数学是什么?

华南师范大学数学科学学院(510631)何小亚

数学是什么?它有别于其它学科的特点是什么?很多数学家、院士总是喜欢说:“数学具有高度的抽象性,严密的逻辑性,应用的广泛性.”我想说,抽象性不是数学所特有的,哲学不更抽象吗?逻辑性更不是数学所独有的,逻辑学不更具有逻辑性吗?为什么大专辩论赛数学系的学生辩论不过中文系、政教系、法律系的学生?原因之一是数学系没有开设《形式逻辑》这门课程.“应用的广泛性”更是一句正确的废话.请问:为什么数学应用那么广泛?

英国数学教育家Paul Ernest 认为,要想学好数学和教好数学,必须先回答清楚:数学到底是什么?[1]于是此问题便成了笔者2020年招考数学教育博士的面试题.要真正回答好这个问题,是不容易的.数学家Ruben hersh 和Vera John-Steiner 教授花了至少426 页谈了数学的爱恨情仇[2];数学家Richard Courant 则花了至少584 页的篇幅来回答这个问题[3];而数学家们对此问题的看法各异,至今没有达成共识,由此诞生了逻辑主义、直觉主义和形式主义的学派之争.笔者无意介入三大学派之争,也不想重复Paul Ernest 的问题解决、柏拉图和工具主义的数学观点,只想从科普教育的角度回答:数学玩什么?如何科学地看数学?数学的价值何在?

1 数学玩什么?

音乐玩声音,玩节奏,它关注旋律.一首歌曲之所以能成为经典,那是因为它有一个好听的主旋律.音乐之所以受大众喜爱,那是因为它能拨动人的心弦.而数学没有声音,无法让人感觉到旋律的律动和节奏的撞击.

美术玩的是色彩和线条,它讲究色彩和线条的搭配,能令人赏心悦目.而数学没有色彩,无法让人欣赏到绚丽和斑斓.

体育玩肌肉,玩运动,它追求的是“更高!更快!更强!”的奥运精神.而数学没有肌肉和神经,无法让人感受到伤痛和肌肤之亲.你瞧人家足球运动员C 罗有八块腹肌,而我这个数学教授却只有一块肚皮!

语文玩言语,玩文字,它关注人性和情感.语文老师朗诵经典美文,情到深处,会热泪盈眶.有哪位数学老师会因朗读求三角形面积的海伦公式而泪眼朦胧?如果真有这样的老师,那么学生可能背地说他是神经病!因为数学语言没有母语所表示的鲜活生灵,无法让人重构人间的悲欢离合.

而物理、化学、生物等自然科学玩的是科学实验,它们关注自然、物质现象.记得43年前,我的初中化学老师在讲台上用广口瓶制作收集完氢气后,用火柴火接近无色无味的广口瓶的瓶口缝隙,“嘭!”地一声,好神奇哦,化学会爆炸!从此,李老师的音容笑貌已经深深地刻入了我的脑海.而数学不会爆炸,它没有自然科学的实验,无法让人看到神奇的物质运动变化.

那么数学玩什么呢?数学玩数量关系、玩空间形式、玩模式.追根溯源,代数系统的产生基于数系的发展.中国道家认为:道生1,1 生2,2 生3,3 生万物.1 是单点集合的标志,1 生于道,而道即玄,玄即深奥,神妙,难以捉摸.几何系统最基本的元素是点,点动成线,线动成面,面动成体.点是能标明位置但却没有大小范围的东西,点不是个东西.也就是说,“1”和“点”在真实世界里是不存在的,于是由它俩演绎出来的代数和几何是不存在的.进而,从真实世界的角度看,数学是不存在的,是虚的,看不见,摸不着.数学世界是人类心智的构造,是思维存在,在现实中是无法证实的.

我认为,数学追求的不是“更高、更快、更强!”,而是精确!严谨!简洁!概括!统一!这是数学自身独有的、有别于其余学科的特点.

