基于数学核心素养的一类三角形问题的向量解法探究

许美娟 葛文明

摘要 本文以一道三角形问题为引例，利用向量中常用的几种方法由浅入深地衍生出一系列与之相关的问题，探求一类与三角形相关的向量数量积问题的求解通法，在层层递进的追问设计下，让学生体会数形结合和由特殊到一般的数学思想，提升学生的数学核心素养。

关键词 数量积 数形结合 数学核心素养

一、引言

2017年新课标首次提出了数学区别于其他学科的核心素养，包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力。数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。

作为高中数学发现数学结论和解决数学问题的核心素养之一，直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。它的主要表现是建立数与形的联系，利用几何图形描述问题，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

向量是近代数学引入的一个新概念，它兼具着代数和几何的双重身份，因此向量必然成为培养直观想象核心素养的完美载体，既可形思数，又可数化形，更可以两者有机结合，充分展现数形结合的美，培养学生数形结合的思想。华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”直观想象依据几何图形研究平面或空间位置关系及变化规律时提供了形象思维，因此向量借助一些基本图形可以快速准确地求解相关问题。

向量数量积是高中数学全新的一种运算，对学生的认知有很大挑战，学生在遇到稍微复杂点的向量数量积的时候经常束手无策，无法找到解题的突破口。本节课选取一个案例来讲述该内容讲解时可以步步为营，与学生一同创生出一系列动态生动的教学活动，探寻由一个具体问题逐步衍生出解决一类问题的思维方法，让学生充分感受到由特殊到一般的数学思想，感受数学的本质，从而达到提升思维能力，促进数学核心素养发展的目的。

2.关于教学过程的反思

本节课学生解决该问题的难点是如何解决关于定向量到动向量的数量积运算。事实上，老师帮助学生认识条件中外心或动点仅仅是一个障眼法，抓住问题的本质就扫除了这个麻烦。在师生互动过程中，老师重在帮助学生理解条件的内涵及外延，不能只看重表象，要注意引领学生理解问题的本质。以上一系列向量数量积问题得以求解本质是平面向量基本定理：如果e₁，e₂是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ₁，λ₂，使a=λ₁e₁+λ₂e₂。即所有例题和变式中的向量都转化为基底运算，所以学生对于用三角形的邻边作为向量常用基底的基本图形要有直观感受，在分析问题时能作出快速反应。

毫无疑问，在老师的引领下，学生若能经常如此锤炼思维，就能够对自己的思维进行理性思辨，从而提高思维深度。生生互动的过程中，学生进行激烈思辨的同时，老师善于捕捉契机，引导学生渐入佳境，逐步探求问题的本质。特别是引导学生思考几个问题之间的联系，把前面所用的方法迁移到变式所用，形成思维的统一及方法的归一，本质上也是实现了师生互动与生生互动在不同层次、不同视域的融合。当然，对于学生最后的突发奇想没有认为是节外生枝，而是及时进行了动态的呈现，给课堂提供了无比宝贵的教学资源，让课堂焕发出生动的活力。

3.关于教学理念的反思

著名的数学教育家弗赖登塔尔认为，“将数学作为一种活动来解释和分析，学习数学唯一正确的方法是让学生‘再创造，即数学知识应该由学习者本人去发现或创造，教师的任务是帮助和引导学生进行‘再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生。因此，数学教学方法的核心是学生的‘再创造，让学生成为名副其实的学习主人。”

当然，直观想象的核心素养绝对不等同于数形结合。在对数學问题认识的过程中，我们经常需要借助于事例进行分析，帮助学生实现由直观到抽象的理解。例如：生活中会遇到“糖水加糖甜更甜”，这就给学生一个直观想象去研究不等式，从函数的角度理解为当一个量在增大时，另一个量也随之增大，函数单调递增，这就实现了由特殊模型直观想象过渡到一般模型帮助我们理解，研究的是事物的变化规律，但是并没有图形出现其中。再比如，教材列举了细胞分裂和放射性元素的衰变规律，都是特殊的等比数列模型，针对等比数列让学生通过实例直观感受特殊模型，再过渡到一般模型。在直观想象过程中没有图形出现，因此直观想象核心素养相比于数形结合范畴更大。

四、结语

布鲁纳指出，掌握基本的数学思想方法能使数学更易于理解和更易于记忆，领会基本数学思想方法是通向迁移大道的光明之路。总之，数学思想方法是数学的灵魂和精髓。我们在中学数学教学中，应努力体现数学思想方法，不失时机地向学生渗透核心素养，学生方能在解决问题时自觉运用数学思想方法分析问题、解决问题，提高分析问题和解决问题的能力。

数学素养是在掌握数学知识的基础上，在数学活动中逐步养成的。教师应当善于将核心素养的培养贯穿于数学活动当中，引导学生不断提升自己的能力，深化学科核心素养。