玉经雕琢方成器酒酿数载十里香*——记一道圆锥曲线试题的命制过程

广东省深圳市深圳高级中学(518040)周田虎

试题已知圆M:(x+1)2+y2=16,动圆P过定点N(1,0)且与圆M内切,圆心P的轨迹为曲线C.

(I)求曲线C的方程;

(Ⅱ)曲线C上三个不同动点P、E、F,满足直线PE与PF的倾斜角互补,记P关于x轴的对称点为P′,线段EF中点为H.证明:P′,H,O三点共线.

这是笔者在参加2020年深圳市高考数学模拟试题命题比赛中命制的一道试题.该题具有全国I 卷命题风格,考查相关的数学核心素养与关键能力,受到众多名师和一线教师的好评.下文将详细叙说该题的背景,打磨过程与教学启示.

1 试题背景

命题要求以下面一题为“题根”,将其改编成一道新的解析几何综合试题,试题可设置两问,难度为全国高考压轴题难度(难度系数在0.35 左右).

原题已知椭圆C经过点两个焦点为(−1,0)、(1,0).

(I)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)E、F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.

随着新高考方案的实施,高考数学命题理念和考查内容都发生了显著的变化,命题理念从“知识立意”“能力立意”向“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”转变,注重数学本质,突出理性思维,科学考查数学必备知识、关键能力和数学素养,体现核心价值,新增“考查考生的人文精神与素养,引导其实现德智体美劳全面发展”、增加应用背景、关注社会热点,要求学生在做题中达到“脑中有‘形’——直观想象;心中有‘数’——数学抽象;手中有‘术’——数学建模、数据分析;解题有‘路’——逻辑推理、数学运算”.

笔者统计分析近5年全国I 卷圆锥曲线试题,发现有如下特点:

1.圆锥曲线的解答题侧重考查椭圆、抛物线及圆与直线位置关系,并要求运用解析法探索某几何性质;

年份2016 2017 2018 2019 2020理科20.椭圆与圆(轨迹)20.直线与椭圆中的定点问题19.直线与椭圆定值问题19.直线与抛物线弦长问题20.直线与椭圆中的定点问题

2.一般第一问利用圆锥曲线的定义求曲线方程,第二问是最值与范围、定值定点、弦长等几何问题,因此它承载的是代数中数形结合的思想,体现解析法的本质;

3.不刻意回避常见知识与方法,反复考查(如中点弦的斜率公式、弦长公式).

2 命制过程

首先观察、分析、解答原题,从解题中提炼出一般性结论与方法,通过几何画板等数学软件验证结论的正确性,并归纳出其他相关几何性质(结论).尝试设置与调整不同的设问形式,使其更符合考查要求和难度,最后输入电子版试题和答案,并反复优化打磨.命题基本流程如图1:

图1

首先第一问,求圆锥曲线方程的方法一般有定义法、待定系数法、伸缩变化等.本题最初这样设问:平面内定点A(1,0),动点M满足以线段MA为直径的圆与圆O:x2+y2=4 相切,求动点M的轨迹方程.但这样设置起点比较高,不利于学生作答.通过参考2013 高考新课标全国卷I 第20 题:已知圆M:(x+ 1)2+y2=1,圆N:(x−1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C,求C的方程.并在探索中发现,当两圆相内切时|OO1|=R−r,即|OO1|+r=R.固定R,让内切圆过定点,则内切圆圆心轨迹为椭圆(见图2),因此本题第一问最终这样设问:已知圆M:(x+1)2+y2=16,动圆P过定点N(1,0)且与圆M内切,圆心P的轨迹为曲线C,求曲线C的方程;

图2

第二问是圆锥曲线中一个经典结论:圆锥曲线C上的定点P,E,F是圆锥曲线C上的两个动点,若直线PE的斜率与PF的斜率互为相反数,则直线EF的斜率为定值.特别地,对于椭圆,已知椭圆上的定点P(x0,y0),若直线PE的斜率与PF的斜率互为相反数,则因此就有这样几个设问的想法:

(Ⅱ)记P关于x轴的对称点为P′,证明直线EF与曲线C在P′处的切线平行.通过本结论可以用尺规作椭圆上一点的切线.学生在解答本题时就必须具有“几何特征分析”的能力和“等价转换”的能力,这样才能实现化繁为简,化难为易,化未知为已知.但在解答中需要求过椭圆上一点的切线方程甚或隐函数求导,涉嫌超纲.

(Ⅲ)几何画板演示时发现,当EF长度愈来愈短时,线段EF的中点H就愈来愈接近P′,此时笔者想到探索当点P在椭圆上运动时,P关于x轴的对称点为P′、线段EF中点H及坐标原点O是否共线.几何画板展示得出:P′,H,O三点共线.因此本题第二问最终的设问形式定为:若曲线C上的三个不同动点P,E,F,满足直线PE与PF的倾斜角互补,记P关于x轴的对称点为P′,线段EF中点为H.证明:P′,H,O三点共线.

3 试题解法及教学启示

3.1 本题完整解答

3.2 试题的考查目标与创新之处

本题既考查了对椭圆的基本概念和定义的理解,又考查了用解析几何方法解决几何问题的能力,考查考生的运算求解能力、推理论证能力,突出考查考生分析问题和解决问题的能力.给人一种“素以为绚,大美无痕”的感觉.

本题的创新之处有如下几点:

(1)巧妙考查了圆锥曲线的中点弦相关问题;

(2)题目条件和设问都是几何问题,用代数方法解决几何问题的思想,几何味十足;

(3)优化计算,直线过椭圆上已知点求另一交点坐标,可利用根与系数的关系及本题中以−k替换k,直接由E点坐标求得F点坐标;

(4)引导学生探索数学问题的解题方法,做一题,通一类,会一片.引领学生善于思考,提高分析问题和解决问题的能力;

(5)综合渗透了数学核心素养——直观想象,逻辑推理,数学运算等.

在新高考数学复习中,需要我们老师以课本例题、习题为素材,深入浅出、举一反三地加以类比、延伸和拓展,在“命题”上下功夫,力求对教材内容融会贯通,需要从“以知识为本”转变到“以人为本”,让学生从题海中解脱出来,在学习中实现方法融通,在探究中提升思维能力.

著名数学家华罗庚曾说,命题比解题难,命题要测得出水平,测得出能力.这就要求我们在命制试题之前,务必深入研究课程标准和高考真题,以确保命题不偏离方向.在命题过程中,可能会遇到各种意想不到的困难,这又需要我们命题者坚定信心克难攻坚,精心打磨试题.

总之,命制一道让师生满意的好试题是一件极其严肃而又辛苦的工作,从试题考点的确立到素材的选取,从试题问题的设置到试题雏形的确立,从确定试题到解法优化,表面看三易其稿,实际上中间有许多不为人知的艰辛探索.命题又是“痛并快乐着”的工作,在命题过程中需要不断经历尝试、实验、探索、联想、顿悟等思维过程,一旦找到新的创意想法,往往给人带来精神上的陶醉和心灵上的愉悦.