基于改进粒子群算法的齿轮传动优化设计研究*

王 纯，韩加好，吉 庆

(连云港职业技术学院 机电工程学院，江苏 连云港 222000)

0 引 言

因其具有传动效率高、可靠性高等优点,齿轮传动被广泛应用在机械设备的传动系统中。随着可靠性设计等设计方法的迅速发展，以及粒子群算法(particle swarm optimization algorithm，PSO)等智能优化算法的出现，为齿轮传动这类非线性优化设计问题提供了新的优化设计方法[1-5]。

粒子群算法[6]是在1995年，由美国的KENNEDY J博士和EBERHART R博士受鸟类群体行为的启发而共同提出的一种智能优化算法。自粒子群算法被提出后，因其具有收敛速度较快、编码易实现等优点,受到许多专家学者的关注；同时，因其参数较少，进一步降低了PSO算法的复杂度。但是该算法也存在容易陷入局部极值、早熟收敛等缺点。

许多专家学者对PSO算法进行了深入研究，并针对其缺陷进行了改进。SHI Y等[7]在算法模型中引入惯性权重系数，对速度更新方程进行了改进，这种方式随后被广泛应用并得以验证。在改进惯性权值思想的引导下，研究人员EBERHART R等[8，9]提出了线性递减权值(LDIW)策略、随机惯性权值策略(RIW)。陈贵敏等[10]在线性递减权值策略的基础上，提出了3种非线性的权值递减策略。

为使粒子群算法达到全局探索与局部开采两者之间的有效平衡，CLERC M[11]构造了引入收缩因子的PSO模型[12]。EBERHART R等[13]分析了比较惯性权重系数和收缩因子对算法性能的影响，并认为收缩因子能更有效地控制约束粒子的飞行速度，有利于提高算法的收敛速度，增强算法的搜索能力。

为加快PSO算法的收敛速度，减小迭代次数，本文提出一种带收缩因子的线性递减权重粒子群算法(W-CPSO)，并利用该算法对齿轮传动系统多目标可靠性优化设计模型进行求解，以验证W-CPSO算法对齿轮传动的优化设计的有效性，为齿轮传动优化设计提供参考。

1 改进的粒子群算法

1.1 基本粒子群算法

设D维函数优化问题为：

minf(x1,x2,…,xD)
s.t.ai≤xi≤bi

(1)

粒子群的基本参数如下：

粒子群中由n个粒子组成，第i个粒子表示一个D维向量xi=(xi1,xi2,…,xiD)T,{i=1,2,…,n},第i个粒子的速度vi=(vi1,vi2,…,viD)T,

个体极值为pi=(pi1,pi2,…,piD)T,全局极值pg=(pg1,pg2,…,pgD)T。

速度和位置更新公式为：

vij(t+1)=vij(t)+c1r1[pij-xij(t)]+
c2r2[pgj-xij(t)]

(2)

xij(t+1)=xij(t)+vij(t+1),j=1,2,…D

(3)

式中：c1，c2—学习因子；r1，r2—0～1之间均匀分布的随机数。

1.2 改进的粒子群算法

1.2.1 线性递减惯性权重的PSO算法

在基本粒子群优化算法基础上，SHI Y等学者在1998年对公式(2)进行了修正，引入惯性权重因子ω，即：

vij(t+1)=ωvij(t)+c1r1[pij-xij(t)]+
c2r2[pgj-xij(t)]

(4)

惯性权重因子ω既可以影响微粒的局部寻优能力，又可以影响微粒的全局寻优能力。这里采用线性递减惯性权重，即：

(5)

式中：ωmax，ωmin—ω的最大值，最小值；t—当前迭代步数；tmax—最大迭代步数。

1.2.2 引入收缩因子

CLERC M等将收缩因子φ引入PSO算法，不仅证明了收缩因子有助于确保粒子群算法收敛，还提高了PSO算法的收敛速度；同时在一定程度上增强了PSO算法跳出局部最优解的能力。

因此，为加快算法的收敛速度，减小迭代次数，在公式(4，5)的基础上引入收缩因子，即：

vij(t+1)=φ{ωvij(t)+c1r1[pij-xij(t)]+
c2r2[pgj-xij(t)]}

(6)

