要考虑后面三场或四场的对战结果，用列举法或分析法均可以顺利解决. 该题借用“双败淘汰制”，对学生分析问题与解决问题的能力考查得非常全面，若学生不假思索地采用列举法，在有限的考试时间内是很难找出有效的解决办法的，这给了我们备考一个很大的启示，那就是要脱离题海，通过恰当的问题载体，培养学生良好的数学素养.

通过变式训练，往往能使学生学会举一反三，提升学生的应变能力. 此题就可以从多个角度延伸出多道不同难度要求的试题.

变式1：只修改条件“设甲对乙、丙时每场比赛获胜的概率为[23]，而乙、丙对战时双方获胜的概率都为[12]”，其他不变.

解析：3人胜率不一样，更符合实际情况. 略复杂一点，但基本的解题思路没有大的改变.

第（1）小题变化不大，答案是[234=1681].

第（2）小题若从对立事件的角度出发，则需要分别排除甲、乙、丙四场比赛夺冠的情况，甲夺冠的情况如第（1）小题，乙夺冠的情况则是[132×122=136]，而丙夺冠的情况是[23×132×12+132×122=7108]，故需要进行第五场比赛的概率是[1-1681-136-7108=115162].

第（3）小题丙四场比赛获胜的概率如（2），若丙五场比赛后获胜，需要计算五种情况分别对应的概率，然后相加，在此就不再一一列举.

变式2：甲、乙、丙、丁四位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰，直至最后1人夺得冠军;抽签后分组比赛，胜者进入胜者组，败者则掉入败者组;若胜者组中只剩下1人，则轮空，等待败者组的比赛结果.

经抽签，首先分成甲、乙与丙、丁两组对抗. 设每场比赛双方获胜的概率都为[12].

（1）求甲只需打三场比赛就能夺冠的概率;

（2）求甲需要打四场比赛才能夺冠的概率.

解析：增加了1人，则参赛人数变为偶数，更符合正式体育比赛运用“双败淘汰制”的要求. 因为这样他们可以首先捉对厮杀，然后根据胜负情况分成两组，再进行对抗就能出现被淘汰者.

根据题意，四人（分别用A，B，C，D表示）的对抗情况如下表所示.

[第一轮 初赛：[A，B→A];[C，D→C] 第二轮 胜者组：[A，C→A] 败者组：[B，D→B]

淘汰D 第三轮 胜者组：

轮空 败者组：[B，C→B]

淘汰C 第四轮 决赛：[A，B→A或B]

淘汰B或A ]

由于A，B，C，D四人的位置是对等的，所以要决出冠军，就要看第四轮的比赛结果. 若A夺冠，则淘汰B，此时A可以一场制胜，也可以先输一场再赢一场;若B夺冠，则淘汰A，但A在前三轮一场未输，故B要连赢两场.

第（1）小题中，甲打三场比赛就能夺冠，形如表格中的A在第四轮一场制胜，故其概率是[123=18].

第（2）小题中，甲打四场比赛才能夺冠，形如表格中的A在第四轮先输一场再赢一场，故其概率是[124=116].

例2 （2019年全国Ⅱ卷·理18）[11]分制乒乓球比赛，每赢一球得[1]分，当某局打成[10] [∶] [10]平后，每球交换发球权，先多得[2]分的一方获胜，该局比赛结束. 甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为[0.5]，乙发球时甲得分的概率为[0.4]，各球的结果相互独立. 在某局双方[10] [∶] [10]平后，甲先发球，两人又打了[X]个球该局比赛结束.

（1）求[PX=2];

（2）求事件“[X=4]且甲获胜”的概率.

分析：该题以“乒乓球单打比赛的规则”为背景，是真实的问题情境，学生理解起来没有任何难度. 试题放在第[18]题的位置，符合高考的难度要求.

解：（1）事件“[X=2]”包含了“甲连胜两场或乙连胜两场”，

因此[PX=2=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5].

（2）事件“[X=4]且甲获胜”为“前两球甲、乙各得[1]分，后两球均为甲得分”.

因此[PX=4=0.5×0.6+0.5×0.4×0.5×0.4=0.1].

相对于例1，该题在考查学生的逻辑思维能力方面要较为弱一些，侧重于考查学生的运算求解能力. 分析得知，只要甲、乙交替得分，比赛将会一直进行下去;而双方打平后，只要一方连续得分两次，则比赛宣告结束.

变式：在例2的条件下，若事件“[X=2k k∈N*]且甲获胜”的概率为[fk]，当[fk≥0.01]时，求[k]的最大值.

解析：由题意，得

当[k=1]时，[PX=2=0.5×0.4=0.2].

当[k=2]时，[PX=4=0.5×0.6+0.5×0.4×0.5×][0.4=0.52×0.4=0.1].

当[k ≥ 3]时，前[2k-1]次中，第[2m-1]，[2m]（[m=1，][2，…，k-1]）次中甲、乙各胜一次. 若甲先胜，则概率为[0.5×0.6=0.3];若乙先胜，则概率为[0.5×0.4=0.2]，它们相互独立. 所以[fk=PX=2k=0.3k-1+C1k-10.3k-2×][0.2+C2k-10.3k-3×0.22+…+0.2k-1×0.5×0.4=0.2+0.3k-1×][0.2=0.5k×0.4]. 当[fk≥ 0.01]時，[0.5k ≥ 0.025]，得[12k ≥ 140]. 所以[k]的最大值为5.