什么叫多与少、远和近、高矮胖瘦?没有数学的精确,是说不清楚的.精确能使我们明辨是非,可以解决肉眼不能分辨的微观粒子问题.仅仅凭眼睛,是难以判断直线与圆的位置关系的,因为人眼最多也就能分辨0.1 毫米的差异.我们在短线段上的点与长线段上的点之间建立一一对应之后,说明短线段上的点与长线段上的点一样多,神奇吧!因此,学习研究数学不能从真实世界的角度去看数学!玩数学不要轻易相信我们的眼睛,眼见并不为实(Seeing is not believing)!

数学本质上是从一些定义、公理、公设出发,按照逻辑推理规则得出的一套演绎系统.数学的严谨性表现在两个方面,一是举反例的思维方式,这是数学不同于社会科学和实验科学的一大特点.二是其逻辑性,包括形式逻辑和辩证逻辑.在形式逻辑方面,要求概念和判断必须保持一致性,判断不自相矛盾,不模棱两可,要有充分的根据.在辩证逻辑方面,要求主体运用辩证的观点去处理所面临的问题,要抓住数学中各式各样的矛盾(已知与未知、常量与变量、有限与无限、一般与特殊、直与曲,等等)进行分析转化.转化的策略一般有:化陌生为熟悉、化繁为简、正难则反、顺推与逆推之结合、动与静之转化、数形结合、一般与特殊之互化,等等.[4]

追求简单化是数学的灵魂.数学是因为人类追求简单而诞生的.例如,为了简化浪费时间、浪费人力物力在树干上刻痕计数的工作,人类用0,1-9 这十个数字、进位制以及小数点,就可以表示超大的数,无限接近0 的数;加法就是数数的简化;乘法就是复杂加法的简化,不是新东西.不信请看:请写出10000 个2 相加.你要重复写10000 个2,9999 个加号,你累不累啊!浪费时间,浪费笔墨纸张,很不环保!怎么办?简化它!2 就写一个,加号写一个,不对!那就把它旋转45 度,给她取个名,叫乘号,于是,10000 个2 相加可以简化为2×10000,这就是乘法,乘法太简洁了!初中的乘方也不是新运算,在小学早已学过.乘方就是复杂乘法的简化!不信请看:请写出10000 个2 相乘.你要重复写10000 个2,9999 个乘号,你累不累啊!浪费时间,浪费笔墨纸张,很不环保!怎么办?简化呀!2 就写一个,乘号就懒得写了,就在2 的右上角写上10000,于是,10000 个2 相乘可以简化为210000,这就是乘方,哇塞,乘方太简洁了!有了乘方,知道幂和指数求底数就是开方;知道幂和底数求指数就是求对数.数学,真是太简洁了!

数学最精彩的不是抽象性,而是概括性,即通杀性:以一个有限的模式驾驭无穷的具体!数学的概括性让人跪拜!!你不信?请看平面向量基本定理:想象一下平面上有多少个向量?向量有长有短,长至十万八千里,短至1 纳米,还有无穷无尽的方向,这么多无穷无尽的向量如何掌控,我的妈呀,太复杂了!不过所有向量都逃不出我数学佬的手心,我的世界我做主!对于平面上的任意一个非零向量我在这个平面上随意选定两个不共线的向量i和j,分别过起点A和终点B作直线a平行于i,直线b平行于j,因为i和j不共线,所以直线a,b必然交于一点,根据数乘向量和向量的三角形法则就可得出看到了吧,这么多无穷无尽的向量居然可以只用两个不共线的已知向量i和j线性表示,为了更简单,我们可以取i和j为正交的单位向量.平面向量基本定理太简单了!太概括了!太强大了!强大到以一个有限的模式驾驭无穷的具体!真是令人跪拜!平面向量基本定理就是数乘向量的推广,而且还可以推广到三维空间,其方法、结果形式几乎是一样的.数学是联系的、统一的,代数中的统一,几何中的统一,代数与几何的统一.道生玄,玄生万物(算术、字母表式数、代数式、函数、函数空间、算子,……),最终九九归一!

