基于有限元法的双渐开线齿轮啮合刚度计算*

樊智敏，江 峰，马瑞磷，王明凯，徐 俊

(青岛科技大学 机电工程学院，山东 青岛 266061)

0 引 言

齿轮刚度激励是齿轮系统的重要激励形式之一，时变啮合刚度的周期性变化会导致齿轮系统呈现出强烈的非线性特征。因此，确定齿轮时变啮合刚度对研究齿轮系统动力学特性有重要意义。

目前，国内外学者分别采用不同方法对齿轮时变啮合刚度计算进行了大量研究。LIANG X H等[1]推导了齿面点蚀直齿轮的啮合刚度方程，研究了齿面点蚀对齿轮啮合刚度的影响，并将该方法与有限元法进行了比较，验证了该方法在齿轮刚度计算中的有效性；SUN Y N等[2]基于薄片假设，建立了修正的圆柱齿轮副啮合刚度计算模型，分析了齿宽和转矩对齿轮时变啮合刚度的影响；WANG Q B等[3]采用积分势能法求解斜齿轮啮合刚度，研究了螺旋角对啮合刚度的影响；MOHSEN R等[4]提出了一种斜齿行星齿轮系统啮合刚度计算公式，并与有限元法进行了对比，发现当螺旋角小于15°时，两种方法吻合较好；CAI Y[5]对斜齿轮啮合刚度计算公式进行了修正，通过与实验结果对比，验证了计算方法的准确性；唐进元等[6]基于有限元法求解了螺旋锥齿轮的单齿、多齿综合啮合刚度，研究了不同载荷对啮合刚度的影响规律；HUANGFU Y F等[7]基于切片法，提出了一种采用“偏移叠加”思想的斜齿轮啮合刚度计算方法，并与有限元法和传统解析法比较，发现该方法效率高、吻合性好；YU W N等[8]建立了一种时变非对称啮合刚度模型，分析了齿顶修形对啮合刚度的影响；WANG J等[9]研究了直齿轮裂纹深度对其啮合刚度的影响；贵新成等[10]基于势能法建立了高重合度摆线内齿轮副的啮合刚度模型，分析了不同负载转矩下齿轮刚度的变化规律；CHENG G等[11]基于三维线性接触混合弹流润滑模型和粗糙表面接触刚度计算方法，提出了一种在混合润滑下齿轮啮合刚度的计算方法，分析了转速、外载荷以及粗糙度幅值对齿轮啮合刚度的影响；HAN L等[12]将切片法与离散积分法结合，研究了轮齿缺陷对斜齿轮啮合刚度的影响。

目前有关于双渐开线齿轮的研究主要针对弯曲刚度、接触刚度的方面，尚未有双渐开线齿轮时变啮合刚度变化规律的系统研究。

本文基于有限元法建立双渐开线齿轮啮合刚度计算模型，研究不同齿宽下主、从动轮齿面综合弹性变形、单齿刚度、单齿啮合刚度的变化规律，对比分析同参数、同工况条件下，双渐开线齿轮与普通渐开线齿轮时变啮合刚度的差异，为后续双渐开线齿轮非线性动力学分析奠定基础。

1 双渐开线齿轮基本齿廓

双渐开线齿轮是一种综合了双圆弧齿轮优点和渐开线齿轮优点的新型齿轮，其齿廓由两段相错的渐开线组成，两段渐开线中间以一段圆弧过渡曲线连接，齿顶渐开线与齿根渐开线呈分阶式布置[13]。双渐开线齿轮与普通渐开线齿轮相比，齿根增厚，齿顶变薄。

双渐开线齿轮基本齿廓如图1所示。

图1 双渐开线齿轮基本齿廓αa,αd—齿顶、齿根的齿形角；齿顶、齿根切向变位系数；齿腰过渡圆弧的齿顶、齿根高度系数；ρf,ρg—齿根、齿腰过渡圆弧半径；齿顶高系数；c*—顶系系数

2 双渐开线齿轮啮合刚度的计算

齿轮单齿刚度计算公式[14]为：

(1)

式中：Fn—齿面法向接触力，N；δn—齿面综合弹性变形，mm。

齿面综合弹性变形一般包括赫兹接触产生的齿面接触变形δh、轮齿弯曲产生的弯曲变形δb以及支撑变形δf等，其计算方法为：

(2)

单齿啮合刚度k是指一对轮齿接触时的综合刚度，两个轮齿通过串联耦合构成单齿接触对，其计算公式为：

(3)

式中：kn1，kn2—主、从动轮单齿刚度，N·m-1。

多齿对啮合过程中，各对轮齿之间为并联耦合，在某一瞬时同时参与啮合的轮齿对单齿啮合刚度的叠加，称为齿轮系统在该时刻的综合啮合刚度，齿轮副综合啮合刚度K计算公式为：

(4)