式中：φ—收缩因子。

其中：

(7)

收缩因子φ与参数C的函数关系曲线，如图1所示。

图1 收缩因子φ与参数C的函数关系曲线

收缩因子φ控制粒子群算法的搜索能力。通过选取适当的收缩因子φ的值，可使PSO算法迅速搜索而快速收敛，进而提高PSO算法的收敛速度，增强算法的搜索能力。

CLERC M等提出，当C=4.1时，粒子群算法的收敛性能较好。笔者将C=4.1代入式(7)中，计算得到φ≈0.729。

综上所述，笔者以基本粒子群算法为基础，将线性递减惯性权重和收缩因子引入算法中，有利于提高算法的收敛速度，增强算法的搜索能力。

1.3 改进粒子群算法的流程

为加快PSO算法的收敛速度，减少迭代次数，笔者将收缩因子和线性递减惯性权重引入到PSO算法，故称之为带收缩因子的线性递减权重粒子群算法(W-CPSO)。

其具体的流程如下：

Step1：初始化种群—设定初始种群N，种群规模D，迭代步数M。初始化种群各微粒的速度和位置，设定各微粒当前历史最优位置pbest、微粒群全局最优位置gbest；

Step2：计算每个微粒的目标函数值，即适应值；

Step3：根据速度和位置更新式(6)和式(3)来调整微粒的速度和位置；

Step4：比较种群每个微粒当前位置的适应值与其经历过最好位置pbest的适应值，如果当前适应值更优，则将其当前位置作为pbest；否则pbest不变；

Step5：比较每个微粒的适应值与全体微粒所经历的最好位置gbest的适应值，如果优于gbest的适应值，则更新gbest的值，否则gbest不变；

Step6：若满足终止条件，算法停止，否则返回Step3。

2 基于W-CPSO的齿轮传动优化设计

此处以某二级斜齿圆柱齿轮传动机构为例，其具体参数分别为：

功率P=6.4 kW，转速n=1 460 r/min，总传动比i=31.5；工况中等冲击；每天工作10 h～12 h，使用寿命为15年；精度为8级。

2.1 确定设计变量

对于二级斜齿圆柱齿轮传动系统可靠性优化设计来说，涉及设计参数及影响因素较多，为了使问题简化，此处选取齿轮的主要参数作为优化设计的设计变量[14-17]：

X=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7]T=
[mn1,mn2,z1,z3,i1,β1,β3]T

(8)

式中：mn1，mn2—高、低速级齿轮法向模数，mm；z1，z3—高、低速级的小齿轮齿数；i1—高速级传动比；β1，β3—斜齿轮的螺旋角,°。

2.2 目标函数的确定

根据齿轮传动的设计要求，在减轻重量降低成本的同时，也要兼顾传动的平稳性、可靠性。因此，此处选取体积最小、重合度相反数最小为该设计的目标函数：

(1)体积：

(9)

式中：φd1，φd2—高速级，低速级齿宽系数；i—总传动比。

(2)重合度：

(10)

2.3 统一目标函数

此处采用线性加权组合法将多目标问题转换成单目标问题，权重系数分别取0.7和0.3。另外，二级斜齿圆柱齿轮传动系统优化设计数学模型的两个目标函数(重合度和体积)函数值数量级差异较大，即：单对齿轮的重合度函数值为1～2，而体积函数值的数量级为106。

综上所述，统一后的目标函数为：

minf(x)=min[ω1f1(x)+ω2×106×(5+f2(x))]

(11)

2.4 约束条件的确定

(1)齿数约束

根据不发生根切最小齿数要求及设计经验，对斜齿圆柱齿轮的齿数进行限制：

g1(x)=17cos3x6-x3≤0

(12)

g2(x)=17cos3x7-x4≤0

(13)

(2)模数约束

斜齿圆柱齿轮的模数需满足：

g3(x)=2-x1≤0

(14)

g4(x)=2-x2≤0

(15)

(3)螺旋角约束

螺旋角的取值范围8°≤β≤20°：

g5(x)=8-x6≤0

(16)

g6(x)=x6-20≤0

(17)

g7(x)=8-x7≤0

(18)

g8(x)=x7-20≤0

(19)