2 如何科学地看数学?

关于如何科学地看数学,人们已经达成共识:

(1)数学是研究数量关系与空间形式以及模式结构的科学.数学的对象是由人类所发明和创造的;数学不是任意地被创造的,而是在已经存在的数学对象的活动中以及从科学和日常生活的需要中产生的;数学对象所具有的性质是确定的,是客观存在的,与我们是否知道无关.[5]

(2)匈牙利犹太人数学哲学家Lakatos 的数学观:数学是假设演绎的,数学的研究、学习是一个思想实验或“准实验”.数学对象并非经验的真实存在,数学研究活动是数学家之间的对话,数学是可缪的,并非是最终的或完善的,其可靠性建立在“数学共同体”的公共信念之上.数学的发展(数学概念的提出、数学定理的建立),最主要的创造性工作不在于证明,而在于产生命题的观察、抽象、概括、猜想、证明、反驳、改进等过程.[6]

(3)数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具.数学为其它科学提供了语言、思想和方法,是一切重大技术发展的基础;没有Maxwell 方程,哪里有电磁波理论、现代通讯技术;没有Riemann 几何,哪里有广义相对论;没有Navierstokes 方程,哪里有流体力学、航空学;没有数理逻辑和量子力学,哪里有电子计算机;没有Newton 万有引力定律哪里有天文学、物理学.有记者问Nobel 物理学奖的第一位获奖者伦琴,他需要什么时,他的回答是:“第一是数学,第二是数学,第三是数学!”

(4)数学是思维的体操,它在提高人的推理能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用.数学是人类的一种文化,它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分.数学的真理性教育人们尊重事实,服从真理;数学的精确性使人缜密、精力集中、认真负责;数学的严谨性使人表达有条理、办事有条不紊;数学的挑战性使人坚韧、脚踏实地、勇敢进取.

(5)E.Pisot 说道:“数学是艺术又是科学,它也是一种智力游戏,然而它又是描绘现实世界的一种方式和创造现实世界的一种力量.”[7]也就是说,数学不是规定,不是符号游戏,数学是美的!数学美在精确!美在严谨!美在简洁!美在概括!美在和谐统一!

3 数学的价值何在?

在我心底:数学是精确的、严谨的、简洁的、概括的、统一的,数学是驾驭社会科学和自然科学的“上帝”!

十七世纪文艺复兴时期,英国思想家Francis Bacon(1561～1626)说过:“读史使人明智,读诗使人灵秀,演算使人精密.”“一个思维不集中的人,他可以研习数学,因为数学稍不仔细就会出错.”“数学是打开科学大门的钥匙.”[8]

意大利天文学家、力学家Galileo Galilei(1564 ～1642)指出:“数学是上帝用来书写宇宙的文字.”德国著名的天体物理学家Johannes Kepler(1571 ～1630)认为:“几何学在上帝创造万物前就已存在,为上帝创世提供了模型.”美国数学家Morris·Kline 认为:“音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,而数学能给予以上的一切!”[9]

为什么说数学是技术,数学是生产力,数学能改善物质生活?请看自然数的立方和公式(下图就是其无字的证明.):13+23+···+n3=(1+2+···+n)2

对于加法运算次数,公式两边都一样.但对于乘法,左边要算2n次,而右边却简化为只算一次.想象一下,如果n=1亿亿亿,那么左边要算2 亿亿亿次乘法,那要占据多少内存,要花多少时间,要耗费多少电力啊?而右边就只需算一次,多省钱啊!

华为公司总裁任正非说,5G 标准是源于十多年前土耳其的Erdal Arikan 教授的一篇数学论文.[10]

哈佛大学教授Joshua Goodman 通过对20 世纪80年代高中学生的数学等级和现在的收入水平进行研究发现:数学越好的人收入相对越高,其中接受数学教育的时间每多一年,毕业后的工资就会多出10%.[11]

各位客官,难道您现在还不相信“数学就是财富!”?