Kumaraswamy分布族参数的经验Bayes检验收敛速度*

黄金超

(滁州职业技术学院基础部,安徽 滁州 239000)

1 EB检验函数的单调性和Bayes判决函数

考虑Kumaraswamy分布模型[9]，设随机变量X条件概率密度

f(x|θ)=αθxα-1(1-xα)θ-1,

(1)

其中θ为未知参数，α>0且为常数.样本空间χ={x|00}.

考虑(1)式中参数θ的EB检验问题

H0：θ≤θ0↔H1：θ>θ0，

(2)

其中θ0>0为已知常数.对假设检验问题(2)，取“线性损失”函数

L(θ,dj)=(1-j)a(θ-θ0)I[θ-θ0>0]+ja(θ0-θ)I[θ-θ0≤0]j=0,1.

其中：a>0且为常数；d0表示接受H0，d1表示否定H0，{d0,d1}=D，D是行动空间；I[A]为集合A的示性函数.

设δ(x)=P(接受H0|X=x)为随机化判别函数.在先验分布G(θ)下，δ(x)的风险函数

(3)

其中

(4)

这里：

(5)

为r.v.X的边缘分布；

(6)

(6)式中，

(7)

α(x)=f(x)(φ(x)-θ0)=(p(x)-θ0)f(x)+q(x)f(1)(x).

(8)

由Cauchy-Schwarz不等式和(6)式可得

(9)

所以对于α>0,0

假定

在这个假定下先验分布G(θ)是非退化的.因为φ(x)是单调递减且连续的，所以由连续函数的介值定理可知必存在点aG∈(0,1)，使得φ(aG)=θ0.又由(8)式可知

α(x)≤0⟺φ(x)≤θ0⟺x≥aG，

α(x)>0⟺φ(x)>θ0⟺x

故由(3)式可知Bayes判决函数

(10)

其Bayes风险

(11)

(11)式中，当先验分布G(θ)已知，δ(x)=δG(x)时，R(G)是可以达到的.但此处G(θ)未知，所以δG(x)也未知，从而δG(x)无使用价值，于是考虑引入EB检验方法.

2 EB检验函数的构造

设X1,X2,…,Xn和X是iid样本，通常称X1,X2,…,Xn为历史样本，称X为当前样本.令f(x)为X1的概率密度函数(形如(5)式)，iid样本作如下假定：

(T1)f(x)∈Cs,α，Cs,α为R1中的一族概率密度函数，其s阶导数存在且|f(x)|≤α，s≥3为正整数.

令Kr(x)(r=0,1,…,s-1)是有界的Borel可测函数，在(0，1)之外为0，且满足如下条件：

假定先验分布G(θ)非退化，且属于下列先验分布类：

(T4)Γ(A1,A2)={G(θ)|0

假设Γ(A1,A2)={G(θ)|0φ(aG)=θ0>φ(A2).文后会举例说明先验分布的集合Γ(A1,A2)不会是空集.

记f(0)(x)=f(x),f(r)(x)表示f(x)的第r阶导数，r=0,1,…,s.类似文献[2]，定义f(r)(x)的递归核估计

(12)

(13)

由(8)式定义α(x)的估计量

(14)

由先验条件(T4)给出的A1，A2，结合(10)式，定义EB检验函数

(15)

EB检验构造方法参照文献[5].

令En表示对r.v.X1,X2,…,Xn的联合分布求均值，则δn(x)的全面Bayes风险

(16)

假设本研究中的c,c1,c2,…,M1,M2为正常数.

证明由Cr不等式可知，对于r=0,1，有

(17)

由核函数的性质可知

(18)

由Taylor展开可得

(19)

将(19)式代入(18)式可得

由f(x)∈Cs,α及|Kr(t)|≤C可知

(20)

于是

(21)

(22)

将(21)，(22)式代入(17)式，结论成立.证毕.

3 EB检验函数的收敛速度

证明由(11)，(16)式可知

(23)

由(8)，(14)式及Cr不等式、引理1可知

(24)

由(10)，(15)式可知，当x∈(0,A1)时，δn(x)=0,δG(x)=0，当x∈(A2,1)时，δn(x)=1,δG(x)=1.于是En(δn(x))-δG(x)=0，从而

(25)

(26)

当x∈(A1,aG)时，由(10)，(15)式可知δG(x)=0,Enδn(x)=P(αn(x)>0).由Markov不等式和(24)式可得

(27)

同理可证

(28)

将(25)～(28)式代入(23)式，可得

证毕.

4 举例

(1)式中，取θ的先验分布

g(θ)=γe-γθI[θ>0]，

其中γ为任意给定的参数，γ≥1，于是

(29)

由(29)式易知条件(T1)成立.再假定条件(T2)，(T3)成立，所以只需验证(T4)成立即可.由(6)式可得

A1=max{10-8,aG-0.01},A2=min{1-10-8,aG+0.01},

即条件(T4)成立，从而定理2成立.