(4)几何干涉约束

根据设计要求，高速级大齿轮(齿轮2)与低速轴(输出轴)不发生干涉的条件为：

(20)

式中：a2—低速级中心距，mm；E—低速级轴半径，mm；da2—高速级大齿轮齿顶圆直径，mm。

(21)

(5)可靠性约束

根据设计要求及经验可知：接触疲劳强度的可靠度μ需不小于0.999，弯曲疲劳强度的可靠度μ也需不小于0.999，即：

[μ]H-μH≤0
[μ]F-μF≤0

(22)

根据应力—强度干涉理论可知：可靠度系数μR与可靠度存在一一对应关系，即：

[μ]RH-μRH≤0
[μ]RF-μRF≤0

(23)

根据给定的可靠度指标[μ]H和[μ]F的值，查正态分布表，可得[μ]RH和[μ]RF为3.093。

两级齿轮使用的材料均为40Cr渗碳淬火，齿面硬度为55HRC，查表得:SlnσHS=0.1；σHS=1 200 MPa。

(24)

同理，查表得SlnσFS=0.2；σFS=720 MPa。

(25)

式中：SlnσFS—齿轮弯曲疲劳极限的对数标准差；σFS—齿轮齿根弯曲疲劳极限。

根据公式：

(26)

根据公式：

(27)

根据公式：

(28)

通过计算，可得：

(29)

根据公式：

(30)

计算得：

(31)

再根据公式：

(32)

(33)

代入公式并整理，可得高速级齿轮齿面接触疲劳可靠性约束：

(34)

高速级齿轮齿根弯曲疲劳可靠性约束为：

(35)

同理，可得低速级齿轮齿根弯曲疲劳可靠性约束为：

(36)

低速级齿轮齿面接触疲劳可靠性约束为：

(37)

2.5 优化结果分析

笔者采用PSO、W-CPSO算法对该实例中二级斜齿圆柱齿轮传动系统进行多目标可靠性优化设计，并对设计的结果进行圆整，得到优化结果

各算法优化结果如表1所示。

表1 各算法优化结果

根据表1可知：

采用PSO算法，体积为2.31×106mm3，重合度5.56；采用W-CPSO算法，体积为1.94×106mm3，重合度5.59。

另外，高速级小齿轮当量齿数zv1=z1/cos3β1=16/cos312.2°=17.13>17(不发生根切)；

低速级小齿轮当量齿数zv3=z3/cos3β3=15/cos313.9°=16.5<17(发生根切)，为使低速级小齿轮不发生根切,小齿轮采用正变位。

PSO算法和W-CPSO算法适应度函数变化曲线如图2所示。

图2 PSO和W-CSO适应度函数变化曲线

根据图2分析可知：

PSO算法在约170代时找到了最优解，而W-CPSO算法在约100代时找到了最优解，迭代次数减少，收敛速度加快。

笔者将各算法优化结果与原设计结果进行了比较，比较结果如表2所示。

表2 各算法优化结果比较表

根据表2对比可知：

(1)经PSO算法、W-CPSO算法优化后，与原设计比较，齿轮体积分别减少了28.3%、39.8%；(2)齿轮重合度分别增加了6.7%、7.3%。

优化结果表明，W-CPSO算法对二级斜齿圆柱齿轮传动系统优化设计的结果合理，效果最好。

3 结束语

本文通过分析 ,得到了二级斜齿圆柱齿轮传动系统可靠性优化设计的目标函数及约束条件 ,确定了该齿轮传动系统可靠性优化设计的设计变量 ,建立了可靠性优化设计的数学模型；并利用带收缩因子的线性递减权重粒子群算法(W-CPSO)求解速度更快、精度更高的特点，对二级斜齿圆柱齿轮传动系统可靠性优化设计的数学模型进行了求解。

研究结果显示：经优化设计，齿轮传动系统的体积减少了39.8%，重合度增加了7.3%；在实现了二级斜齿轮传动系统轻量化的同时，也保证了传动系统较高的承载能力，使传动更平稳；该结果可为齿轮传动系统的优化设计提供一定的参考。