式中:ki—第i对齿单齿啮合刚度，N·m-1；n—同时啮合的齿对数。

3 双渐开线齿轮有限元分析

根据啮合刚度计算公式求解双渐开线齿轮啮合刚度，需先求得齿面接触力Fn和齿面综合弹性变形量δn。笔者采用Hypermesh-ABAQUS联合仿真进行求解。

3.1 双渐开线齿轮网格模型的建立

双渐开线齿轮齿廓参数如表1所示。

表1 双渐开线齿轮齿廓参数

根据表1中双渐开线齿轮的齿廓参数，笔者采用MATLAB数值计算法，对双渐开线齿轮端面齿廓方程进行求解，将求解的端面齿廓曲线离散为均分的数据点，把数据点坐标导入三维建模软件SolidWorks中，建立双渐开线齿轮三维模型。

双渐开线齿轮三维模型如图2所示。

图2 双渐开线齿轮三维模型

进行接触动力学分析时，会存在多重迭代计算，分析齿轮全齿模型耗费时间长等情况。通过对双渐开线齿轮重合度计算，得出重合度ε介于2～3之间，由此可知双渐开线齿轮处于3齿对与2齿对交替啮合状态。同时，为避免边缘刚体耦合作用，将双渐开线齿轮三维模型切分为5齿对啮合模型，并导入HyperMesh中，进行网格划分。

双渐开线齿轮网格模型如图3所示。

图3 双渐开线齿轮网格模型

3.2 双渐开线齿轮有限元分析前处理

将Hypermesh划分的双渐开线齿轮5齿对网格模型导入ABAQUS有限元软件中进行分析。

ABAQUS有限元分析前处理步骤：

(1)材料属性定义。设置主、从动轮密度为7 800 kg/m3，弹性模量为210 GPa，泊松比为0.3；

(2)单元类型的选取。双渐开线齿轮啮合面为螺旋渐开面，在网格划分时必将出现网格扭曲，为避免网格变形对计算结果精度的影响，选择八节点六面体一次缩减积分单元C3D8R；

(3)分析步的设置。将齿轮齿面离散为有限单元网格，会导致在接触区域产生微小间隙。为保证接触收敛，本文设置两个分析步(两个分析步的类型均为static，general)，第1个分析步施加微小转动量，保证齿轮齿面接触，第2个分析步施加Moment载荷，进行静态接触分析；设置计算步长为0.1；

(4)接触定义。此处定义接触类型为面对面接触，定义法向接触为“硬接触”，其他保持默认；定义切向接触为“罚”，设置摩擦系数为0.03，定义接触对时，应将接触的轮齿分别定义接触对，以避免计算不收敛；

接触对设置如图4所示。

图4 接触对设置

(5)耦合作用定义。在ABAQUS中，三维实体单元一般只有平移自由度，不具有旋转自由度。为施加Moment载荷，在主、从动轮轴线上定义参考点，将齿轮齿圈内表面分别与两个参考点进行耦合，以建立耦合约束；

耦合作用设置如图5所示。

图5 耦合作用设置

(6)载荷和边界条件施加。在从动轮参考点上约束全部6个自由度，在主动轮参考点上约束除轴向旋转外5个自由度；在主动轮参考点上设置Moment载荷为20 MN·m。

3.3 有限元计算结果分析

采用ABAQUS进行有限元分析，可以求出齿面接触力分布及齿面节点综合弹性变形。

齿面接触力和综合弹性变形的提取如图6所示。

图6 齿面接触力和综合弹性变形的提取

由图6可知：齿面接触区内各个节点的弹性变形量不同，此处对各个节点取平均值，以此作为齿轮综合弹性变形；同时，为防止刚体转动位移对齿轮综合弹性变形的影响，笔者采用两次加载的方法，以消除刚体的位移。

笔者通过旋转轮齿可得到双渐开线齿轮副不同啮合位置，采用有限元分析求解齿面法向接触力和综合弹性变形，通过式(1～4)可求得双渐开线齿轮单齿刚度、单齿啮合刚度以及综合啮合刚度。