例3 （2019年全国Ⅰ卷·理15）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）. 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为[0.6]，客场取胜的概率为[0.5]，且各场比赛结果相互独立，则甲队以[4] [∶] [1]获胜的概率是      .

分析：该题以“篮球比赛的赛制”为背景，是真实的问题情境. 甲队常规赛成绩占优，因此主场比赛次数要比乙队多一次. 若甲队以[4] [∶] [1]获胜，则说明只打了五场比赛就结束了，主客场顺序是“主主客客主”. 简单分析后得知，甲在前四场比赛中输掉了一场，有[C14]种可能，在第五场比赛中获胜，最终结束比赛.

解：若甲第一场输，则概率为[0.4×0.6×0.5×0.5×][0.6=0.036];

若甲第二场输，则概率为[0.6×0.4×0.5×0.5×][0.6=0.036];

若甲第三场输，则概率为[0.6×0.6×0.5×0.5×][0.6=0.054];

若甲第四场输，则概率为[0.6×0.6×0.5×0.5×][0.6=0.054].

因此，甲最终获胜的概率是[0.036×2+0.054×][2=0.18].

与例2相比，该题在考查学生的逻辑思维能力方面要较为强一些，涉及的分类讨论的思想方法要更为深入一些. 总体上来说，该题属于中档题，学生只要具备基本的分析能力就能顺利解决.

变式1：问题改为“甲最终获胜的概率为多少”.

解析：甲最终获胜分为[4] [∶] [0]，[4] [∶] [1]，[4] [∶] [2]，[4] [∶] [3]四种情况，前面两种情况比较简单. 但[4] [∶] [2]獲胜与[4] [∶] [3]获胜的情况就比较复杂，如[4] [∶] [2]获胜就有[C25=10]种情况，而[4] [∶] [3]获胜则有[C36=20]种情况. 分类情况太多，不适宜作为填空题出现.

变式2：若问题改为“若甲队前四场比赛中主场赢了，但客场输了，在这样的情况下甲最终获胜的概率是多少”.

解析：只需要考虑后三场比赛的情况，分为三种情况.

（1）甲队第五、六场比赛赢了，其概率为[0.6×][0.5=0.3];

（2）甲队第五、七场比赛赢了，其概率为[0.6×][0.5×0.6=0.18];

（3）甲队第六、七场比赛赢了，其概率为[0.4×][0.5×0.6=0.12];

故甲最终获胜的概率是[0.3+0.18+0.12=0.6].

二、试题总结

从以上分析可知，要解决此类问题，学生需要做到以下几点.

1. 理解问题中的规则

这需要学生具备较强的数学阅读理解能力. 试题中涉及的规则，有时是大家熟悉的比赛规则，如例2和例3中的乒乓球比赛规则和篮球比赛规则;有时是为了更加符合考查要求进行改良后的比赛规则，如例1中的羽毛球比赛规则.

2. 透过规则看到问题的本质

这需要学生具备良好的逻辑思维能力. 例1中要先分析出比赛最少进行四场，最多进行五场，然后分析什么情况下进行四场，什么情况下进行五场，丙获胜应该是怎样的情况. 把这些分析透了，问题就容易解决了.

3. 具备稳定的心理素质

若问题中涉及的条件、规则较多，学生往往很容易混乱. 例如，对于例1，可能很多学生一看到题目就画树状图，过于紧张就容易出错，还可能不知道列举出来的结果对解决问题有什么作用，特别是比赛可能是四场结束，也可能是五场结束，一乱就容易出错. 因此，需要学生稳定情绪，一步步地找到解决问题的办法.

三、备考建议

“体”是“五育”之一，把体育比赛规则嵌入数学试题中是一种常见的命题方式. 但是，我们不能因此去熟记、背诵各种比赛规则. 命题方式千变万化，我们在备考中要做到以下几点.

1. 充分发挥试题的导向作用

试题中出现“五育并举”的内容，归根结底是提倡学生注重德智体美劳全面发展，即除了具备良好的思想品德与智力水平外，还要发展多方面的兴趣爱好，要有体育运动的习惯，要用美的眼光去审视这个世界.

2. 要加强对概率、统计概念的理解

文[1]中谈到，教师与学生要从更高角度去理解“统计学”与“概率论”，对一些相关概念要创设平台深入解剖，学生不能只是一知半解. 例如，例1是考查学生对独立事件的理解，而例3的变式2则是条件概率问题.

3. 要养成良好的思维分析习惯

拿到一个数学问题，该从何入手？解决问题的关键点与难点在哪里？在备考过程中，学生要从最基本的问题入手，逐渐养成良好的思维习惯. 根据波利亚的解题四步曲，先要弄清楚问题是什么，然后拟定解题计划，再去实现你所想到的解题计划，最后还要进行变式训练及解题反思. 只有这样，学生的思维能力才能得到螺旋式上升，在面对复杂问题时，学生才能从容不迫地应对.

参考文献：

[1]殷木森. 加强概念理解  培养应用意识：以近年全国Ⅰ卷理科“统计概率”解答题为例[J]. 福建中学数学，2019（10）：1-4.

[2]殷木森，曹悍东. 聚焦问题分析  培养解题能力：以2019年高考数学全国卷Ⅰ理科第20题为例[J]. 中学数学教学参考（上旬），2019（10）：68-71.

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