4 啮合刚度计算方法验证

为研究该计算方法的正确性，笔者根据文献[15]所述的直齿轮齿廓参数进行建模。

直齿轮齿廓参数如表2所示。

表2 直齿轮齿廓参数

根据表2直齿轮齿廓参数，计算得到的直齿轮副啮合刚度如图7所示。

图7 直齿轮副啮合刚度

将本文计算方法求解的最大啮合刚度、最小啮合刚度，与已有文献、ISO6336：2006计算结果进行对比，不同方法求解的啮合刚度数值如表3所示。

表3 不同方法求解的啮合刚度数值

由表3可知：采用本文所述方法计算的最大啮合刚度、最小啮合刚度与已有文献近似，与ISO计算公式求解结果偏差小于6%；由此验证了本文计算方法的正确性。

5 结果与分析

5.1 不同齿宽下主、从动齿轮综合弹性变形规律

齿宽取40 mm、50 mm时，双渐开线齿轮的主、从动轮综合弹性变形规律如图8所示。

图8 主、从动轮综合弹性变形规律

由图8可知：一个啮合周期内，主动轮综合弹性变形逐渐增大，从动轮综合弹性变形逐渐减小，齿宽越大，综合弹性变形越小。

5.2 不同齿宽下主、从动轮单齿刚度、单齿啮合刚度的变化规律

齿宽取40 mm、50 mm时，齿轮单齿刚度、单齿啮合刚度变化规律如图9所示。

图9 单齿刚度、单齿啮合刚度变化规律

由图9(a，b)可知：主、从动轮单齿刚度先增大后减小，且单齿刚度最大值靠近齿根啮合区；主动轮单齿刚度增大区域小于单齿刚度减小区域，从动轮单齿刚度增大区域大于单齿刚度减小区域，其原因是在啮合周期内，从动轮齿顶先参与啮合，啮合点从齿顶啮合区过渡到齿根啮合区，综合弹性变形随时间的变化逐渐减小，主动轮齿根先参与啮合，啮合点从齿根啮合区过渡到齿顶啮合区，综合弹性变形随时间的变化逐渐增大；

主、从动轮单齿刚度、单齿啮合刚度随齿宽的增大而增大，原因是齿宽增大使双渐开线齿轮轴向重合度增大，沿接触线长度单位线载荷减小，综合弹性变形减小，从而使啮合刚度增大。

5.3 双渐开线齿轮与普通渐开线齿轮时变啮合刚度对比分析

笔者采用6次多项式对齿宽为50 mm的单齿啮合刚度进行了拟合，并根据重合度对单齿啮合刚度进行了叠加，得到了综合啮合刚度。

同参数、同工况条件下，双渐开线齿轮与普通渐开线齿轮的单齿啮合刚度、综合啮合刚度对比分析结果如图10所示。

图10 单齿啮合刚度、综合啮合刚度对比分析

由图10可知：

(1)在啮入、啮出端，双渐开线齿轮与普通渐开线齿轮单齿啮合刚度差别不大，但双渐开线齿轮由于齿腰分阶，接触线长度变短，单位线载荷减小，导致啮合刚度小于普通渐开线齿轮；

(2)双渐开线齿轮综合啮合刚度变化规律与普通渐开线齿轮近似，均呈周期性变化；

(3)双渐开线齿轮综合啮合刚度小于普通渐开线齿轮，双渐开线齿轮的刚度波动幅值为0.972×108N·m-1,普通渐开线齿轮的刚度波动幅值为0.976×108N·m-1，双渐开线齿轮综合啮合刚度波动幅值略低于普通渐开线齿轮。这个结果在一定程度上说明，双渐开线齿轮在传动时的减振、降噪效果优于普通渐开线齿轮。

6 结束语

笔者基于有限元法，建立了双渐开线齿轮啮合刚度计算模型，研究了不同齿宽下主、从动轮齿面综合弹性变形、单齿刚度、单齿啮合刚度的变化规律，对比分析了同参数、同工况条件下双渐开线齿轮与普通渐开线齿轮时变啮合刚度的差异。

研究得到以下结论：

(1)齿宽增大会使双渐开线齿轮轴向重合度增大，沿接触线长度单位线载荷减小，弹性变形减小；齿轮副啮合过程中，主动轮齿根最先接触，啮合点逐步从齿根啮合区过渡至齿顶啮合区，主动轮曲率先增大后减小，综合弹性变形逐渐增大，从动轮齿顶最先接触，啮合点从齿顶啮合区逐步过渡至齿根啮合区，综合弹性变形逐渐减小；

(2)双渐开线齿轮主、从动轮单齿刚度先增大后减小，单齿刚度最大值靠近齿根啮合区，综合弹性变形越小，单齿刚度和单齿啮合刚度越大；

(3)在啮入、啮出端，双渐开线齿轮与普通渐开线齿轮单齿啮合刚度差别不大，双渐开线齿轮在齿腰分阶位置，接触线变短，单位线载荷减小，双渐开线齿轮单齿啮合刚度、综合啮合刚度小于普通渐开线齿轮，双渐开线齿轮综合啮合刚度波动幅值略小于普通渐开线齿轮。